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1、导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容,如导数的定义,导数的几何意义、物理意义,用导数研究函数的单调性,求函数的最(极)值等等,考查的题型有客观题(选择题、填空题)、主观题(解答题) 、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且,导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例 1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)(x-100)在x=0 处的导数值为 .100 C!解法一f(0)=limf (0 x) f (0)x2x0=limx0x(x 1)(x 2) ( 100) 0x=lim(x-1)(x
2、-2)(x-100)=(-1) (-2)(-100)=100!选 D.x0解法二 设f(x)=a101x+a100x+a1x+a0,则f(0)=a1,而a1=(-1) (-2)(-100)=100!.选 D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解,函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 .【例 2】 已知函数f(x)=cn01011001221kk1nn c1x c x c x cnx,nN N*,则nnn2knlimx0f (2 2x) f (2 x)x= .=2limf (2 2x) f (2)2x解 limx0f (2 2x) f (2
3、 x)x+x0limx0f2 (x) f (2) x12=2f(2)+ f(2)=3 f(2),kk1nn1 cnx,又f(x)=cn cnx cnxf(2)=111n122kknnn(2cn 2 cn 2 cn 2 cn)=(1+2) -1=(3 -1).222, 且 其 定 义 形 式 可 以 是点评 导数定义中的“增量x”有多种形式,可以为正也可以为负,如x0limf (x0 mx) f (x0) mxlimx0f (x0 mx) f (x0) mx, 也 可 以 是limx0f (x) f (x0)x x0(令x=x-x0得到) ,本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的
4、综合题,连接交汇、自然,背景新颖 .【例 3】 如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加,则圆半径R=10 cm 时,圆面积增加的速度是 .2解 S=R,而R=R(t),Rt=2 cm/s,St=( R )t=2RRt=4R,2St/R=10=4R/R=10=40 cm /s.2点评R是t的函数,而圆面积增加的速度是相当于时间t而言的(R是中间变量) ,此题易出现“S=R,S=2R,S/R=10=20 cm /s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则,须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率,它是表示瞬时速度,因速度是向量,故变化率可以为负值 .2004 年高考湖北卷理科第 16
5、题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题,据资料反映:许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后,却在写出答案时居然将其中的负号舍去,以致痛失4 分.22二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l, 则直线l的倾斜角的范围是A.0,33,0, B. C.444430, D.424解 设过曲线y=sinx上点P的切线斜率角为,由题意知, tan=y=cosx.cosx-1,1, tan-1,1,又0,,0,故选 A.点评 函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线,y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率,即k=tan(为切线的倾
6、斜角 ),这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围,极易出错 .【例 5】 曲线y=x-ax的切线通过点(0,1) ,且过点(0,1)的切线有两条,求实数a的值.解 点(0,1)不在曲线上,可设切点为(m,m-am).而y=3x-2ax,k切=3m-2am,则切线方程为y=(3m-2am)x-2m-am.切线过(0,1) ,2m-am+1=0.(*)设(*)式左边为f(m),f(m)=0,由过(0,1)点的切线有 2 条,可知f(m)=0 有两个实数解,其等价于“f(m)有极值,且极大值乘以极小值等于 0,且a0”.由f(m)=2m-am+1,得f(m)= 6m-
7、am=2m(3m-a),令f(m)=0,得m=0,m=a0,f(0)f(3232323332322323,.44a,3a13)=0,即a0,-a+1=0,a=3.327点评 本题解答关键是把“切线有 2 条”的“形”转化为“方程有 2 个不同实根”的“数” ,即数形结合,然后把三次方程( *)有两个不同实根予以转化 .三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于 0,且极小值小于 0”.另外,对于求过某点的曲线的切线,应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最(极)值有关的问题【例 6】 以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是A.、 B.、 C.、 D.、解
8、 由题意知导函数的图像是抛物线 .导函数的值大于 0,原函数在该区间为增函数;导函数的值小于 0,原函数在该区间为减函数,而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点,把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑,可知一定不正确的图形是、,故选 C.点评f(x)0(或,其中是方程f(x)=x的实数根;an+1=f(an),nN N ;f(x)的导数f(x)(0,1).(1)证明:an,nN N ;(2)判断an与an+1的大小,并证明你的结论 .(1)证明: (数学归纳法)当n=1 时,由题意知a1,原式成立 .假设当n=k时,ak,成立.f(x)0,f(x)是单调递增函数
9、 .ak+1= f(ak) f()=, (是方程f(x)= x的实数根)即当n=k+1 时,原式成立.故对于任意自然数 N N ,原式均成立.(2)解:g(x)=x-f(x),x,g(x)=1-f(x),又0 f(x)0.*g(x)在 ,上是单调递增函数 .而g()=-f()=0,g(x)g() (x),即xf(x).又由(1)知,an,anf(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接,其中将导数知识融入数学归纳法,令人耳目一新 .四、与不等式有关的问题【例 9】 设x0,比较A=xe,B=lg(1+x),C=-xx1 x的大小.解 令f(x)=C-B=x1 x-l
10、g(1+x),则f(x)=( 1 x 1)22(1 x) 1 x0,f(x)为0,上的增函数,f(x)f(0)=0,CB.1ex(1 x2)令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe,则当x0 时,g(x)=0,1 xg(x)为0,上的增函数,g(x)g(0)=0,BA.-x因此,CBA(x=0 时等号成立).点评 运用导数比较两式大小或证明不等式,常用设辅助函数法,如f(a)=(a),要证明当xa时,有f(a)=(a),则只要设辅助函数F(x)= f(a)-(a),然后证明F(x)在xa单调递减即可,并且这种设辅助函数法有时可使用多次, 2004 年全国卷的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应
11、用问题有关的问题【例 10】 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足:y与(a-x)和x2的乘积成正比;当x 率:a3时,y=a.并且技术改造投入比2x0,t,其中t为常数,且t0,2.2(a x)(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)求出产品的增加值y的最大值及相应的x值.解: (1)由已知,设y=f(x)=k(a-x)x,2aaa2332当x 时,y= a,即a=k,k=8,则f(x)=8-(a-x)x.422x2at2at0t,解得 0x.函数f(x)的定义域为
12、 0x.2(a x)2t 12t 1(2)f(x)= -24x+16ax=x(-24x+16a),令f(x)=0,则x=0(舍去) ,x22a,3当 0x0,此时f(x)在(0,)上单调递增;332a时,f(x)2at2a2at32a3t2当时,即 0t1 时,ymax=f()=.2t 132t 1(2t 1)3综上,当 1t2 时,投入2a3232at万元,最大增加值是万a,当0t1 时,投入3272t 132a3t2元,最大增加值是.3(2t 1)点评f(x0)=0,只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件,求实际问题的最值应先建立一个目标函数,并根据实际意义确定其定义域,然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f(x)确有最大或最小值,并且一定在定义区间内取得,这时f(x)在定义区间内部又只有一个使f(x0)=0 的点x0,那么就不必判断x0是否为极值点,取什么极值,可断定f(x0)就是所求的最大或最小值 .