《初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑿（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品 1初一数学竞赛讲座初一数学竞赛讲座第第 1212 讲讲 抽屉原理抽屉原理同学们：一分耕耘一分收获，同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败只要我们能做到有永不言败+ +勤奋学习勤奋学习+ +有远大的理想有远大的理想+ +坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（一定会收获成功（可删除可删除）把 5 个苹果放到 4 个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有 2 个苹果， 这是抽屉原理的通俗解释 一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（第一抽屉原理：把（mnmn1 1）个物体放入）个物体放入 n n 个
2、抽屉，其中必有一个抽屉中至个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（少有（m m1 1）个物体）个物体使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉 一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据例例 1 1 从 1，2，3，100 这 100 个数中任意挑出 51 个数来，证明在这 51个数中，一定：（1）有 2 个数互质；（2）有 2 个数的差为 50；（3）有 8 个数，它们的最大公约数大于 1证明：（1）将 100 个数分成 50 组：1，2，3，4，99，100在选出的 51 个数中，必有 2 个数属于同一组，这一组中的 2 个数是两个相邻的整数，它们一定是互
3、质的（2）将 100 个数分成 50 组：1，51，2，52，50，100在选出的 51 个数中，必有 2 个数属于同一组，这一组的 2 个数的差为 50（3）将 100 个数分成 5 组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2 的倍数，即2，4，100；第二组：3 的倍数，即3，6，99；第三组：5 的倍数，即5，10，100；第四组：7 的倍数，即7，14，98；第五组：1 和大于 7 的质数即1，11，13，97第五组中有 22 个数， 故选出的 51 个数至少有 29 个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理， 总有 8 个数在第一组到第四组的某一组中，这 8 个数的最大公约数大于 1例例
4、2 2 求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数证明：因 19964499，故只需证明可以找到一个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数就可以了得到 500 个余数 r1，r2，r500由于余数只能取 0，1，2，499 这 499个值，所以根据抽屉原理，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍精品 1数， 这个差的前若干位是 1， 后若干位是 0： 111000， 又 499 和 10 是互质的，故它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数例例 3 3
5、在一个礼堂中有 99 名学生，如果他们中的每个人都与其中的 66 人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何 4 人中都一定有 2 人不相识（假定相识是互相的）分析：注意到题中的说法“可能出现”，说明题的结论并非是条件的必然结果， 而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可解：将礼堂中的 99 人记为 a1，a2，a99，将 99 人分为 3 组：（a1，a2，a33），（a34，a35，a66），（a67，a68，a99），将 3组学生作为 3 个抽屉，分别记为 A，B，C，并约定 A 中的学生所认识的 66 人只在 B，C 中，同时，B，C 中的学生所认识
6、的 66 人也只在 A，C 和 A，B 中 如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现因为礼堂中任意 4 人可看做 4 个苹果，放入 A，B，C 三个抽屉中，必有 2人在同一抽屉，即必有 2 人来自同一组，那么他们认识的人只在另 2 组中，因此他们两人不相识例例 4 4 如右图，分别标有数字 1，2，8 的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同 当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对分析： 此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动 一个环转动一
7、周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现， 那么这种局面共要出现 8 次 将这 8 次局面看做苹果，再需构造出少于 8 个抽屉注意到一环每转动 45角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有 8次滚珠相对的局面，而最初的 8 对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的 7 次转动中，将7 次转动看做 7 个抽屉，8 次相同数字滚珠相对的局面看做 8 个苹果， 则至少有 2 次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对例例 5 5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的 2
8、0 克到 20.1 克之间 现在需要重量相差不超过 0.005 克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？解：把 2020.1 克之间的盘子依重量分成 20 组：第 1 组：从 20.000 克到 20.005 克；第 2 组：从 20.005 克到 20.010 克；精品 1第 20 组：从 20.095 克到 20.100 克这样，只要有 21 个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这 2个盘子就符合要求例例 6 6 在圆周上放着 100 个筹码，其中有 41 个红的和 59 个蓝的 那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有
9、 19 个筹码，为什么？分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有 19个筹码解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，100 然后依照以下规律将 100 个筹码分为 20 组：（1，21，41，61，81）；（2，22，42，62，82）；（20，40，60，80，100）将 41 个红筹码看做苹果，放入以上 20 个抽屉中，因为41=2201，所以至少有一个抽屉中有 2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5 个筹码中有 3 个红色筹码， 而每组的 5 个筹码在圆周上可看做两两等距，且每 2 个相邻筹
10、码之间都有 19 个筹码，那么 3 个红色筹码中必有 2 个相邻（这将在下一个内容第二抽屉原理中说明），即有 2 个红色筹码之间有 19 个筹码下面我们来考虑另外一种情况：若把 5 个苹果放到 6 个抽屉中， 则必然有一个抽屉空着 这种情况一般可以表述为：第二抽屉原理：把（第二抽屉原理：把（mn-1mn-1）个物体放入）个物体放入 n n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1m-1）个物体）个物体例例 7 7 在例 6 中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有 5 个筹码，其中有 3 个是同色的，那么这 3 个同色的筹码必有 2 个相邻分析：将这个问题加以转
11、化：如右图，将同色的3 个筹码 A，B，C 置于圆周上，看是否能用另外2 个筹码将其隔开解：如图，将同色的 3 个筹码放置在圆周上，将每 2 个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余 2 个筹码看做苹果，将 2 个苹果放入 3 个抽屉中，则必有 1 个抽屉中没有苹果，即有 2 个同色筹码之间没有其它筹码，那么这 2 个筹码必相邻例例 8 8 甲、乙二人为一个正方形的 12 条棱涂红和绿 2 种颜色 首先，甲任选 3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外 3 条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6 条棱都涂上红色 问：甲是否一定能将某一面的 4 条棱全部涂上红色？解：不能如右图将 12 条棱分成四组：精品 1
12、第一组：A1B1，B2B3，A3A4，第二组：A2B2，B3B4，A4A1，第三组：A3B3，B4B1，A1A2，第四组：A4B4，B1B2，A2A3无论甲第一次将哪 3 条棱涂红， 由抽屉原理知四组中必有一组的 3 条棱全未涂红， 而乙只要将这组中的 3 条棱涂绿， 甲就无法将某一面的 4 条棱全部涂红了下面我们讨论抽屉原理的一个变形平均值原理我们知道 n 个数 a1，a2，an 的和与 n 的商是 a1，a2，an这 n 个数的平均值平均值原理：如果平均值原理：如果 n n 个数的平均值为个数的平均值为 a a，那么其中至少有一个数不大于，那么其中至少有一个数不大于 a a，也至，也至少有
13、一个不小于少有一个不小于 a a例例 9 9 圆周上有 2000 个点，在其上任意地标上 0，1，2，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数） 求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于 2999解：设圆周上各点的值依次是 a1，a2，a2000，则其和a1a2+a2000=0+1+2+1999=1999000下面考虑一切相邻三数组之和：（a1a2a3）+（a2a3a4）（a1998+a1999a2000）（a1999a2000a1）（a2000a1a2）=3（a1a2a2000）31999000这 2000 组和中必至少有一组和大于或等于但因每一个和都是整
14、数，故有一组相邻三数之和不小于 2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于 2999例例 1010 一家旅馆有 90 个房间，住有100 名旅客，如果每次都恰有90 名旅客同时回来， 那么至少要准备多少把钥匙分给这 100 名旅客， 才能使得每次客人回来时， 每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？解：如果钥匙数小于 990，那么 90 个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此 90 个人就无法按题述的条件住下来精品 1另一方面， 990 把钥匙已经足够了， 这只要将 90 把不同的钥匙分给 90 个人，而其余的
15、10 名旅客，每人各 90 把钥匙（每个房间一把），那么任何 90 名旅客返回时，都能按要求住进房间最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题例例 1111 设有 428 的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种 试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形证明： 我们先考察第一行中 28 个小方格涂色情况，用三种颜色涂 28 个小方格，由抽屉原理知，至少有 10 个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10 个小方格就在第一行的前 10 列下面考察第二、三、四行中前面 10 个小方格可能出现的涂色情况 这有两种可能：（1）这
16、三行中，至少有一行，其前面10 个小方格中，至少有2 个小方格是涂有红色的， 那么这 2 个小方格和第一行中与其对应的 2 个小方格， 便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形（2）这三行中每一行前面的10 格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的 37 个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了我们先考虑这个 37 的长方形的第一行 根据抽屉原理， 至少有 4 个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第 1 至 4 列再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：（1）这 4 格中，至少有 2 格被涂上蓝色，那么这 2 个涂上蓝色的小方格和第一行
17、中与其对应的 2 个小方格便是一个长方形的四个角， 这个长方形四角同是蓝色（2）这4 格中，至多有1 格被涂上蓝色，那么，至少有3 格被涂上黄色 不妨设这 3 个小方格就在第二行的前面 3 格下面继续考虑第三行前面 3 格的情况 用蓝、黄两色涂 3 个小方格，由抽屉原理知，至少有 2 个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形例例 1212 试卷上共有 4 道选择题，每题有 3 个可供选择的答案 一群学生参加考试，结果是对于其中任何 3 人，都有一道题目的答案互不相同 问：参加考试的学生最多有多少人？解：设每
18、题的三个选择分别为 a，b，c（1）若参加考试的学生有10 人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a，b，c 的三组学生中，必有一组不超过 3 人 去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对第一题的答案只有两种 对于这7人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出 5 人，他们关于第二题的答案只有两种可能 对于这 5 人关于第三题应用第二抽屉原理知， 可以选出 4 人， 他们关于第三题的答案只有两种可能 最后，对于这 4 人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出 3 人，他们关于第四题的答案也只有两种 于是，对于这 3 人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求 可见，所求的最
19、多人数不超过 9 人另一方面， 若 9 个人的答案如下表所示， 则每 3 人都至少有一个问题的答案互不相同精品 1所以，所求的最多人数为 9 人练习练习 12121.六（1）班有 49 名学生 数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3 人外均在 86 分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有 4 人成绩相同 ”请问王老师说得对吗？为什么？2.现有 64 只乒乓球，18 个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放 6 只乒乓球，至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数， 且都不大于 160 厘米， 不小于150 厘米 问：在至少多少个初二学生中一定能有 4 个
20、人身高相同？4.从 1，2，100 这 100 个数中任意选出 51 个数，证明在这 51 个数中，一定：（1）有两个数的和为 101；（2）有一个数是另一个数的倍数；（3）有一个数或若干个数的和是 51 的倍数5.在 37 的方格表中，有 11 个白格，证明（1）若仅含一个白格的列只有 3 列，则在其余的 4 列中每列都恰有两个白格；（2）只有一个白格的列只有 3 列6.某个委员会开了 40 次会议，每次会议有 10 人出席 已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议 问： 这个委员会的人数能够多于 60 人吗？为什么？7.一个车间有一条生产流水线，由 5 台机器组成，只有每台机器都开动时，
21、这条流水线才能工作 总共有 8 个工人在这条流水线上工作 在每一个工作日内，这些工人中只有 5 名到场 为了保证生产，要对这 8 名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮 问：最少要进行多少轮培训，才能使任意 5 个工人上班而流水线总能工作？8.有 9 名数学家，每人至多能讲 3 种语言，每 3 人中至少有 2 人能通话 求证：在这 9 名中至少有 3 名用同一种语言通话练习练习 1313 答案：答案：1.对 解：因为 49-3=3（100-86+1）+1，即 46=315+1，也就是说，把从100 分至 86 分的 15 个分数当做抽屉，49-3=46（人）的成绩当做物体，根据第二抽
22、屉原理，至少有 4 人的分数在同一抽屉中，即成绩相同2.4 个 解：18 个乒乓球盒，每个盒子里至多可以放 6 只乒乓球 为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少， 可以这样放： 先把盒子分成6份， 每份有186=3 （只） ，分别在每一份的 3 个盒子中放入 1 只、2 只、3 只、4 只、5 只、6 只乒乓球，即精品 13 个盒子中放了 1 只乒乓球，3 个盒中放了 2 只乒乓球3 个盒子中放了 6 只乒乓球 这样，18 个盒子中共放了乒乓球（1+2+3+4+5+6）3=63（只）把以上 6 种不同的放法当做抽屉，这样剩下 64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满
23、6 只乒乓球的抽屉外），都将使该盒子中的乒乓球数增加 1 只， 这时与比该抽屉每盒乒乓数多 1 的抽屉中的 3 个盒子里的乒乓球数相等 例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里，该盒乒乓球就成了 3 只，再加上原来装有 3 只乒乓球的 3 个盒子，这样就有 4个盒子里装有 3 个乒乓球 所以至少有 4 个乒乓球盒里的乒乓球数目相同3.34 个解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉，共有抽屉160-150+1=11（个）根据抽屉原理，要保证有 4 个人身高相同，至少要有初二学生311+1=34（个）4.证：（1）将 100 个数分成 50 组：1，100，2，99，50，51在选出的 5
24、1 个数中，必有两数属于同一组，这一组的两数之和为 101（2）将 100 个数分成 10 组：1,2,4,8,16,32,64, 3,6,12,24,48,96,5,10,20,40,80, 7,14,28,56,9,18,36,72, 11,22,44,88,13,26,52, 15,30,60,49,98, 其余数其中第 10 组中有 41 个数 在选出的 51 个数中， 第 10 组的 41 个数全部选中，还有 10 个数从前 9 组中选，必有两数属于同一组，这一组中的任意两个数，一个是另一个的倍数（3）将选出的 51 个数排成一列：a1，a2，a3，a51考虑下面的 51 个和：a1
25、，a1+a2，a1+a2+a3，a1+a2+a3+a51若这 51 个和中有一个是 51 的倍数，则结论显然成立；若这 51 个和中没有一个是 51 的倍数，则将它们除以 51，余数只能是 1，2，50 中的一个，故必然有两个的余数是相同的，这两个和的差是51 的倍数，而这个差显然是这51个数（a1，a2， a3，a51）中的一个数或若干个数的和5.证：（1）在其余 4 列中如有一列含有 3 个白格，则剩下的 5 个白格要放入 3 列中，将 3 列表格看做 3 个抽屉，5 个白格看做 5 个苹果，根据第二抽屉原理，5（=23-1）个苹果放入 3 个抽屉，则必有 1 个抽屉至多只有（2-1）个苹
26、果，即必有 1 列只含 1 个白格，也就是说除了原来 3 列只含一个白格外还有 1列含 1 个白格，这与题设只有 1 个白格的列只有 3 列矛盾 所以不会有 1 列有 3个白格，当然也不能再有 1 列只有 1 个白格 推知其余 4 列每列恰好有 2 个白格（2）假设只含 1 个白格的列有 2 列，那么剩下的 9 个白格要放入 5 列中，而 9=25-1，由第二抽屉原理知，必有1 列至多只有 2-1=1（个）白格，与假设只有 2 列每列只 1 个白格矛盾 所以只有 1 个白格的列至少有 3 列精品 16.能解：开会的“人次”有 4010=400（人次） 设委员人数为 N，将“人次”看做苹果，以委
27、员人数作为抽屉若 N60，则由抽屉原理知至少有一个委员开了 7 次（或更多次）会 但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会，故他所参加的每一次会的另外 9 个人是不相同的，从而至少有 79=63（个）委员，这与 N60 的假定矛盾 所以，N 应大于 607.20 轮解：如果培训的总轮数少于20，那么在每一台机器上可进行工作的工人果这 3 个工人某一天都没有到车间来， 那么这台机器就不能开动，整个流水线就不能工作 故培训的总轮数不能少于 20另一方面，只要进行 20 轮培训就够了 对 3 名工人进行全能性培训，训练他们会开每一台机器；而对其余 5 名工人，每人只培训一轮，让他
28、们每人能开动一台机器 这个方案实施后，不论哪 5 名工人上班，流水线总能工作8.证：以平面上 9 个点 A1，A2，A9表示 9 个数学家，如果两人能通话，就把表示他们的两点联线，并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色） 此时有两种情况：（1） 9 点中有任意 2 点都有联线， 并涂了相应的颜色 于是从某一点 A1出发，分别与 A2，A3，A9联线，又据题意，每人至多能讲 3 种语言，因此 A1A2，A1A3，A1A9中至多只能涂 3 种不同的颜色，由抽屉原理知，这 8 条线段中至少有 2 条同色的线段 不妨设 A1A2与 A1A3是同色线段，因此A1，A2，A3这 3点表示的 3 名数学家可用同一种语言通话（2）9 点中至少有 2 点不联线，不妨设是 A1与 A2不联线 由于每 3 人中至少有两人能通话，因此从 A1与 A2出发至少有 7 条联线 再由抽屉原理知，其中必有 4 条联线从 A1或 A2出发 不妨设从 A1出发，又因 A1至多能讲 3 种语言，所以这 4 条联线中，至少有 2 条联线是同色的 若 A1A3与 A1A4同色，则 A1，A3，A4这 3 点表示的 3 名数学家可用同一种语言通话
