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1、最佳广告费用及其效应名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 摘要在这个竞争日益激烈的社会里， 追求利润最大化就成了各个企业发展的首要目标。因而如何才能让利润最大化就一直困扰着企业的经理们。本文通过建立数学模型对广告的投入费用分析来使企业获得最大利润。首先通过对市场的调查得到售价与预期销售量、广告费与销售增长因子的数据表。然后用matlab 中的 polyfit函数对所得的数据进行多项式拟合得到售价与预期销售量、广告费与销
2、售增长因子的关系式。从而将利益最大化问题转化为一个数学上的二元函数的极值问题，进而用 matlab 中的 fminsearch 命令求得该二元函数的极值条件及极值， 即是利润最大化的条件及最大利润。 在本模型中， 利润上考虑了固定成本以及税收的问题，从而使模型更加符合现实。关键词利润最大化多项式拟合最优化广告费售价税收名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 一、问题重述某装饰材料公司以每桶2 元的价钱购进一批彩漆， 为了
3、尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理打算做广告提高利润。已知售价与预期销售量的关系如表1、广告费与销售增长因子的关系如表2，求当最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大。表 1 售价与预期销售量售价/ 元2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 预期销售量 / 万桶41 38 34 32 29 28 25 22 20 表 2 广告费与销售增长因子广告费 / 万元0 1 2 3 4 5 6 7 销售增长因子10 14 17 185 195 20 195 18 二、问题分析通过对问题的分析可以知道：利润=（售价进价）预期代入式销售量销售增长因子广告费额外费用因此，可以用 matlab 中
4、的 polyfit函数对预期销售量与售价、销售增长因子与广告费的数据进行多项式拟合。 从而得到预期销售量与售价、 销售增长因子与广告费的关系式。再把上述所得的关系式代入利润表达式中，就可以把原问题转化成一个二元的优化问题。最终用 matlab 求得函数的极大值，对应的售价与广告费即为所求。三、模型假设1、假设影响市场需求的因素除价格外，其它都不变；2、假设影响销售增长因子的因素除广告费外，其它都不变；3、假设预期销售量与售价、与广告费的关系是连续的；4、假设其他费用，即除进价费用、税收及广告费之外的费用，是固定的。四、符号说明G: 预期的利润 / 万元P0: 进价/ 元P: 售价/ 元Q: 预
5、期销售量 / 万桶X: 销售增长因子A: 广告费 / 万元M: 其他费用（除进价费用、税收及广告费）/ 万元S: 税收/ 万元五、模型建立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1、预期销售量 Q与售价 P的关系求解通过 matlab 的 ployfit函数对题中所给的数据进行多项式拟合 （拟合时取 n=1）得到50.4222+-5.1333P=Q（P:售价/ 元 Q: 预期销售量 / 万桶）再用 polyval函数将拟
6、合的曲线与所给的数据进行比较，可发现拟合得比较好。2、销售增长因子 X与广告费 A的关系求解通过 matlab 的 ployfit函数对题中所给的数据进行多项式拟合 （拟合时取 n=2）得到1.0187+0.4092A+0.0426A-=X2 （X:销售增长因子 A: 广告费 / 万元）再用 polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 可发现拟合得相当好。3、利润 G的表达
7、式利润=（售价进价）预期销售量销售增长因子广告费额外费用，即：S-M-A-XQ)P-(P=G0代入式，且查数据可知企业所得税税率为33，故可得S-M-A-1.0187)+0.4092A+0.0426A-(50.4222)+5.1333P-()P-(P=G20其中M-A-1.0187)+0.4092A+0.0426A-(50.4222)+5.1333P-()P-(P0.33=S20六、模型求解根据上述的模型建立 , 原问题就转化成求上述二元函数的的极大值问题，即优化问题, 因 M是固定值，对结果没有影响，故先不考虑且目标函数及优化条件为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
8、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - max G, s.t. S-M-A-XQ)P-(P=G0, A-XQ)P-(P0.33=S0, 50.4222+-5.1333P=Q, 1.0187+0.4092A+0.0426A-=X2, 2=P0, 用 matlab 画出该目标函数的图像可知其存在有极大值，故再用 matlab 中的 fminsearch函数求出 -G 的最小值，即可得G最大值，即可求得当 P=5.9113 元 ；A=4.6433万元时， G取得最大值为 102.133
9、7 万元。即当售价为 5.9113 元、广告费用为 4.6433 万元时，预期的利润最大为102.1337万元。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 七、模型的评价与推广1、模型的评价优点：考虑了固定成本； 充分地考虑了税收问题 ; 多项式拟合拟合得相当好 ; 能比较客观的反映如何实现利润最大化。缺点：未充分考虑固定成本的可变性；未考虑市场需求的影响； 单一的将影响预期销售量的因素限定在售价；单一的将影响销售增长因子的
10、因素限定在广告费。2、模型的推广及改进推广：可平行推广到其它企业的类似问题上。改进：考虑成本的可变性， 查阅相关资料了解成本变化与销售量的关系，从而得到更真实的模型。八、参考文献1. 周义仓 . 数学建模实验 . 西安：西安交通大学出版社，2007. 2. 保罗. 萨缪尔森，威廉 . 诺德豪斯著，箫琛译 . 经济学 . 北京：人民邮电出版社，2008. 九、附件1、预期销售量 Q与售价 P的关系求解中的程序多项式拟合程序及运行结果 P=2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6; Q=41,38,34,32,29,28,25,22,20; n=1; p=polyfit(P,Q,n) p
11、 = -5.1333 50.4222 polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较的程序 xi=linspace(2,6,100); z=polyval(p,xi); plot(P,Q,o,P,Q,xi,z,.) 2、销售增长因子 X与广告费 A的关系求解程序多项式拟合程序及运行结果 A=0,1,2,3,4,5,6,7; X=1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.8; n=2; p=polyfit(A,X,n) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
12、 - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - p = -0.0426 0.4092 1.0187 polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较的程序 xi=linspace(0,7,100); z=polyval(p,xi); plot(A,X,o,A,X,xi,z,.) 可见拟合得还是比较好。3、最优化的程序用 matlab 画出该二元函数的图像的程序 P,A=meshgrid(2:0.01:6,0:0.01:7); G=(P-2).*( -5.1333*P+50.4222).*( -0.0426*A.2+0.4092*A+1.0187)-A)*(1-0.33);
13、mesh(P,A,G) 用 matlab 中的 fminseaarch 函数求出 -G 的最小值 f=inline(-(1-0.33)*(x(1)-2)*( -5.1333*x(1)+50.4222)*( -0.0426*x(2)2+ 0.4092*x(2)+1.0187)-x(2); x,fval=fminsearch(f,3,3) x = 5.9113 4.6533 fval = -102.1337 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
