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1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 问题问题1 1 如图,要在燃气管道如图,要在燃气管道L L上修建一个上修建一个泵站,分别向泵站,分别向A A、B B两镇供气,泵站修在管两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短道的什么地方,可使所用的输气管线最短?P所以泵站建在点所以泵站建在点P P 可使输气管线最短可使输气管线最短1 1、两点之间,线、两点之间,线段最短。段最短。2 2、三角形两边之、三角形两边之和大于第三边和大于第三边问题问题2牧马人从牧马人从A A地出发,到一条笔直的河边地出发,到一条笔直的河边l l饮马,饮马,然后到然后到B B
2、地。牧马人到河边什么地方饮马,可使所走过的地。牧马人到河边什么地方饮马,可使所走过的路径最短?路径最短?探索新知探索新知BAlBAlC当当C C点在直线点在直线l l的什么位置时,的什么位置时,AC+CBAC+CB的和最小的和最小?联想问题联想问题1 1的解决方法的解决方法BAlClCBA思考:思考: 能把能把A、B两点转化到直线两点转化到直线l的异侧吗?的异侧吗?BAlC分析:分析:1、做点、做点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B,连接,连接CB B 2、AC+CB=AC+CB ,如果,如果AC+CB 的和最小,的和最小,那么那么AC+CB的和就最小的和就最小作法:作法:(1)作点)作点
3、B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B;(2)连接)连接AB,与直线,与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图,点如图,点A,B 在直线在直线l 的同侧,点的同侧,点C 是直是直线上的一个动点,当点线上的一个动点,当点C 在在l 的什么位置时,的什么位置时,AC 与与CB 的和最小?的和最小? BlABC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗?最短吗? BlABC证明:证明:如图,在直线如图,在直线l 上任取一点上任取一点C(与点(与点C 不不重合),连接重合),连接AC,BC,BC
4、由轴对称的性质知,由轴对称的性质知, BC = =BC,BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB, AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗?最短吗? BlABCC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗?最短吗? BlABCC证明:证明:在在ABC中中, ABAC+ +BC, AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点(与点上任意一点(与点C 不重合)与不重合)与A,B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC,就说明,就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC + +BC 最短时,为什么要在直线最短时,为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C(与点(与点C 不重合),证明不重合),证明AC + +BC AC+ +BC?这里的?这里的“C”的作用是什么?的作用是什么? 探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的?过程、借助什么解决问题的? BlABCC