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1、解解: :例例4.4. 判断直线判断直线L与平面与平面 的位置关系的位置关系直线直线L的参数方程的参数方程代入到平面代入到平面 中，整理为中，整理为 当当 时，时，交点是交点是当当 时，时，方程无解，方程无解，即线面平行即线面平行.L与与 有唯一的交点，有唯一的交点，14.5 曲面与空间曲线曲面与空间曲线一、空间曲面的概念一、空间曲面的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面五、空间曲线五、空间曲线2水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义曲面方程的定义曲面的实
2、例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念3以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为4解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为5根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解6以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2）已知曲面的方程，研究曲面形状）已知曲面的方程，研究曲面形状(讨论建立旋转曲面、柱面的曲面方程讨论建立旋转曲面、柱面的曲面方程)(讨论二次曲面的图形讨论二次曲面的图形)（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程7 以一条平面以一条平面曲线绕
3、其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放8 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面9 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的
4、轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面10 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面11 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴12 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲
5、面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴13 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴14 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴15 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一
6、周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴16 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴17 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴18 以一条
7、平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴19 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴20旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入得方程得方程21注注: 坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面方程，曲面
8、方程，只要将原曲线方程中绕坐标轴的变量只要将原曲线方程中绕坐标轴的变量不变，另一个变量改为其余两个变量的平方和的不变，另一个变量改为其余两个变量的平方和的平方根平方根.22例例4.4. 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面解解23旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面解解解解24播放播放三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线
9、 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .25定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.26观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.27观察柱面的
10、形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.28观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.29观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于
11、定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.30观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.31观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线
12、 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.32观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.33观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这
13、条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.34观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.35观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱
14、面的的母线母线.36观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:三、柱面三、柱面定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线L叫柱面叫柱面的的母线母线.37柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面 38 椭圆柱面椭圆柱面 圆柱面圆柱面39从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴双曲柱面双曲柱面 / 轴轴抛物柱面抛物柱面 / 轴轴例如，例如，40MM0例例5.5. 解解一般柱面方程的建立一般柱面方程的建立41
15、二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面. .相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状，用讨论二次曲面性状，用截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即相截，考察其交线（即截痕截痕）的形状，然后）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面四、二次曲面421. 椭球面椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线：图形有界，并且关于坐标平面对称图形有界，并且
16、关于坐标平面对称.43椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理同理, 与平面与平面 x=k 和和 y=k 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.当当k由由0变到变到c时时,椭圆由大变小椭圆由大变小, 最后缩成一点。最后缩成一点。44椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为45球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.462. 双曲面
17、双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.47与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.当当 变动时，这种椭圆的变动时，这种椭圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1z48双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相
18、交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.49截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ， 与与曲面相截均可得双曲线曲面相截均可得双曲线.平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.50单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz51双叶双曲面双叶双曲面xyo523. 抛物面抛物面（ 与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面 图形位于图形位于xoy平面的上方，并关于平面的上方，并关于yoz及及zox坐坐标面对称标面对称。53当当 k 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 z轴上轴上.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.与平面与平面 z=k
19、(k0) 的交线为圆的交线为圆.当当k变动时，这种圆的变动时，这种圆的中心中心都在都在 z 轴上轴上.58（ 与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo594. 二次锥面二次锥面60空间曲线的一般方程（交面式）空间曲线的一般方程（交面式）特点：特点：曲线上的点都满足方曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.注注 表示同一条曲线的方程不唯一表示同一条曲线的
20、方程不唯一.1. 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程五、空间曲线五、空间曲线61例例7.7. 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.例例6. 6. xoy平面上的曲线可看作是柱面平面上的曲线可看作是柱面 f(x,y)=0与平与平面面z=0的交线的交线: 62例例8.8.方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？解解表示上半球面表示上半球面,表示圆柱面表示圆柱面,交线如图交线如图.63空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程64 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t 时间，
21、运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数， 解解65消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：3. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影66如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面67类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线68例例10.10.求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解 （1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为69所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，70截线方程为截线方程为解解如图如图,7172例例12.12. 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 与锥面与锥面 围成，求它在围成，求它在 面上的面上的投影投影.解解半球面与锥面的交线为半球面与锥面的交线为7374
