《矩阵的逆的典型例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的逆的典型例题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ML32006题目：设A A、B B、A A B B都可逆，证明A A1 B B1可逆，且(A A1 B B1)1 A AA+A+ B BB B = = B BA+A+ B BA A涉及的知识点11知识点一：知识点二：矩阵的逆矩阵的运算解题方法需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.内容：如能证明第一个等式成立(B B1 A A1)1 B B(B B A A)1A A即(A A1 B B1)1 B B(A A B B)1A A,因而第二个等式也成立 .下证1A A(A AB B)B B第一个等式成立，只需证(A A1B B1)E E.下面给出四种证法.1. 定义法.2. 用定义直
2、接验证，运算过程不同.3. 定义法，运算过程不同。4. 恒等变形.解题过程（详细过程）第一种证法第一步：1(A A1 B B1)A A(A A B B) B B A A1A A(A A B B)1B B B B1A A(A A B B)1B B E E(A A B B)1B B B B1A A(A A B B)1B B B B1B B(A A B B)1B B B B1A A(A A B B)1B B B B1(B B A A)(A A B B)1B B E E需要配音或重点提示的文字：无第二种证法第一步：1(A A1 B B1)A A (A A B B) B B(E E B B1A A)(A
3、 A B B)1B B(B B B B B B A A)(A A B B) B B B B1(A A B B)(A A B B)1B B E E需要配音或重点提示的文字：无111第三种证法第一步：1(A A1 B B1)A A(A A B B) B B A A1A A(A A B B)1B B B B1A A(A A B B)1B B(E E B B1A A)(A A B B)1B B(E E B BA A)(A A B B) (B B)1(E E B B1A A)B B(A A B B)11111(E E B B1A A)(E E B B1A A)1 E E需要配音或重点提示的文字：无第四种
4、证法第一步：将A A1B B1恒等变形，得到A A1 B B1 A A1(A A B B)B B1或A A1 B B1 B B1(A A B B)A A1对上两式分别求逆，即(A A1 B B1)1 B B(A A B B)1A A(A A1 B B1)1 A A (A A B B)1B B需要配音或重点提示的文字：无学生常犯的错误需要配音或重点提示的文字：无内容：错误地推出(A A B B)1 A A1 B B1.相关例题一题目一：设A A，B B，ABAB E E为同阶非奇异矩阵，试证：（1）A A B B1为非奇异矩阵；（2）(A A B B1)1 A A1也是非奇异矩阵，并求其逆阵.解
5、题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.解答： （1）因A A B B1 AEAE B B1 ABBABB1 B B1(ABAB E E)B B1故A A B B1 ABAB E E B B1 0,即A A B B1为非奇异矩阵.（2）因(A A B B1)1 A A1(A A B B1)1(A A B B1)1(A A B B1)A A111111(A A B B1)1E E (A A B B )A A(A A B B)(ABAB)1 (ABAB)(A A B B )1(ABAABA A A)1A A(BABA E E)1(BABA E E)1A A1由已知条件，A A 0, BABA E E
6、 0,得A A1 0(BABA E E)10故（A A B B1)1 A A1 0,即（A A B B1)1为非奇异矩阵，且A A B B ) A A（BABA E E)1A A1A A（BABA E E)11111相关例题二题目二：设A A，B B，A A B B均为正交矩阵，试证：(A A B B)1 A A1 B B1解题思路：利用正交阵的定义证.解答：因为A A,B B, A A B B均为正交矩阵，所以A A1 A A, B B1 B B，(A A B B)1(A A B B)成立.从而(A A B B)1(A A B B) A A B B A A1 B B1方法总结需要配音或重点提示的文字：无内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法 1，2，3,也可用恒等变形.
