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1、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识概述1、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一可从代数与几何两个角度考虑（1）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必，例如：y=kx m 代入=1 中消 y 后整理得：(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b2=0，当 k= 时，该方程为一次方程，此时直线y=kxm与双曲线的渐近线平行，当k 时，方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系（2）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅
2、有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦2、弦长公式：设弦AB 端点坐标为（ x1，y1）、（ x2，y2），直线 AB 的斜率为 k，则：3、利用 “ 点差法 ” 来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标） 代入（即将端点代入曲线方程） 作
3、差（即两式相减） 得出中点坐标与斜率的关系。4、会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等二、重难点知识剖析1、直线和圆锥曲线的交点问题设直线 l：Ax ByC=0 与二次曲线C：f(x, y)=0 （1）交点个数与方程组（*）有几组解一一对应（2）交点坐标即为（*）的解， l 与 C 有一个公共点时，l 与 C 相交或相切（3）注意消元后非二次的情况如直线 l：Ax ByC=0圆锥曲线方程f(x, y)=0 消元（ x 或 y），如消去y 后得： ax2bxc=0，若 a=0 时，当圆锥曲线是双曲线时；直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆
4、锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合）（4）直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形例 1、已知双曲线x2y2=4，直线 l：y=k(x 1)，讨论直线与双曲线公共点个数2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题（1）直线 ly=kxb，与二次曲线C(x, y)=0 交于 A、B 两点，由得：ax2bxc=0 (a 0) ，则（2）若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以便简化计算例 2、如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x 交于 A、B 两点，若线段AB 的中点在直线 x=2 上，求弦 AB 的长三、直线与圆锥曲线的中点问题解决这类问题主要有如下两种方法：(
5、1)韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解(2) “平方差 ” 法：若直线 l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和 B，一般地首先设出交点坐标 A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1x2，y1y2，x1x2，y1y2，从而建立了中点坐标和斜率的关系例 3、一中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线xy1=0 相交于 A、B、C 是 AB中点，若 |AB|=2，OC 的斜率为，求椭圆的方程. 1、已知对kR，直线ykx 1=0 与椭圆52x+my2=1 恒有公共点，则实数m 的取值范围是A（ 0，1）B（ 0，5）C 1，5）（ 5，+）D 1， 5）2、 已知 （4， 2） 是直线 l 被椭圆362x+92y=1 所截得的线段的中点， 则 l 的方程是 _
