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1、专题五立体几何5.1 三视图与直观图(1 课时 ) 【知识要点】1 三视图：正视图： 从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：。3直观图： 斜二测画法4斜二测画法的步骤： 1.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； 2.平行于 y 轴的线长度，平行于x，z 轴的线长度；【基础演练】1如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由_块木块堆成2一个多面体的直观图及三视图如以下图所示左，则该多面体的体积为3 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 上 图 右 ， 则 它 的 外 表 积 为_. 4 2014 新课标全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画
2、出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为() A6 2 B6 C4 2 D4 图【典例分析】例 1. 如下图的直观图，其平面图形的面积为A3B.3 22C6D32 【方法小结】例 2. 已知一个正三棱锥的正视图如右图所示，则此正三棱锥的侧面积等于 . 【方法小结】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页例 3. 已知一个正三棱柱的三视图如以下图所示，则其体积为 . 【方法小结】【稳固提升】1. 【 2012 高考湖南】某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不可能是2某四棱锥的三视
3、图如下图，该四棱锥的外表积是A32B1616 2C48D1632 23如以下图所示，以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 _4某四面体的三视图如下图，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B6 2C10 D8 25 2015 全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1-4 所示 假设该几何体的外表积为1620，则 r() A1 B 2 C4 D 8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页专题五立体几何5.2 体积与外表积1 课时【知识要点】
4、1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2空间几何体的外表积和体积公式3空间几何体的外表积1 棱柱、棱锥的外表积：各个面面积之和2 圆柱的外表积；3 圆锥的外表积；4 圆台的外表积；5 球的外表积。4空间几何体的体积1 柱体的体积；2锥体的体积；3 台体的体积；4球体的体积。【基础演练】1长、宽、高分别为4、3、2 的长方体的外表积为A26 B52 C122D1232 2013 新课标全国卷 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 () A168B88C1616D8163半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是A3324RB338RC5324RD538R42016 全国卷 如图1-1，某
5、几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径假设该几何体的体积是283，则它的外表积是 () A17B18C20D28精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页【典例分析】例 1. 某棱锥的三视图如右图所示，求该棱锥的外表积(单位：2cm) 【方法小结】例 2. 球的外表积为324，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的外表积. 【方法小结】【稳固提升】1有一个几何体的三视图及其尺寸如右下( 单位：cm) ，则该几何体的外表积为 ( ) A122cmB152cmC242cmD362cm2底面是菱形的棱柱
6、其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积为A130 B140 C150 D160 3圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是( ) A2 33B2 3C7 36D7 334一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是5如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，假设截面BC1D是面积为6 的直角三角形，求此三棱柱的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页专题五立体几何5.3 平行关系 1 课时【知识要点】1判定线
7、线平行的方法1平行于同一直线的两直线互相； ；2如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的和这条直线平行；3如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的平行；4线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线5利用中位线的性质；2直线与平面平行的判定如果平面外一条直线和这个平面平面内平行，那么这条直线和这个平面平行；假设两个平面平行，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行3两个平面平行的判定一个如果平面内有两条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行；依据垂直于同一的两平面平行来判定；利用面面平行传递性依定义【基础演练】1以下四个命题： 1分别在两个平面
8、内的两条直线是异面直线；2和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；3和两条异面直线都相交的两条直线必异面；4假设a与b是异面直线，c与b是异面直线，则a与c是异面直线 . 其中真命题个数为A3 B2 C1 D 0 2，是两个不重合平面，l，m是两条不重合直线，那么/的一个充分条件是A,lm且/./lmB,lm，且/lC,lm，且/lmD/,/lm，且/lm3已知正方体1 1 1 1ABCDA B C D，下面结论中，正确的结论是1/11ADBC； 2平面/1 1AB D平面1BDC； 3/11ADDC； 4/1AD平面1BDC. 4 2016 全国卷 ，是两个平面， m，n 是两条直线，有以下
9、四个命题：如果 mn，m ，n ，那么 . 如果 m ， n ，那么 m n. 如果 ，m?，那么 m . 如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和n 与 所成的角相等其中正确的命题有_ ( 填写所有正确命题的编号)【典例分析】例 1已知111A B CABC是三棱柱，D是AC的中点 . 求证：1/AB平面1DBC. 【方法小结】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页例 2在直四棱柱1 1 1 1ABCDA B C D中，底面ABCD为等腰梯形，/ /ABCD， 且2ABCD，在棱AB上是否存在一点F，使平面1C CF
10、/ 平面1 1ADD A？假设存在，求点F的位置，假设不存在，请说明理由. 【方法小结】【稳固提升】1给出以下四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行. 垂直于同一平面的两条直线互相平行 . 假设直线1l，2l与同一个平面所成的角相等，则1l与2l相互平行 . 假设直线1l，2l是异面直线，则与直线1l，2l. 2 已知a、b、c为三条不重合直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下几个命题：/acabbc/aabb/cc/caac/aa其中正确的有_. 3 北京2011如右图，在四面体PABC中，PCAB,PABC, 点,D E F G分 别 是 棱,AP AC BC PB的中
11、点 . 1求证：DE平面BCP；2求证：四边形DEFG为矩形 . A B P G F E D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页专题五立体几何5.4 线线、线面垂直关系2 课时【知识要点】1两直线垂直的判定：转化为证线面垂直2. 直线和平面垂直的判定：如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直， 那么这条直线和这个平面垂直；两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也于另一个平面；laala面面， 【基础演练】1设,为平面，, ,m n l为直线，
12、则m的一个充分条件是A, l mlB,mC,mD,nnm2给定以下四个命题： 1假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 2假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；3垂直于同一直线的两条直线相互平行；4假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与一个平面也不垂直其中为真命题的是A 1和 2B 2和 3C 2和 4D 3和 432013 年高考全国新课标已知 m, n 为异面直线， m 平面， n平面 . 直线 l 满足l m ，l n，l ? / ， l ? / , 则：A且 l B且 l C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交
13、线平行于l 4 2008 年高考全国新课标卷已知平面平面，= l ，点 A， A?l ，直线AB l ，直线 AC l ，直线 m ， m ，则以下四种位置关系中，不一定成立的是 A. AB m B. AC m C. AB D. AC【典例分析】例 1 已知四棱锥PABCD中，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，MN、分别是ABPC、的中点，45PDA，证明：MN平面PCD. 【方法小结】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页例 2已知长方体1111DCBAABCD的底面 ABCD是边长为4 的正方形，高1AA=24，P
14、为1CC的中点，ACBD、交于点O. 1求证：BD平面11ACCA； 2求证：BDOP. 【方法小结】【稳固提升】1四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则以下结论中不正确的选项是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角2对于平面和直线m、 n，给出以下命题假设 mn,则 m、n 与所成的角相等；假设 m ,mn,则 n ; 假设 m 与 n 是异面直线，且m ,则 n 与相交 . 其中真命题的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABADACCD
15、ABC，PAABBC，E是PC的中点1证明CDAE； 2证明PD平面ABEO P D C A B 1D1A1C1BABCDPE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页专题五立体几何5.5 面面的垂直关系2 课时【知识要点】两个平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直. 在一个面中找另一个面的一条垂线：在一面内作两面交线的垂线，即为所求；定义法：找一个平面与这两个平面都垂直相交，证明两交线为直角 . 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直。【基础演练】1在
16、四棱锥ABCDP中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当M满足 _ 时，平面MBD平面PCD只要填写一个你认为是正确的条件即可 2 2013 年高考全国新课标卷已知 m, n 为异面直线，m 平面， n平面 . 直线 l 满足 l m ，l n， l ? / ， l ? /, 则： ( ) A且 l B且 l C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l 3 2008 年高考全国新课标卷已知平面平面，= l ，点 A， A?l ，直线 ABl ，直线 AC l ，直线 m ， m，则以下四种位置关系中，不一定成立的是A. AB m B. AC m C. AB D.
17、AC 4 2016 年高考全国新课标卷, 是两个平面，m , n 是两条直线，有以下四个命题：1如果m n, m , n / / ，那么 ；2如果m , n / / ，那么m n ；3如果 / / , m ? ， 那么m / / ；4如果m / / n, / / ，那么m 与所成的角和n 与所成的角相等 . 其中正确的命题有 ( 填写所有正确命题的编号【典例分析】例 1.P是矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD， 求证 : 平面PCD平面PAD【方法小结】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页例 2. 如图，在
18、ABC中，60 ,90 ,ABCBACAD是BC上的高，沿AD把ABC折起，使90BCD. 证明：平面ADB平面BDC. 【方法小结】【稳固提升】1假设，表示平面，a，b 表示直线，则a的一个充分条件是A ，且aB = b ，且 ab C a b，且 bD ，且a2如图，已知四边形ABCD是正方形， PA 平面 ABCD ，则图中所有互相垂直的平面共有A8 对B7 对C6 对D5 对3如图，在四棱锥P-ABCD中， PA底面 ABCD 底面各边都相等，M是 PC上的一动点，当点M满足_ 时，平面 MBD 平面 PCD. 4已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD的中点 E、F，连结
19、 AE 、EF 、AF，以 AE 、EF 、 FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P. 1求证： AP EF； 2求证：平面APE 平面 APF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页专题五立体几何5.6 两异面直线所成的角2 课时【知识要点】1 异面直线所成角： 直线ab、是异面直线， 经过空间任意一点O， 分别引直线aa、bb，则把直线a和b所成的 _, 叫做异面直线a和b所成的角 . 2. 两条异面直线所成角的范围是_. 3. 假设两条异面直线所成的角是_，我们就说这两条异面直线互相垂直. 【基础演练】1
20、. 正方体1111ABCDA B C D中：(1)1A B与1CC所成的角是 _；(2)11AC与1AD所成的角是 _. 2. 如图，在正方体1111ABCDA B C D中，MP、分别为1DD与11A B的中点，O为底面ABCD的中心，则AM与OP所成的角为( ) A30B60C90D 45o-A BCD中，AB与CD所成的角为 _. 4 2014 年高考全国新课标卷直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA=90 ， M ，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， BC=CA=CC1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A.110B. 25C. 3010D. 22【典例分析】例 1如图，在三棱
21、锥-S ABC中，=2AC，13BC，29SB，求异面直线SC与AB所成角的余弦值. 【方法小结】SACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页例 3 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，90 ,DABPA底面ABCD，且PAADDC211AB，M是PB AC与PB所成的角的余弦值 . 【方法小结】【稳固提升】1一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： AB EF AB与 CM成 600EF与 MN是异面直线MN CD ，其中正确的选项是A B C D 2. 空间四边形PABC中，MN，分别
22、是PBAC，的中点，9PABC，3MN，PA与BC所成的角的余弦值为_. 3已知空间四边形-A BCD中，ABBCCDDADBAC，MN、分别为BC、AD的中点 . 则异面直线CN与AM所成的角的余弦值为 . 4 2011 北京理 16如图，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，2,60ABBAD. (1) 求证：BD平面；(2) 假设,PAAB 求PB与 AC 所成角的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页专题五立体几何5.7 直线与平面所成的角2 课时【知识要点】1. 定义：
23、2. 图形 :3. 取值范围：【基础演练】1111ABCDA B C D中，1A B与平面11A B CD所成的角为 _. 2. 在三棱锥PABC中,PAPBPCBC，且2BAC, 则PA与底面ABC所成角为_. 3. 如图，正三棱柱111ABCA B C的 9 条棱长均相等，则1AC与面1BB1C C所成的角的余弦值为_. 4 2015 年高考全国新课标卷数学改编本小题总分值12 分如图，长方体1111ABCDA B C D中， AB =16 ， BC =10 ，1AA = 8 ，点 E ， F 分别在11A B，11D C上，114A ED F过点 E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线
24、围成一个正方形,则直线 AF 与平面所成角的正弦值为。【典例分析】例 1. 如图，四面体SABC中，SASBSC、两两垂直，45SBA0，60SBC0，M为AB中点 . 1求证：ABSMC平面2求SC与平面ABC所成角的正切值【方法小结】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页DCABPMO3 2016 年高考全国新课标卷数学理第19 题本小题总分值12 分如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AD BC ， AB = AD = AC = 3 ，PA = BC = 4 ，M 为线段 AD 上一
25、点， AM = 2MD ，N 为PC 的中点I 证明 MN 平面 PAB ；II 求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦【方法小结】【稳固提升】1在正三棱柱111ABCA B C中，侧棱长为2，底面正三角形的边长为1，则1BC与侧面11ACC A所成的角的大小是2 2008 年高考全国新课标卷理数改编如图，已知点 P 在正方体 ABCD - ABCD的对角线 BD 上，PDA = 60 则 DP 与CC 所成角的大小为；DP 与平面 AA DD 所成角的大小为2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，045ADC，1ADAC，O为AC中点，PO平面ABCD，2PO，M为PD中
26、点1证明：PB/ 平面ACM； 2证明：AD平面PAC；3求直线AM与平面ABCD所成角的正切值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页专题五立体几何理科专用5.8 二面角 2 课时【知识要点】1二面角： 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角2二面角的平面角：以二面角的棱上一点为端点， 在两个面内分别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 3. 二面角的平面角范围是4. 求法：(1) 定义法； (2) 垂面法； (3) 三垂法【基础演练】1. 假设一个二面角的两个半平面分别平行与另一个二面角的两个半平
27、面, 则这两个二面角的大小关系为是 ( ) A相等B互补C相等或互补D不能确定2. 在正四面体ABCD中，E为AD中点，二面角EBCD的平面角的余弦值为_. 3. 在正方体ABCD-1111A B C D 中， 二面角111ABCA 大小为 _； 二面角111BACB的余弦值为 _. 4 2014 年高考全国新课标卷理数改编则为。【典例分析】例 1. 2009 陕西 19如图，直三棱柱111ABCA B C中，1AB，13ACAA，060ABC.(1)证明：1ABAC；(2) 求二面角A1ACB的大小 . C B A C1B11A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
28、 - - - - - - -第 15 页，共 20 页【方法小结】例 2. 2008 湖南18如下图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1 的菱形，060BCD，E是CD的中点，PA底面ABCD，3PA. 1证明：平面PBE平面PAB；2求二面角-A BE P的大小 . 【方法小结】【稳固提升】1.EFG、 、是正方体1111ABCDA B C D棱11111A AA BA D，的中点，则面EFG与面ABCD所成的角锐角为余弦值为 . 2. 在直三棱柱111CBAABC中，1ACAB，090BAC，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060 ，设aAA1. 1求a的值；2求平面1
29、1A BC 与平面11B BC 所成的锐二面角的大小. 3 2008 天津19 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知3AB，2AD，2PA，2 2PD，60PAB1证明AD平面PAB；2求异面直线PC与AD所成的角的正切值；3求二面角PBDA的正切值A B C D P A B C A1 B1 C1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页专题五立体几何理科专用5.9 立体几何中的向量方法3 课时【知识要点】设 a,b 分别是两异面直线l1,l2的方向向量 ,则a 与 b 的夹角l1与 l2所成的角范围(0
30、,) 求法cos= 2.直线和平面所成角的求法:如下图 ,设直线 l 的方向向量为e,平面的法向量为n,直线 l 与平面所成的角为,两向量 e与 n 的夹角为 ,则有 sin=|cos|=_ ,AB,CD 是二面角 -l-两个半平面内与棱l 垂直的直线 ,则二面角的大小=_. ,n1,n2 分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量 ,则二面角的大小满足cos=_或_. 【基础演练】1两不重合直线l1和 l2的方向向量分别为v1(1,0， 1)，v2(2,0,2)，则 l1与 l2的位置关系是 ()A平行B相交C垂直D不确定2已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面 的一个法向量是n(6，3,6
31、)，则以下点P中在平面内的是 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3， 3,4) 3如下图 , 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F 分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心 , 则 EF和 CD所成的角是.4(人教 A 版教材习题改编)已知 a(2， 3,1)，b(2,0,4)，c(4， 6,2)，则以下结论正确的选项是()Aac， bcBab，acCac，abD以上都不对5已知 AB(2,2,1)，AC(4,5,3)，则平面A
32、BC 的单位法向量是_【典例分析】例 1 如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N 分别是 C1C、 B1C1的中点求证：MN平面 A1BD. 【方法小结】例 2 (2015 全国卷 ) 如图 , 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8, 点E,F 分别在A1B1,D1C1上 ,A1E=D1F=4, 过点 E,F 的平面与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形. (1) 在图中画出这个正方形( 不必说出画法和理由). (2) 求直线 AF与平面所成角的正弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
33、-第 18 页，共 20 页【方法小结】例 3如图， BCD 与 MCD 都是边长为2 的正三角形，平面MCD 平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3. (1)求点 A 到平面 MBC 的距离；(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值【方法小结】【稳固提升】1. 1. 正三棱柱 ( 底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2 ,则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为. 2如下图，平面PAD平面ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且P AAD2，E、F、G 分别是线段PA、PD、 CD 的中点求证：PB平面EFG. 精选学习资料
34、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页3. 如下图，在四棱锥P-ABCD 中， P A底面 ABCD，AB AD，ACCD， ABC60 ，PAAB BC，E 是 PC 的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE. 3如图，五面体中，四边形ABCD 是矩形， ABEF，AD平面 ABEF，且 AD1，AB12EF2 2，AF BE2，P、Q 分别为 AE、BD 的中点(1)求证： PQ平面 BCE；(2)求二面角ADF E 的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
