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1、大学物理竞赛辅导电磁学Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望电磁学综述电磁学综述（经典）电磁学的基本规律麦克斯韦方程组电磁场理论的深刻对称性电磁对偶磁单极？平行偶极板和长直螺线管的对偶电容和电感的对偶例：在例：在xoy面上倒扣着半径为面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为分布，面电荷密度为 。A点的坐标为点的坐标为(0, R/2)，B点点的坐标为的坐标为(3R/2, 0)，则则电势差电势差UAB为为。ABxyo RQ为整个带电球面的电荷为整
2、个带电球面的电荷由对称性由对称性此题也可从电场的角度考虑此题也可从电场的角度考虑C例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正三两点（均为相应正三角形的重心）的电势分别为角形的重心）的电势分别为UP 和和 UQ 。若撤去若撤去BC棒，棒，则则P，Q两点的电势为两点的电势为UP =， UQ =。ABCPQ解：设解：设AB, BC, CA三棒对三棒对 P点的点的电势及电势及AC对对Q点的电势皆为点的电势皆为U1AB, BC棒对棒对Q点的电势皆为点的电势皆为U2撤去撤去BC棒棒例：厚度为
3、例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度的无限大平板内分布有均匀体电荷密度 （0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为为 1与与 2的电介质，如图。的电介质，如图。求：求：1）板内外的电场强度）板内外的电场强度 2）A, B两点的电势差两点的电势差b 1 2BA解：设解：设 E=0 的平面的平面 MN 距左距左侧面为侧面为 d1 , 距右侧面为距右侧面为 d2 .d1d2.据对称性据对称性, E垂直垂直MN指向两侧指向两侧1) 求求 D, Exb 1 2BAb 1 2BA例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为例：无限大带电导体板两侧面上的电
4、荷面密度为 0 ，现在导体板两侧分别充以介电常数，现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与与 2 （ 1 2）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。 1 2解：充介质后导体两侧电荷解：充介质后导体两侧电荷重新分布，设自由电荷面密重新分布，设自由电荷面密度分别为度分别为 0 1 和和 0 2例：在两平行无限大平面内是电荷体密度例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 0的均匀的均匀带电空间，如图示有一质量为带电空间，如图示有一质量为m，电量为电量为q( 0oo q 0的小球的小球P。开始时开始时P相对管静相对管静止，而后管带着止，而后管带着P朝垂直于管的长度
5、方向始终以匀速度朝垂直于管的长度方向始终以匀速度u运动，那么，小球运动，那么，小球P从从N端离开管后，在磁场中做圆端离开管后，在磁场中做圆周运动的半径为周运动的半径为R = 。（不考虑重力及各种阻力）（不考虑重力及各种阻力）PMNhu解：小球受洛仑兹力作用如图解：小球受洛仑兹力作用如图例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为为Bc，位移电流产生的磁场为位移电流产生的磁场为Bd，则则+-+-P.OO+-UTxMBd 例：被电势差加速的电子从电子枪口例：被电势差加速的电
6、子从电子枪口 T 发射出来，其发射出来，其初速度指向初速度指向 x 方向。为使电子束能击中目标方向。为使电子束能击中目标 M 点，点，（直线（直线 TM 与与 x 轴夹角为轴夹角为 ），在电子枪外空间加一），在电子枪外空间加一均匀磁场均匀磁场 B , 其方向与其方向与 TM 平行，如图。已知从平行，如图。已知从 T 到到 M的距离为的距离为 d，电子质量为电子质量为 m，带电量为带电量为 e. 为使为使电子恰能击中电子恰能击中M点，应使磁感应强度点，应使磁感应强度 B =？解：电子被加速后解：电子被加速后例：原点例：原点O（0, 0）处有一带电粒子源，以同一速率处有一带电粒子源，以同一速率v沿
7、沿xy平面内的各个不同方向平面内的各个不同方向 （1800）发射质量）发射质量为为m, 电量为电量为q（0）的带电粒子，试设计一方向垂的带电粒子，试设计一方向垂直于直于xy平面，大小为平面，大小为B的均匀磁场区域，使由的均匀磁场区域，使由O发射发射的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿x轴正方轴正方向运动。（写出磁场边界线方程，并画出边界线）向运动。（写出磁场边界线方程，并画出边界线）xyO设：磁场方向向下且无边界设：磁场方向向下且无边界任一粒子束，任一粒子束，v, 其运动轨迹其运动轨迹vo 过过o 作平行于作平行于y轴的直线轴的直线它与圆周交于它与圆周交
8、于P点点P粒子在粒子在P点时，速度恰沿点时，速度恰沿x方向，若在此之后方向，若在此之后粒子不受磁力，则其将沿粒子不受磁力，则其将沿x轴正方向运动。轴正方向运动。xyOvo P即即P点应在磁场的边界上点应在磁场的边界上不同不同 角角发出的粒子，其发出的粒子，其P点坐标均满足此方程点坐标均满足此方程所有所有P点的轨迹方程，点的轨迹方程，也是磁场的边界方程也是磁场的边界方程B例：半径分别为例：半径分别为R1与与R2的两同心均匀带电半球面相的两同心均匀带电半球面相对放置（如图），两半球面上的电荷密度对放置（如图），两半球面上的电荷密度 1与与 2满足满足关系关系 1 R1 = - 2 R2 1）试证明
9、小球面所对的圆截面）试证明小球面所对的圆截面S为一等势面为一等势面 。 2）求等势面）求等势面S上的电势值。上的电势值。sR1R2oE左左E右右1）均匀带电球面内场强为零）均匀带电球面内场强为零因此场强必定都垂直于截面因此场强必定都垂直于截面2）S上任一点的电势上任一点的电势 U=U0法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律楞次定律楞次定律闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。感应电动势的两种基本形式：感应电动势的两种基本形式：动生电动势动生电动势 & & 感生电动势感生电动势动生动生感生感生例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，例：如图一矩形管，
10、画斜线的前后两侧面为金属板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为 的水银流过矩形管，流速为的水银流过矩形管，流速为v0. 设管中水银的流速与设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流速为管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为时的压强差为P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为应强度为B。求加磁场后水银的流速求加磁场后水银的流速vab解：设加磁场后水银的流速解：设加磁场后水银
11、的流速v水银中产生感生电动势水银中产生感生电动势例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与x,y轴平行，边长分别为轴平行，边长分别为a和和b，以初速以初速v0 沿沿x正方向运动，正方向运动，当当t=0时进入磁感应强度为时进入磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向如的均匀磁场，磁场方向如图，充满图，充满x0的空间，设线圈的自感为的空间，设线圈的自感为L，质量为质量为m，并设并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。虑重力，框的电阻不计）。bayxv0解：线框进入磁场后解：线框进入磁场后谐
12、振动二阶微分方程谐振动二阶微分方程1 1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流出节点的电流强度之和流出节点的电流强度之和 节点电流定律节点电流定律( (基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律) )2 2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。的代数和等于零。 回路电压定律回路电压定律( (基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律) )欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 直直 流流 电电 路路例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感应强度为应
13、强度为B 的均匀磁场与图面垂直，一边长为的均匀磁场与图面垂直，一边长为a的正的正方形导线框在正交直导线上以匀速方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动，滑动时导滑动，滑动时导线框的线框的A, B 两点始终与水平直导线接触，竖直直导线两点始终与水平直导线接触，竖直直导线则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电阻值均为阻值均为 r，试问：试问：1）导线框的）导线框的C, D两点移至竖直导两点移至竖直导线上时，流过竖直导线线上时，流过竖直导线CD段的感应电流是多少？段的感应电流是多少？2）此时导线框所受的总安培力为多大？此时导线框所受的总安培力为多
14、大？aABCDaABCDCD2ar2arI左左I右右ICD2ar2arI左左I右右I2）导线框所受磁场力等于）导线框所受磁场力等于CD段导线所受的磁场力（也可根段导线所受的磁场力（也可根据据 I左，左， I右右 具体计算各边受力）具体计算各边受力）例：半径为例：半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间随时间作线性变化作线性变化B=kt(k=225/ T/s). 用分别为用分别为 30 与与60 的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点
15、用点用30 的直电阻丝的直电阻丝MON相连。相连。 求：求：1） 电势差电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电点可使直电阻丝阻丝MON上电流为零。上电流为零。MN30 30 60 KO解：总的电动势解：总的电动势MN30 30 60 KO30 60 30 MNR1) K 断开，电流方向如图断开，电流方向如图2) K 合上，令合上，令I2 = 0, I4 如图如图例：例：10根电阻同为根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，的电阻丝连成如图所示的网络，试求：试求：A，B 两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB.ARRRRRRRRRRBABC
16、DFE由对称性知由对称性知AC与与EB，AF与与DB电流相同电流相同III1I2设：总电流为设：总电流为 I , 由节点电流关系得其他电流由节点电流关系得其他电流I-I1I2-I1I - I2I1I-I1I - I2-I1由对称性由对称性 I - I2= I2由由AC间电压间电压2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1 1 ，则，则A,BA,B两端点间的电阻为两端点间的电阻为ABCDOABCDO据对称性可将原电路等效成下据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两图实线与虚线电路的并联，两电路的
17、电阻相同电路的电阻相同例：无限长密绕螺线管半径为例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其为其分界面，半圆环电阻分别为分界面，半圆环电阻分别为R1 和和 R2，且且R1 R2,，如图，如图，当当B增大时，求增大时，求: Ua a）的大线圈共面且同心，固定大线的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以使小线圈绕其直径以匀角速匀角速 转动
18、如图（线圈的自感忽略）。转动如图（线圈的自感忽略）。 求：求：1）小线圈中的电流；）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线圈中的感应电动势大线圈中的感应电动势Iab 解：解：1) b a ，小线圈内的磁场近似均匀小线圈内的磁场近似均匀2）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动3）当小线圈当小线圈 I 变化时，大线圈中有互感电动势变化时，大线圈中有互感电动势通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数Mo. oABd解：整个磁
19、场可视为圆柱解：整个磁场可视为圆柱O内的内的均匀磁场均匀磁场B和空腔内和空腔内 B 的叠加的叠加空腔内的空腔内的感应电场感应电场由这两部分产生由这两部分产生r1E1E2r2r1E1E2r2OOyxO O EL例：半径为例：半径为R两板相距为两板相距为d的平行板电容器，从轴的平行板电容器，从轴线接入圆频率为线接入圆频率为 的交流电，板间的电场的交流电，板间的电场E与磁场与磁场H的相位差为的相位差为 ，从电容器两板间流入的电磁场，从电容器两板间流入的电磁场平均能流为平均能流为。（忽略边缘效应）。（忽略边缘效应）0RdEinEout解：长直密绕螺线管内解：长直密绕螺线管内B=B= 0 0niniRr
20、r例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距l，上端与电动势为上端与电动势为 、内阻为、内阻为r的直流电源连接，电源正、的直流电源连接，电源正、负极位置如图所示。另有一根质量负极位置如图所示。另有一根质量m、长长l、电阻电阻R的匀质的匀质导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B，方向已在图中方向已在图中示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的最大加速
21、度最大加速度amax和最大速度和最大速度vmax。 rm, l, R解：依题意，由欧姆定律知，开始解：依题意，由欧姆定律知，开始时导体棒中电流从左到右，大小为时导体棒中电流从左到右，大小为在磁场中受竖直向下的安培力在磁场中受竖直向下的安培力那么，导体棒获得的向下加速度最大值为那么，导体棒获得的向下加速度最大值为 rm, l, R导体棒向下加速后，某时刻速度记导体棒向下加速后，某时刻速度记为为v，对应有感应电动势对应有感应电动势方向与电源电动势相反。当方向与电源电动势相反。当v足够足够大时，大时， i ，导体棒中电流反向，导体棒中电流反向，即从右到左，大小为即从右到左，大小为其受磁场竖直向上的安培力为其受磁场竖直向上的安培力为当当F值等于值等于mg时，导体棒停止向下加速，力达到平时，导体棒停止向下加速，力达到平衡，速度达到最大，即有衡，速度达到最大，即有于是可解得于是可解得答：球心O处电势为过O点的等势面为以q为中心的球面，故面积为解：解：
