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1、31空空间间中向量的概念和运算中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算 3.1课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标高二数学空间中向量的概念和运算学习目标学习目标学习目标学习目标1.理理解解空空间向向量量的的概概念念，掌掌握握空空间向向量量的的几几何何表表示示方法和字母表示方法方法和字母表示方法2掌握空掌握空间向量的向量的线性运算，数量性运算，数量积3能运用运算法能运用运算法则及运算律解决一些及运算律解决一些简单几何几何问题高二数学空间中向量的概念和运算课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基温故夯基温故夯基1平面上有平面上有_和和_的
2、量叫作向量，方向的量叫作向量，方向相同且模相同且模_的向量称的向量称为相等向量相等向量2向量可以向量可以进行加减和数乘运算，向量加法行加减和数乘运算，向量加法满足足_律和律和_律律大小大小方向方向相等相等交交换结合合高二数学空间中向量的概念和运算1空空间向量向量(1)空空间向量的定向量的定义在空在空间，把具有，把具有_和和_的量叫作空的量叫作空间向向量，向量的量，向量的_叫作向量的叫作向量的长度或模度或模知新益能知新益能知新益能知新益能大小大小方向方向大小大小高二数学空间中向量的概念和运算长度度高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算1空空间两两向向量量的的加加减减法法与与
3、平平面面内内两两向向量量的的加加减减法完全一法完全一样吗？提示：提示：一一样因因为空空间中任意两个向量均可平中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四加减法均可以用三角形或平行四边形法形法则，是，是一一样的的思考感悟思考感悟高二数学空间中向量的概念和运算3空空间向量加法的运算律向量加法的运算律(1)交交换律：律：ab_.(2)结合律：合律：(ab)ca(bc)4空空间向量的数乘运算向量的数乘运算(1)定定义：实数数与与空空间向向量量a的的乘乘积_仍仍然然是是一个一个_，称，称为向量的数乘运算向量的数乘运算(2)
4、向量向量a与与a的关系的关系向量向量baa高二数学空间中向量的概念和运算的范的范围方向关系方向关系模的关系模的关系0方向相同方向相同a的模是的模是a的模的的模的|倍倍0a0，其方向是任意，其方向是任意的的0方向相反方向相反高二数学空间中向量的概念和运算AOBab高二数学空间中向量的概念和运算数乘向量与向量数乘向量与向量数量数量积的的结合律合律(a)b(ab)交交换律律abba分配律分配律a(bc)abac高二数学空间中向量的概念和运算思考感悟思考感悟2(1)两两个个向向量量a、b垂垂直直的的充充要要条条件件是是ab0，对吗？(2)若若ab0，则a0或或b0，对吗？提示：提示：(1)不不对；(2
5、)不不对高二数学空间中向量的概念和运算课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的加减运算空间向量的加减运算考点突破考点突破考点突破考点突破(1)计算算两两个个空空间向向量量的的和和或或差差时，与与平平面面向向量量完完全全相相同同运运算算中中掌掌握握好好三三角角形形法法则和和平平行行四四边形法形法则是关是关键(2)计算算三三个个或或多多个个空空间向向量量的的和和或或差差时，要要注注意以下几点：意以下几点：高二数学空间中向量的概念和运算三角形法三角形法则和平行四和平行四边形法形法则；正确使用运算律；正确使用运算律；有限个向量有限个向量顺次首尾相次首尾相连，则从第一个向量的从第一个向量的起点指向最后一个向量
6、的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示点的向量即表示这有有限个向量的和向量限个向量的和向量高二数学空间中向量的概念和运算例例例例1 1高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算【名名师点点评】化化简向量表达式主要是利用平行向量表达式主要是利用平行四四边形法形法则或三角形法或三角形法则在化在化简过程中遇到减程中遇到减法法时可灵活可灵活应用相反向量用相反向量转化成加法，也可按减化成加法，也可按减法法法法则进行运算，加、减法之行运算，加、减法之间可相互可相互转化化高二数学空间中向量的概念和运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算空空间间向向量量加加法
7、法、减减法法、数数乘乘向向量量的的意意义义及及运运算算律与平面向量类似律与平面向量类似高二数学空间中向量的概念和运算例例例例2 2【思路点思路点拨】连接接AM得得到到ADM，利用，利用线段中点段中点的向量表示和三角形的重心的向量表示和三角形的重心的意的意义，在，在ADM中开始中开始进行向量运算行向量运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和
8、运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算(1)对向量的数量向量的数量积的运算律的运算律应注意以下几点：注意以下几点：要准确区分两向量数量要准确区分两向量数量积的运算性的运算性质与数乘与数乘向量向量实数与数与实数之数之积之之间的差异的差异数量数量积运算不运算不满足消去律足消去律若若a、b、c(b0)为实数，数，abbcac；但；但对于向量，就不正确，即于向量，就不正确，即abbc ac.由由图可以看出可以看出 向量的数量积及应用向量的数量积及应用高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算例例例例3 3如如 图 所所 示示 ， 已已 知知 平平 行行 六六
9、 面面 体体 ABCDA1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是边长为a的的正正方方形形，侧棱棱AA1的的长为b，A1ABA1AD120，(1)求求AC1的的长；(2)证明：明：AC1BD.高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算自我挑自我挑战2在三棱在三棱锥SABC中，中，SABC，SBAC，求，求证：SCAB.高二数学空间中向量的概念和运算高二数学空间中向量的概念和运算1在运用空在运用空间向量的运算法向量的运算法则化化简向量表达式向量表达式时，要，要结合空合空间图形，形，观察分析各向量在察分析各向量在图形中形中
10、的表示，运用运算法的表示，运用运算法则，化，化简到最到最简为止止2证明两向量共明两向量共线的方法的方法为：首先判断两向量中：首先判断两向量中是否有零向量若有，是否有零向量若有，则两向量共两向量共线；若两向量；若两向量a，b中，中，b0，且有，且有ab(R)，则a，b共共线方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟高二数学空间中向量的概念和运算3两向量的数量两向量的数量积，其，其结果是个数量，而不是向果是个数量，而不是向量，它的量，它的值为两向量的模与两向量两向量的模与两向量夹角的余弦角的余弦值的乘的乘积，其符号由，其符号由夹角的余弦角的余弦值决定决定4当当a0时，由，由ab0不能推出不能推出b一定是零向量，一定是零向量，这是因是因为任一个与任一个与a垂直的非零向量垂直的非零向量b，都有，都有ab0，这由向量的几何意由向量的几何意义就可以理解就可以理解高二数学空间中向量的概念和运算
