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1、概率论与数理统计第二章 随机变量及其概率分布（3）概率论随机变量及分布课件5 二维随机变量及其概率分布1.二维随机变量及其分布函数定义 若 和 是样本空间 上的随机变量，则称（ ， ）为二维随机变量或二维随机向量。 记积事件 的概率概率论随机变量及分布课件 设 和 是实变量，称为二维随机变量 的分布函数，记作 ，即 概率论随机变量及分布课件 分布函数的性质1. 2. 是 、 的不减函数；3.若 固定，则有 ；若 固定，则有 ；概率论随机变量及分布课件4. 概率论随机变量及分布课件 2. 边缘分布函数定义 设 的分布函数是 ， 称 为 关于 的边缘分布函数， 记作 ；类似地， 关于 的边缘分布函
2、数概率论随机变量及分布课件例1 已知随机变量 的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有 求 的分布函数、 关于 和 关于 的边缘分布函数。概率论随机变量及分布课件解 的分布函数 =若 ,则 =0；若 ，则 =1 / 4；若 ，则 = 3 / 8；若 ，则 = 5 / 8；若 ，则 = 1，概率论随机变量及分布课件 的分布函数概率论随机变量及分布课件 关于 的边缘分布函数 关于 的边缘分布函数概率论随机变量及分布课件3. 二维离散型随机变量的概率分布定义 若随机变量 的取值是 ，则 是离散型的，称为 的概率分布或分布律，也称为随机变量 与 的联合分布律。概率论随机变量及
3、分布课件（ ， ）的分布律可以表示为概率论随机变量及分布课件若是二维离散型r.v. 的分布律，则有（1）（2）概率论随机变量及分布课件二维离散型r.v. 的分布函数概率论随机变量及分布课件二维离散型随机变量的边缘分布律 关于 的边缘分布律 关于 的边缘分布律概率论随机变量及分布课件例2 盒中有3只白球，2只红球。第一次 从中任取2球不放回，第二次再从剩余 球中任取1球。用 和 分别表示第 一次和第二次取到的白球数，求 的分布律、 的分布函数、 关于 、关于 的边缘分布 律和边缘分布函数。概率论随机变量及分布课件解 的可能取值是0，1，2； 的可能 取值是 0，1 。概率论随机变量及分布课件 的
4、分布律是 0 1概率论随机变量及分布课件 的分布函数是概率论随机变量及分布课件 关于 的边缘分布律是 0 1 2 P 关于 的边缘分布律是 0 1 P 概率论随机变量及分布课件 关于 的边缘分布函数是 关于 的边缘分布函数是概率论随机变量及分布课件4. 二维连续型随机变量的概率分布定义 设 是二维r.v. 的分布 函数，若存在非负函数 ，对任 意实数 、 有 则 为连续型二维随机变量，称 为 的概率分布密度函数， 或 与 的联合分布密度函数。 概率论随机变量及分布课件分布密度函数的性质（1）（2）在 的连续点处，有（3）若G是平面区域，则有概率论随机变量及分布课件 关于 的边缘分布密度函数 关
5、于 的边缘分布密度函数概率论随机变量及分布课件例3 设 的分布密度函数是求：（1）常数 c；（2）概率论随机变量及分布课件解 （1） 概率论随机变量及分布课件（2）概率论随机变量及分布课件例4 已知二维r.v. 的分布密度函 数 求：（1）（2）（3） 关于 、关于 的边缘分布密度函数。 概率论随机变量及分布课件解 （1）概率论随机变量及分布课件（2）概率论随机变量及分布课件（3） 关于 的边缘分布密度函数概率论随机变量及分布课件 关于 的边缘分布密度函数概率论随机变量及分布课件5. 两个常用分布1）均匀分布 设G是平面有界区域，G的面积为A。若随机变量 的分布密度函数是则称 在区域G上服从均
6、匀分布。概率论随机变量及分布课件2）正态分布若随机变量 的分布密度函数是其中 ，则称 服从参数为 的正态分布，记作概率论随机变量及分布课件 当 时， 的分布密度函数是概率论随机变量及分布课件 可以证明，若则有 但是，若则 未必服从正态分布。概率论随机变量及分布课件6. 随机变量的独立性定义 若对任意实数 有则称随机变量 与 相互独立。 由二维随机变量的分布函数及边缘分布函数的定义可以得到 若对任意实数 有则随机变量 与 相互独立。概率论随机变量及分布课件 对于离散型随机变量 ，可以得到 与 相互独立的充分必要条件是对 的所有可能的取值 ，有概率论随机变量及分布课件 对于连续型随机变量 ， 与
7、相互独立的充分必要条件是对任意实变量 ，有概率论随机变量及分布课件例5 已知二维随机变量 的分布律 是 0 1 1 2 问 与 是否相互独立？ 概率论随机变量及分布课件解 关于 、关于 的边缘分布律分别是 1 2 0 1 P 2 / 3 1 / 3 P 1 / 4 3 / 4有概率论随机变量及分布课件 与 相互独立。概率论随机变量及分布课件例6 设随机变量 的分布密度函数是（1）求常数C；（2）计算 ；（3） 与 是否相互独立？概率论随机变量及分布课件解 （1） C = 1 / 2概率论随机变量及分布课件（2）概率论随机变量及分布课件（3） 概率论随机变量及分布课件 与 不相互独立。 概率论随
8、机变量及分布课件例7 已知随机变量 与 相互独立，服从（0，1）上的均匀分布， 。求（1） 的分布密度函数；（2）解 由已知， 的分布密度函数是概率论随机变量及分布课件 的分布密度函数是（1） 与 相互独立，有 的分布密度函数 概率论随机变量及分布课件（2）概率论随机变量及分布课件可以证明，若且 与 相互独立，则有概率论随机变量及分布课件例8 已知随机变量 且 与 相互独立。（1）写出随机变量 的分布密度函数 ；（2）计算 。概率论随机变量及分布课件解 （1） 与 的分布密度函数分别是且 与 相互独立， 概率论随机变量及分布课件 的分布密度函数是概率论随机变量及分布课件 （2） 概率论随机变量及分布课件多个随机变量的独立性设 是 n 维随机变量，分布函数记作 ，且 的分布函数是 。若则称 相互独立。概率论随机变量及分布课件 若 是相互独立的离散型随机变量，则有 若 是相互独立的连续型随机变量，则有 概率论随机变量及分布课件概率论随机变量及分布课件
