第一讲第一讲 坐标系坐标系三三. . 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 １１. .圆的极坐标方程圆的极坐标方程严 华 问题提出问题提出 1.1.在极坐标系中，点在极坐标系中，点M M的极坐标的极坐标是怎样构成的？是怎样构成的？点点M M的极坐标是极径的极坐标是极径ρρ和极角和极角θθ组成的组成的有序数对有序数对( (ρρ，，θθ).).ρθθM Mx xO O 2.2.以直角坐标系原点以直角坐标系原点O O为极点，为极点，x x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点M M的直角坐标的直角坐标(x(x，，y)y)与极坐标与极坐标( (ρρ，，θθ) )的的互化公式是什么？互化公式是什么？x x＝＝ρρcoscosθθ，， y y＝＝ρρsinsinθθ. . 探究（一）：探究（一）：圆的极坐标方程圆的极坐标方程 思考思考1 1：：在极坐标系中，若半径为在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为C(C(a，，0)(0)(a＞＞0)0)，则该，则该圆与极坐标系的相对位置关系怎样？试圆与极坐标系的相对位置关系怎样？试画图表示画图表示. .x xO OC C 思考思考2 2：：设该圆与极轴的另一个交点设该圆与极轴的另一个交点为为A A，点，点M(M(ρρ，，θθ) )为圆上除点为圆上除点O O，，A A以外的任意一点，那么极径以外的任意一点，那么极径ρρ和极角和极角θ之之间满足什么关系？间满足什么关系？M Mθθρρx xO OC CA Aρ＝＝2 2acoscosθ思考思考3 3：：点点O O，，A A的极坐标可以分别是什么的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式？它们都满足等式ρρ＝＝2 2acoscosθθ吗？吗？点点 ，，A(2A(2a，，0)0)都满足等式都满足等式. . 思考思考3 3：：由此可知，圆上任意一点的由此可知，圆上任意一点的极坐标极坐标( (ρρ，，θθ) )中至少有一个满足中至少有一个满足等式等式 ρρ＝＝2 2acoscosθθ；反之，极坐标适合；反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？该等式的点都在这个圆上吗？都在这个圆上都在这个圆上M Mθθρρx xO OC CA A 思考思考4 4：：等式等式ρρ＝＝2 2acoscosθθ叫做圆叫做圆C C的极坐的极坐标方程标方程. .一般地，在极坐标系中，对于平一般地，在极坐标系中，对于平面曲线面曲线C C和方程和方程f( (ρρ，，θθ) )＝＝0 0，在什么条，在什么条件下，方程件下，方程f( (ρρ，，θθ) )＝＝0 0是曲线是曲线C C的极坐的极坐标方程？标方程？ （（1 1））曲线曲线C C上任意一点的极坐标中至少上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程有一个满足方程f( (ρ，，θ) )＝＝0 0；；（（2 2））坐标适合方程坐标适合方程f( (ρ，，θ) )＝＝0 0的点都在的点都在曲线曲线C C上上. 思考思考5 5：在极坐标系中，圆心坐标为：在极坐标系中，圆心坐标为C(C(a，，π)(π)(a＞＞0)0)，半径为，半径为a的圆的极坐标方的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标为程是什么？圆心坐标为C(C(a，， ) ) ( (a＞＞0)0)，半径为，半径为a的圆的极坐标方程是什的圆的极坐标方程是什么？么？ ρρ＝－＝－2 2acoscosθθ ρρ＝＝2 2asinsinθθM Mθθρρx xO OC CA AM Mθθρρx xO OC CA A 思考思考6 6：：特别地，以极点为圆心，特别地，以极点为圆心，半径为半径为r的圆的极坐标方程是什的圆的极坐标方程是什么？么？M Mθθρρx xO Oρ＝＝r 思考思考7 7：一般地，求曲线的极坐标方程的：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么？基本步骤是什么？（（1 1）建立极坐标系，设动点坐标；）建立极坐标系，设动点坐标； （（2 2）找出曲线上的点满足的几何条件；）找出曲线上的点满足的几何条件；（（3 3）将几何条件用极坐标表示；）将几何条件用极坐标表示； （（4 4）化简小结）化简小结. . 题型一 题型一 圆的极坐标方程圆的极坐标方程【【例例1】】[思维启迪思维启迪] 解答本题先设圆上任意一点解答本题先设圆上任意一点M(ρ，，θ)，建立等式转化为，建立等式转化为ρ，，θ的极坐标方程，的极坐标方程，化简即可．化简即可． 解解 由题意知，圆经过极点 由题意知，圆经过极点O，，OA为其一条直径，设为其一条直径，设M(ρ，，θ)为圆上除为圆上除点点O，，A以外的任意一点，则以外的任意一点，则|OA|＝＝2r，连接，连接AM，则，则OM⊥⊥MA，在，在Rt△△OAM中，中，|OM|＝＝|OA|cos∠∠AOM，， 求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(１１)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；；(２２)中心在Ｃ中心在Ｃ(a,0)，半径为，半径为a；；(３３)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；； ＝＝2 ＝＝2acos ＝＝2asin 练习１练习１ 极坐标方程分别是极坐标方程分别是ρ＝＝cosθ和和ρ＝＝sinθ的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少 ?练习２练习２ 在在圆心的极坐心的极坐标为A(4，，0)，半径，半径为4的的圆中，求中，求过极点极点O的弦的中点的的弦的中点的轨迹．迹．【【例例2】】解解 设 设M(ρ，，θ)是轨迹上任意一点．连接是轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆并延长交圆A于点于点P(ρ0，，θ0)，则有，则有θ0＝＝θ，，ρ0＝＝2ρ.由圆心为由圆心为(4，，0)，半径为，半径为4的圆的极坐标的圆的极坐标方程即为方程即为ρ＝＝8cos θ，，得得ρ0＝＝8cos θ0.所以所以2ρ＝＝8cos θ，，故所求轨迹方程是故所求轨迹方程是ρ＝＝4cos θ.它表示以它表示以(2，，0)为圆心，为圆心，2为半径的圆．为半径的圆． 高考链接高考链接D ２ ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为 ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程．高考链接高考链接 【解析】 (1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标轴取相同单位长．因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程． １.小结：（１）曲线的极坐标方程概念（２）怎样求曲线的极坐标方程（3）圆的极坐标方程 2．常见圆的极坐标方程．常见圆的极坐标方程ρ＝＝r 作业：作业：P15P15习题习题1.31.3：： 2 2，，3 3，，4 4，，5 5，，6.6. 。