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1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十章 1一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 2其方向用其方向用法向量指向法向量指向方向余弦方向余弦 0 为前侧为前侧 0 为右侧
2、为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示表示 :其面元其面元在在 xoy 面上的投影记为面上的投影记为的的面积面积为为则规定则规定类似可规定类似可规定3二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例：引例： 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . 分析分析: 若若 是面积为是面积为S 的平面的平面, 则流量则流量法向量法向量: 流速为常向量流速为常向量
3、: 4对一般的对一般的有向曲面有向曲面 ,用用“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的对稳定流动的不可压缩流体的速度场速度场进行分析可得进行分析可得, 则则 5设设 为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面, 在在 上定义了一个上定义了一个意分割意分割和在局部面元上和在局部面元上任意取点任意取点,分分,记作记作P, Q, R 叫做叫做被积函数被积函数; 叫做叫做积分曲面积分曲面.或或第二类曲面积分第二类曲面积分.下列极限都存在下列极限都存在向量场向量场若对若对 的的任任 则称此极限为向量场则称此极限为向量场 A 在有向曲面上在有向曲面上对坐标的曲面积
4、对坐标的曲面积2. 定义定义.63.物理意义：物理意义： 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记若记 正侧正侧的单位法向量为的单位法向量为令令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式74. 性质性质(1) 若若之间无公共内点之间无公共内点, 则则(2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 则则8三、对坐标的曲面
5、积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面取取上侧上侧,是是 上的连续函数上的连续函数, 则则9 若若则有则有 若若则有则有(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)说明说明: 如果积分曲面如果积分曲面 取下侧取下侧, 则则10把把 分为上下两部分分为上下两部分例例1. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为球面为球面外侧在第一和第五卦限部分外侧在第一和第五卦限部分. 因为因为 解解: :所以所以1112思考根据对称性根据对称性 下述解法是否正确下述解法是否正确:13例例2. 计算计算其中其中 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 2 的正立方的正立方体的整个
6、表面的体的整个表面的内侧内侧.解解: 利用对称性利用对称性.原式原式 的顶部的顶部 取前侧取前侧 的底部的底部 取后侧取后侧14例例+. 设S 是球面的外侧 , 计算解解: 利用轮换对称性, 有15练习练习. 位于原点电量为位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为的点电荷产生的电场为解解:。求求E 通过球面通过球面 : r = R 外侧的电通量外侧的电通量 .16四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画17令令向量形式向量形式( A 在在 n 上的投影上的投影)18例例3 计算计算, , 其中其中为下半球面为下半球面的外侧的外
7、侧解：因为解：因为 取下侧取下侧, , 而而在在xoyxoy面的投影为面的投影为的定向法向量为的定向法向量为 19例例3续续则则20例例4+. 设设是其外法线与是其外法线与 z 轴轴正向正向夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算解解: 21练习练习. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有 原式原式 =旋转抛物面旋转抛物面介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之间部分的下侧之间部分的下侧. 22原式原式 =23内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 24性质性质:联系联系:思考思考:的方向有关的方向有关
8、, 上述联系公式是否矛盾上述联系公式是否矛盾 ?两类两类曲线积分的定义一个与曲线积分的定义一个与 的的方向无关方向无关, 一个与一个与 252. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分面积分第一类第一类 (对面积对面积)第二类第二类 (对坐标对坐标)二重积分二重积分(1) 统一积分变量统一积分变量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同时分片积分方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影积分元素投影第一类：第一类： 面积投影面积投影第二类：第二类： 有向投影有向投影(4) 确定积分域确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化26当当时，时，（上侧取（上侧取“+”, 下侧取下侧取“ ”)类似可考虑在类似可考虑在 yoz 面面及及 zox 面上的二重积分转化公式面上的二重积分转化公式 .27是平面在第四卦限部分的上侧 , 计算提示提示: 求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分P167 题题3(3). 设思考与练习：同济思考与练习：同济28备用题备用题 求求取外侧 .解解:注意号其中29利用轮换对称性30
