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1、定积分的概念定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题二类基本问题定积分，它是微分（求局部量）定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和的逆运算（微分的无限求和求总量），然后求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。中有着极其广泛的应用。重点重点定积分的概念和性质，微积分基本公定积分的概
2、念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法式，定积分的换元法和分部积分法难点难点定义及换元法和分部法的运用定义及换元法和分部法的运用基本要求基本要求正确理解定积分的概念及其实际背景正确理解定积分的概念及其实际背景记住定积分的性质并能正确地运用记住定积分的性质并能正确地运用掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，并会用并会用N-L公式公式计算定积分，计算定积分，能正确熟练地运用换元法和分部积分法能正确熟练地运用换元法和分部积分法正确理解两类广义积分概念，正确理解两类广义积分概念， 并会用定义并会用定义 计算一些较简单的广义积分。计算一些较简单的广义
3、积分。计计 算定积分算定积分实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积） 求面积问题由来已久，对于由直线所围成的求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积如何求面积将其置于直角将其置于直角坐标系下考察坐标系下考察oxyabABmn问题归结为问题归结为AmBbaA与与AnBbaA的面积之差的面积之差曲边梯形曲边梯形一、问题的提出一、问题的提出abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyo（四个小矩形）（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩
4、形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示曲边梯形如图所示曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段
5、上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度 （2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值 （1）分割）分割问题问题 以上两个例子，一个是以上两个例子，一个是几何几何问题，求的问题，求的是以曲线是以曲线 y = f(x)为曲边，以为曲边，以 a,b 为底边为底边的曲边梯形的面积。一个是的曲边梯形的面积。一个是物理物理问题，求的问题，求的是速度函数为是速度函数为v(t)的变速直
6、线运动的物体在的变速直线运动的物体在时间区间时间区间 a,b 所走过的路程所走过的路程归纳归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）量（总面积或总路程）解决方法：解决方法： 通过通过局部取近似局部取近似（求微分求微分），），求和取极限求和取极限（微分的无限求和微分的无限求和）的方法，把总量归结为）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限求一种特定和式的极限 类似的例子还可以举出很多（几何、物类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）理的，在下一章定积分应用中即可见到） 这些问题虽然研究的对象不同，但解决这些问题虽然研
7、究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义定义 二、定积分的定义二、定积分的定义记为记为被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义 几何意义：几何意义：解解例例1
8、 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分例例2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解在在 0,1上连续，故上连续，故f(x)在在0,1上可积上可积为为方便计，将方便计，将 0,1n 等分，左侧取点等分，左侧取点等比数列等比数列证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系13观察下
9、列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系23观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系33观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系43观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系53观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分
10、割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系63观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系73观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系83观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系93观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边
11、梯形面积的关系103观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系113观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系123观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系133观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系143定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限 分、粗、和、精分、粗、和、精定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 五、小结五、小结将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答思考题思考题练练 习习 题题练习题答案练习题答案
