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1、导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题） 、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例 1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在x=0 处的导数值为 .100 C！解法一f(0)=limf (0 x) f (0)x2x0=limx0x(x 1)(x 2) ( 100) 0x=lim(x-1)(x
2、-2)(x-100)=（-1） （-2）（-100）=100！选 D.x0解法二 设f(x)=a101x+a100x+a1x+a0，则f(0)=a1，而a1=（-1） （-2）（-100）=100！.选 D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 .【例 2】 已知函数f(x)=cn01011001221kk1nn c1x c x c x cnx，nN N*，则nnn2knlimx0f (2 2x) f (2 x)x= .=2limf (2 2x) f (2)2x解 limx0f (2 2x) f (2
3、 x)x+x0limx0f2 (x) f (2) x12=2f(2)+ f(2)=3 f(2)，kk1nn1 cnx，又f(x)=cn cnx cnxf(2)=111n122kknnn（2cn 2 cn 2 cn 2 cn）=(1+2) -1=(3 -1).222， 且 其 定 义 形 式 可 以 是点评 导数定义中的“增量x”有多种形式，可以为正也可以为负，如x0limf (x0 mx) f (x0) mxlimx0f (x0 mx) f (x0) mx， 也 可 以 是limx0f (x) f (x0)x x0（令x=x-x0得到） ，本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的
4、综合题，连接交汇、自然，背景新颖 .【例 3】 如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R=10 cm 时，圆面积增加的速度是 .2解 S=R，而R=R(t)，Rt=2 cm/s，St=( R )t=2RRt=4R，2St/R=10=4R/R=10=40 cm /s.2点评R是t的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t而言的（R是中间变量） ，此题易出现“S=R，S=2R，S/R=10=20 cm /s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值 .2004 年高考湖北卷理科第 16
5、题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4 分.22二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l， 则直线l的倾斜角的范围是A.0,33,0, B. C.444430, D.424解 设过曲线y=sinx上点P的切线斜率角为，由题意知， tan=y=cosx.cosx-1，1， tan-1，1，又0,，0,故选 A.点评 函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线，y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，即k=tan(为切线的倾
6、斜角 )，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错 .【例 5】 曲线y=x-ax的切线通过点（0，1） ，且过点（0，1）的切线有两条，求实数a的值.解 点（0，1）不在曲线上，可设切点为（m,m-am）.而y=3x-2ax，k切=3m-2am，则切线方程为y=(3m-2am)x-2m-am.切线过（0，1） ，2m-am+1=0.(*)设（*）式左边为f(m)，f(m)=0，由过（0，1）点的切线有 2 条，可知f(m)=0 有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于 0，且a0”.由f(m)=2m-am+1，得f(m)= 6m-
7、am=2m(3m-a)，令f(m)=0，得m=0，m=a0，f(0)f(3232323332322323,.44a，3a13)=0，即a0，-a+1=0，a=3.327点评 本题解答关键是把“切线有 2 条”的“形”转化为“方程有 2 个不同实根”的“数” ，即数形结合，然后把三次方程（ *）有两个不同实根予以转化 .三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于 0，且极小值小于 0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例 6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、 B.、 C.、 D.、解
8、 由题意知导函数的图像是抛物线 .导函数的值大于 0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于 0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选 C.点评f(x)0（或，其中是方程f(x)=x的实数根；an+1=f(an)，nN N ；f(x)的导数f(x)（0，1）.（1）证明：an，nN N ；（2）判断an与an+1的大小，并证明你的结论 .（1）证明： （数学归纳法）当n=1 时，由题意知a1，原式成立 .假设当n=k时，ak，成立.f(x)0，f(x)是单调递增函数
9、 .ak+1= f(ak) f()=， （是方程f(x)= x的实数根）即当n=k+1 时，原式成立.故对于任意自然数 N N ，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0 f(x)0.*g(x)在 ,上是单调递增函数 .而g()=-f()=0，g(x)g() (x)，即xf(x).又由（1）知，an，anf(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新 .四、与不等式有关的问题【例 9】 设x0，比较A=xe，B=lg(1+x)，C=-xx1 x的大小.解 令f(x)=C-B=x1 x-l
10、g(1+x)，则f(x)=( 1 x 1)22(1 x) 1 x0，f(x)为0,上的增函数，f(x)f(0)=0，CB.1ex(1 x2)令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe，则当x0 时，g(x)=0，1 xg(x)为0,上的增函数，g(x)g(0)=0，BA.-x因此，CBA（x=0 时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=(a)，要证明当xa时，有f(a)=(a)，则只要设辅助函数F(x)= f(a)-(a)，然后证明F(x)在xa单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次， 2004 年全国卷的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应
11、用问题有关的问题【例 10】 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：y与(a-x)和x2的乘积成正比；当x 率：a3时，y=a.并且技术改造投入比2x0,t,其中t为常数，且t0,2.2(a x)（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y的最大值及相应的x值.解： （1）由已知，设y=f(x)=k(a-x)x，2aaa2332当x 时，y= a，即a=k，k=8，则f(x)=8-(a-x)x.422x2at2at0t，解得 0x.函数f(x)的定义域为
12、 0x.2(a x)2t 12t 1（2）f(x)= -24x+16ax=x(-24x+16a)，令f(x)=0，则x=0（舍去） ，x22a，3当 0x0，此时f(x)在（0，）上单调递增；332a时，f(x)2at2a2at32a3t2当时，即 0t1 时，ymax=f()=.2t 132t 1(2t 1)3综上，当 1t2 时，投入2a3232at万元，最大增加值是万a，当0t1 时，投入3272t 132a3t2元，最大增加值是.3(2t 1)点评f(x0)=0，只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f(x)确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f(x)在定义区间内部又只有一个使f(x0)=0 的点x0，那么就不必判断x0是否为极值点，取什么极值，可断定f(x0)就是所求的最大或最小值 .
