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1、1了解数学归纳法的原理、证明的步骤及变形的特点2会用数学归纳法证明有关几何问题整除问题和归纳猜 想的问题63数学归纳法【课标要求】 是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法用数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；(2)假设当nk(kN，且kn0)时结论正确，证明当n 时结论也正确在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确自学导引 12数学归纳法 k1 3用框图表示数学归纳法的步骤提示(1)不完全归纳法：如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该对象中的全体具有这种特征的结论为不完全归纳法由不完全归纳法得出的结论不一定
2、都是正确的，其正确性还需进一步证明(2)完全归纳法：如果我们考察了某一类对象中的所有对象而得出了该类对象全体具有某种特征的结论为完全归纳法由完全归纳法得到的结论一定是正确的数学归纳法是一种完全归纳法自主探究1什么是不完全归纳法和完全归纳法？提示验证nn0时的n0未必是1，根据题目要求，有时可以为2,3等2当nN时，必须从n1归纳吗？答案B预习测评 答案D用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6解析当n取1、2、3、4时，2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5，故选C.答案C3用数学
3、归纳法证明(11)(22)(33)(nn)2n1(n2n)时，从nk到nk1左边需要添加的因式是_解析当nk时，左端为：(11)(22)(kk)，当nk1时，左端为：(11)(22)(kk)(k1k1)，由k到k1需添加的因式为：(2k2)答案2k2 4数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可如果缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了(1)验证是基础一般情况下，用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时，第一个允许值是命题成立的第一个
4、正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.要点阐释 运用数学归纳法的注意点1 (2)递推是关键“假设nk(kn0，kN)时命题成立”这一归纳假设起着已知的作用，“nk1时命题成立”则是求证的目标在证明“nk1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk1时命题成立可见数学归纳法证明的关键在于第二步说明：(1)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛一般来说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明(2)归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证一般情况下
5、，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想是否正确从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳猜想证明”这类问题涉及的知识很广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等，解题一般分三步进行：验证p(1)，p(2)，p(3)，p(4)，；提出猜想；用数学归纳法证明归纳、猜想与证明2 典例剖析题型一用数学归纳法证明等式点评用数学归纳法证题时，要把nk时的命题当作条件，在证nk1命题成立时须用上假设要注意当nk1时，等式两边的式子与
6、nk时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决1 用数学归纳法证明：当nN时，(122232)(342452)(2n1)(2n)22n(2n1)2n(n1)(4n3)证明(1)当n1时，左式12223214，右式12714.等式成立；(2)假设当nk(kN)时等式成立，即(122232)(342452)(2k1)(2k)22k(2k1)2k(k1)(4k3)，那么(122232)(342452)(2k1)(2k)22k(2k1)2(2k1)(2k2)2(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)2(k1)(4k212k9)(4k26k2)k(k1)(4k3)2(k1)(
7、6k7)(k1)(4k215k14)(k1)(k2)(4k7)(k1)(k1)14(k1)3这表明，当nk1时，等式也成立由(1)、(2)可知，等式对一切nN都成立题型二不等式的证明点评用数学归纳法证明不等式时，nk1时的目标必须清楚明确，首先分离整理出归纳假设的部分，然后明确无误地用上假设用上假设之后，可采用综合法、分析法、比较法等方法完成后续的证明，同时注意放缩法的应用题型三证明整除问题证明(1)当n1时，x2n1y2n1xy，能被xy整除(2)假设当nk(kN，且k1)时，命题成立，即x2k1y2k1能被xy整除那么x2(k1)1y2(k1)1x2k1y2k1x2k12y2k12x2x2
8、k1y2y2k1x2y2k1x2y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(y2x2)x2k1y2k1能被xy整除，y2x2(yx)(yx)也能被xy整除，【例3】用数学归纳法证明x2n1y2n1(nN)能被xy整除这表明，当nk1时，x2(k1)1y2(k1)1能被xy整除由(1)，(2)可知原命题成立点评用数学归纳法证明整除性命题时，经常利用添加项的技巧来凑出假设. 证明：(1)当n1时，62117能被7整除(2)假设当nk(kN，且k1)时，62k11能被7整除那么62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，这表明，当nk1时，62(k1)1
9、1能被7整除由(1)、(2)知命题成立3用数学归纳法证明62n11(nN)能被7整除在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an的通项公式并加以证明解(1)由an1ann1(2)2n，将a12代入，得a2a12(2)224，将a224代入，得a3a23(2)22238，将a3238代入，得a4a34(2)233416.题型四归纳、猜想、证明 【例4】(2)由a2，a3，a4对an的通项公式做出猜想：an(n1)n2n.下面用数学归纳法加以证明当n1时，a12(11)121成立假设当nk(kN，且k1)时，ak(k1)k2k，那么ak1
10、akk1(2)2k(k1)k12kk1(2)2kkk12k1(k1)1k12k1.这表明，当nk1时，ak1(k1)1k12k1也成立综上可知，an(n1)n2n对任意nN都成立点评因为数列和数学归纳法都是与正整数有关的问题，所以利用数学归纳法研究数列问题是一种非常重要的思想方法当数列的一般性结论(如通项公式、前n项和公式等)不易直接推出时，根据前几项归纳猜想，然后利用数学归纳法进行证明，可使问题得以顺利解决当k10时，猜想成立，当k10时，ak1(k1)2(k1)1这表明，当nk1时，结论正确由、可知，数列an的通项公式是ann(2n1)(nN)误区警示利用数学归纳法证明时，一定要用“归纳假设”
