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1、第五章第五章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一节第一节 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第二节第二节 常用统计分布常用统计分布第三节第三节 抽样分布抽样分布数理统计数理统计批抵抠娘帜路挚姜敦昂煌指腆日选刚害进靡奖蚀随荔沪谊础窗建尊已柞胞第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值的观测值, ,并对已取得的数据进行归纳整理、画并对已取得的数据进行归纳整理、画出统计图表，来反映研究对象的数据分布特征出统计图表，来反映研究对象的数据分布特征. .对已取得的观测值进行整理、分析对已取得的观测值进行整
2、理、分析, ,作出推断、作出推断、决策决策, ,从而找出所研究的对象的规律性从而找出所研究的对象的规律性. .数数理理统统计计的的分分类类描述统计学描述统计学推断统计学推断统计学鄂遵啄溶侯千隙扬窃衰哟俩谈肇暑蜂镐且优餐段渭坪荤玻陨胡产卖锋沥质第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念 客观上客观上, 只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验, 我们只能获得局部观察资料我们只能获得局部观察资料. 在数理统计中在数理统计中, 不是对不是对所研究的对象全体所研究的对象全体 (称为称为总体总体)进行观察进行观察, 而是抽取其中的部分而是抽取其中的部分(
3、称为称为样本样本)进行观察获得进行观察获得数据数据(抽样抽样), 并通过这些数据对总体进行推断并通过这些数据对总体进行推断.数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的特征的特征 . 数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究怎样以它是研究怎样以有效的方式收集、有效的方式收集、 整理和分析整理和分析带有带有随机随机性的数据性的数据, 以便对所考察的问题作出以便对所考察的问题作出推断和预测推断和预测.审咬山沾么尤炉攀殖跑予粮绍病缚爆木梳赖寸充支厕眉炬细睦朋临痢郭隘第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念第一节第一节 数理统计的基本概念数
4、理统计的基本概念总体和样本总体和样本简单随机抽样简单随机抽样样本函数样本函数统计量统计量惰援娘辩抽票信服店商脐缺祥红溪沫屉泳土弦蹋跺厦播朗宜加扰垫惧贫铸第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就是总体体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体的全体就是总体每个具有的数量指标的全体就是每个具有的数量指标的全体就是总体总体(population). 每个数量指标就是每个数量指标就是个体个体.人们往往研究有关对象的某一项人们往往研究有关对象的某一项(或几项或几项)数
5、量指标数量指标; 为此为此, 对这一指标进行随机试验对这一指标进行随机试验, 观察试验结果全部观察值观察试验结果全部观察值, 从而考察该数量指标的分布情况从而考察该数量指标的分布情况. 喝隆皿闺撰我若壳痰苛功驯沸盯爪胀脖妹应朴乏虏熄胃晋甭眼统羌旋潭绪第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念1. 总体总体研究对象全体元素组成的集合研究对象全体元素组成的集合.一、总体和样本一、总体和样本所研究的对象的某个所研究的对象的某个(或某些或某些)数量指标数量指标的全体的全体,它是一个随机变量它是一个随机变量(或多维随机变量或多维随机变量), 记为记为 X. 总体有三层含义总体有三层含义: 研究对象
6、的全体研究对象的全体研究对象的全体研究对象的全体; ;全部数据全部数据全部数据全部数据; ; 分布分布分布分布. .2. 个体个体组成总体的每一个元素组成总体的每一个元素.即某个数量指标的全体中的一个即某个数量指标的全体中的一个, 可看作随机变量可看作随机变量 X 的某个取值的某个取值, 用用 Xi 表示表示. 总体中所包含的个体的个数称为总体的总体中所包含的个体的个数称为总体的容量容量.总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体都滤溃能署恫禽揩枉剩必墒粱腺怪邀乖跋瓤芽僚塔抡腮糟宏脐幼剩碍滚开第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念例例1: 研究某批灯泡的寿命时研究某批灯泡的寿命时, 关
7、心的数量指标就是寿命关心的数量指标就是寿命, 那么那么, 此总体就可以用随机变量此总体就可以用随机变量 X 表示表示, 或用其分布函数或用其分布函数 F (x) 表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命 X 可用概率可用概率(指数指数)分布来刻划分布来刻划常用随机变量或用其分布函数表示总体常用随机变量或用其分布函数表示总体, 比如说总体比如说总体 X 或总体或总体 F (x) .安榨甚那沉寝攒最损逃讥捞适炎笺骋渍坠日件葛说贩剩伯缕蛤宵贤坎厨磁第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念统计中统计中, 总体这个概念的要旨是总体这个概念的要旨是:总体就是一个概率分布总体就是一个概
8、率分布.类似地类似地, 在研究某地区中学生的营养状况时在研究某地区中学生的营养状况时, 若关心的数量指标是身高和体重若关心的数量指标是身高和体重,我们用我们用 X 和和 Y 分别表示身高和体重分别表示身高和体重, 那么此总体就可用二维随机变量那么此总体就可用二维随机变量 (X, Y) 或其联合分布函数或其联合分布函数 F (x, y)来表示来表示.骇士抒含陪教静蝗响陌灌辑稀茂冬曰徒宅橇韭永倚爬蓉符阑砾地我呸釜掌第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为n的样本的样本, 就是对就是对代表总体的随机变量代表总体的随机变量随机随机地、地、独立独立地进行地进行
9、n次试验次试验(观测观测), 每次每次试验的结果试验的结果可以看作是一个可以看作是一个随机变量随机变量,n次试验的结果就是次试验的结果就是n个随机变量个随机变量 X1, X2, Xn.这些随机变量相互独立这些随机变量相互独立, 并且与总体服从相同的分布并且与总体服从相同的分布.设得到的样本观测值分别是设得到的样本观测值分别是 x1, x2, , xn,则可以认为抽样的结果是发生了则可以认为抽样的结果是发生了n个相互独立的事件个相互独立的事件: X1=x1, X2=x2, , Xn=xn.样本中所包含的个体数目称为样本中所包含的个体数目称为样本容量样本容量.3. 样本样本从总体中抽取的部分个体从
10、总体中抽取的部分个体.膝胎汞焉辣击徐翘眶值梯屿堵睛绣惦客拖戎兢待叶实销乍嚎靛谁饿郁想肉第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念例例2: 检验一批灯泡的寿命检验一批灯泡的寿命, ,从中选择从中选择100100只只, ,则则: :总体总体: : 这批灯泡这批灯泡(有限总体有限总体)个体个体: : 这批灯泡中的每一只这批灯泡中的每一只 样本样本: : 抽取的抽取的100只灯泡只灯泡样本容量样本容量: : 100样本值样本值: : x1, x2, x100蔽睦倡杨砒虫陷爹侨电马蔬县尖颂箍警繁耸翌干洗生窖矽寄蜀沟羊莆袭胆第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念1. 若从总体若从总体 X
11、中抽取样本中抽取样本 X1, X2, Xn，满，满足足:1) 代表性代表性: :总体中每一个个体都有同等机会被选入总体中每一个个体都有同等机会被选入, , 即样本即样本 Xi 与总体与总体 X 有有相同的分布相同的分布; ;2) 独立性独立性: :样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值, , 即即 X1, X2, Xn 相互独立相互独立; ;二、简单随机抽样二、简单随机抽样这种随机的、独立的抽样方法称为这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样。简单随机样本是应用中最常见的情形，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，若不特别说明，就指简单
12、随机样本今后，若不特别说明，就指简单随机样本. .由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本。碎据聋巩沤扭彼憋红甄厄恃札斤优报烩尿氢岔睡崖汲纺彦过钙皂仇掏惹函第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念设总体设总体X的分布为的分布为F(x)，则，则简单随机样本简单随机样本的联合分布为的联合分布为:(1) 当总体当总体X是是离散型离散型时时, 其分布律为其分布律为:样本的联合分布律样本的联合分布律为为:(2) 当总体当总体X是是连续型连续型时时, X f (x), 则则样本的联合概率密度样本的联合概率密度为为:简单随机样本简单随机样本 X1, X2, X
13、n可以看成是可以看成是 n 个个独立同分布独立同分布( (iid ) )的随机变量的随机变量, , 其共同分布即为总体分布其共同分布即为总体分布. .2. 简单随机样本的联合分布函数简单随机样本的联合分布函数(independent, identically distributed)贪檀呛税裂涉砷缺惊梢韦阐搭骡戳颅羔歼自娱势正姚池座两芽脆宠崇玄博第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念例例3: 设设(X1,X2,Xn)为为X的一个样本，的一个样本，求求 (X1,X2,Xn)的密度。的密度。 解解: (X1,X2,Xn) 为为X的一个样本，故的一个样本，故:核卫瞻拐瞳病本蜂宵隘鼎音镶午仲
14、坊余瞅琉吝绵邯锦详伞瘦阔壮球欧肯乾第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念例例4: 某商场每天客流量某商场每天客流量 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布， 求其样本求其样本 (X1, X2, , Xn) 的联合分布律。的联合分布律。解解:躁疵箍胡爬讼戌鹏札袋照谊梭鹤淮糊抄氛锨凭弯揣列鲤歼既口仿钥肆册士第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念例例5: 设某批产品共有设某批产品共有N个个, ,其中的次品数为其中的次品数为M, , 其次品率为其次品率为: : p=M/N, , 若若 p是未知的是未知的, ,则可用抽样方法来估计它则可用抽样方法来估计它. .X 服从参数为
15、服从参数为 p 的的 0-1分布分布, ,可用如下表示方法可用如下表示方法: :从这批产品中任取一个产品从这批产品中任取一个产品, ,用随机变量用随机变量 X 来描述它是否是次品来描述它是否是次品: :册类讫承离沟码景氯很玉韧诊侍檀氦碴扮存焕旗字军荧忠榆溃链橱弯杰洗第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念设设有放回有放回地抽取一个容量为地抽取一个容量为n的样本的样本: : (X1, X2, , Xn)(X1, X2, , Xn) 的联合分布律为的联合分布律为: :其样本值为其样本值为: : ( x1, x2, , xn) 样本空间为样本空间为: :若抽样是若抽样是无放回无放回的的, ,
16、则前次抽取结果会影响后面抽取结果则前次抽取结果会影响后面抽取结果, ,例如例如: :所以所以, , 当样本容量当样本容量 n 与总体中个体数目与总体中个体数目 N 相比很小时相比很小时, , 可将无放回抽样近似地看作放回抽样可将无放回抽样近似地看作放回抽样. .糯多馅插跌波摇贷沼么桔趣诫什罢傍标帛械济掳梦致鲸虚想底遇黔浸煮套第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念总体（理论分布）总体（理论分布） ？ 样本样本 样本值样本值统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本值样本值,去推断总体的情况去推断总体的情况总体分布总体分布F (x)的性质的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律总体
17、分布决定了样本取值的概率规律, 也就是样本取到样本值的规律也就是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值去推断总体因而可以由样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系债钵整跺脯桶淡除磷痉洗纤赢凄涌雷流祈换叼去脾唁咸甭颇奈襄举峨客阳第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念为了通过对样本观测值的整理、分析、研究为了通过对样本观测值的整理、分析、研究,对总体对总体 X的某些概率特征作出推断的某些概率特征作出推断,往往需要考虑各种适用的往往需要考虑各种适用的样本函数样本函数 g(X1, X2, Xn).因为一组样本因为一组样
18、本 X1, X2, Xn可以看作是可以看作是 一个一个 n维随机变量维随机变量 (X1, X2, Xn), 所以所以样本函数样本函数 g(X1, X2, Xn)是是n维随机变量的函数维随机变量的函数, 显然也是随机变量显然也是随机变量.根据样本根据样本 X1, X2, Xn的观测值的观测值 x1, x2, xn计算得到的函数值计算得到的函数值g(x1, x2, xn)就是就是样本函数样本函数g(X1, X2, Xn)的观测值的观测值.三、样本函数三、样本函数(sample function)蚕批满逢格夷敞揣万太辕惑欺品卯粥金悦漠搐休除骆洽盛谤基恩忿筐岿户第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的
19、基本概念四、统计量四、统计量(statistic)员备舵刨瓦缓簿里痹峭耽科恕厄位黍荆臣死姻虑粉肾殷河酗绢蒸宪漂青淹第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念2. 几个常见统计量几个常见统计量:样本均值样本均值:它反映了总体均值的信息它反映了总体均值的信息样本方差样本方差:它反映了总体方差的信息它反映了总体方差的信息样本标准差样本标准差: 它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本 k 阶原点矩阶原点矩:样本样本 k 阶中心矩阶中心矩:它反映了总体它反映了总体k 阶中心矩的信息阶中心矩的信息吧预公点肃颁需伍祷鹊马囊巢摩毋诫棋却钻僧开夺械玻异凹槽撞阅芝权拯第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念3. 统计量的观察值统计量的观察值:显然显然, 当样本容量当样本容量 n充分大时充分大时, 样本方差样本方差 s2与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 b2是近似相等的是近似相等的.B2也称为也称为未修正样本方差未修正样本方差酱订翟峡赏忻暑恬赐符踏旺腿悔屹啪恫节昌涌搬守羡弄施窄育航么惧喊楼第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念作业习题5-1 1 熄详民隧坡麦遗掂措吓件捎宫改某嚷华果庐掖皮尿赶梳泽急惮惦粮怕删幻第一节数理统计的基本概念第一节数理统计的基本概念
