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1、定积分的概念定积分的概念9514195141返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页9-1 定积分的概念 在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一分为一分为 n可以看出小矩形面积之和越来越
2、接近于曲边梯形可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积的面积. .yxO返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页过程呢？过程呢？ 这可以分三步进行这可以分三步进行. 1. 分割：分割：把曲边梯形把曲边梯形 A 分成分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形a即在即在上找到上找到 个分点个分点如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2. 近似近似: :返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3. 逼近逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S 总有差别总
3、有差别. 当分割越来越细时，和式当分割越来越细时，和式问题是：问题是：越细？越细？就会越来越小就会越来越小.下面依次讨论这两个问题下面依次讨论这两个问题. .与曲边梯形的面积与曲边梯形的面积矩形，因此黎曼和矩形，因此黎曼和返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页来表示分割来表示分割 T 越来越细越来越细, ,因为可能某些因为可能某些的长度不趋于的长度不趋于 0 . .就能保证分割越来越细就能保证分割越来越细. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页总结以上分析，下面给出定积分定义总结以上分析，下面给出定积分定义.对于另外两个实际问题对于另外两个实际问题, ,也可类似地归结为
4、黎曼和也可类似地归结为黎曼和给定的给定的能够找到能够找到 的极限的极限. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1并称并称 J 为为 f 在在 a, ,b上的上的及任意及任意定积分定积分, ,记作记作返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1列极限，也不是函数极限列极限，也不是函数极限.注注2 中中, ,我们把小曲边梯形近似看作矩形时我们把小曲边梯形近似看作矩形时, ,显然要求显然要求因此定积分既不是数因此定积分既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：关于定积分定义，应注意以下几点：f (x)在每个小区间在每个小区
5、间 xi1, xi 上变化不大上变化不大, 这相当于这相当于要求要求 f (x) 有某种程度上的连续性有某种程度上的连续性.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页a, b 上的一致连续性上的一致连续性, 可证可证 f (x)在在a, b上上可积可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法下面举例来加深理解用定义求定积分的方法. .解解例例1存在存在. . 为方便起见为方便起见, ,令令以后将知道以后将知道 f (x) 在在a, b 上连续时上连续时, 利用利用 f (x) 在在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则则此时黎曼和的极限化为此时黎曼和的极限化为的极限的极限. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是注注 这里利用了连续函数的可积性这里利用了连续函数的可积性. .因为可积因为可积, ,所所以可取特殊的分割以可取特殊的分割( (等分等分) )和特殊的介点和特殊的介点 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 作业题P 1,()结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！22
