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1、2 0 1 4 - 2 0 1 5学 年 第 二 学 期 高 一 数 学 期 末 考 试 模 拟 卷考试时间: 120 分钟;满分: 150 第 I 卷(选择题)评卷人得分一、选择题1已知( , )|1,0,0,(,2 ) | ( , ),( , )Ax yxyxyBxy xyx yAu vB点,则2uv的最大值为A1 B2 C3 4 2 在棱长为a的正方体1111ABCDA B C D内任取一点P, 则点P到点A的距离小等于a的概率为A22 B22 C61 D613已知 an是首项为 50,公差为 2 的等差数列 ,bn是首项为 10,公差为 4 的等差数列 ,设以 ak、bk为相邻两边的矩
2、形内最大圆的面积为Sk,若 k21,那么 Sk等于 ( )A.(2k+1)2 B.(2k+3)2C.(k+12)2 D.(k+24)24设等比数列na的前n项和为nS,若23S,186S,则510SS()A17 B33 C-31 D-3 5下列赋值语句正确的是( ) A2ab B5a C4ab D2aa6同时抛掷三颗骰子一次,设A“三个点数都不相同”,B“至少有一个6 点”则)|(ABP为()A. 21 B. 9160 C. 185 D. 216917函数226(1)1xxyxx的最小值为 ( )A10 B9 C6 D48若实数x、y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为()A9
3、 B3C0 D39从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,Mx y,则点M取自阴影部分的概率为()A.12B.13C.14D.1610执行如图所示的程序框图,输出的S值为A1 B. 1 C. 2 D. 011一支足球队每场比赛获胜(得3 分)的概率为a, 与对手踢平(得1 分)的概率为 b 负于对手(得0 分)的概率为, , ,0,1c a b c. 已知该足球队进行一场比赛得分的期望是 1, 则113ab的最小值为()A.163B.143C.173D.10312已知 B(n,p) ,且 E=7,D=6,则 p 等于 ( ) A.71B.61 C.51D.4113已知cba,成等比数列,且
4、yx,分别为a与b,b与c的等差中项,则ycxa的值为A.21 B.2 C.2 D. 不确定14已知一个数列的前四项为22221357,24816,则它的一个通项公式为xyOAC(1,1BA221( 1)(2 )nnnB1221( 1)(2 )nnn C 221( 1)2nnnD 1221( 1)2nnn15设na是等比数列,公比2q,nS为na的前 n 项和。记*2117,nnnnSSTnNa设0nT为数列nT的最大项,则0n=()A3 B4 C5 D6 16已知 Sn是等差数列 an(nN*)的前 n 项和,且S6S7S5,有下列四个命题,假命题的是 ( ) (A) 公差 d0 (B)在所
5、有 Sn0 的 n 的个数有 11 个(D)a6a717数列1,3,6,10,15,的递推公式是A.111,nnaaan nN B.111,2nnaaan nNnC. 111(1),nnaaannN D. 1111(1),2nnaaannNn18如果执行右面的算法语句输出结果是2,则输入的x值是()A.0 B.0或 2 C.2 D.-1或 2 19 设实数yx,满足0205202yyxyx , 则yxxyu的取值范围为() A. 2 ,31 B. 2,38 C. 23,38 D. 23,0第 II卷(非选择题)评卷人得分二、填空题输入 x If 1x Then Else End If 20在等
6、比数列na中,1346510,4aaaa,则公比q等于21若由一个 2*2 列联表中的数据计算得k2=4.013, 那么有把握认为两个变量有关系22在38和272之间插入 3 个数,使这 5 个数成等比数列,则插入的3 个数乘积为23 已知数列na,nb满足2111,1,21nnnnnabbbaa()nN,则2012b 24不等式组2301xxxx的解集是 . 25已知 x,y 满足条件220240330xyxyxy,则目标函数34zxy的最大值为 . 26 已知实数xy,满足条件240220330xyxyxy,则2zxy的最大值为27 等 比 数 列na满 足 : 对 任 意*211,23,
7、nnnnnnNaaaaa, 则 公 比q . 28在等比数列na中,0na,且168721aaaa,则54aa的最小值为29某高中共有学生2000 名,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学生中随机抽取 1 人,抽到高二年级女生的概率是0.19 ,现用分层抽样的方法在全校抽取64 名学生,则在高三年级应抽取名学生 . 高一高二高三女生373 m n 男生377 370 p 评卷人得分三、解答题30 (本小题满分12 分)已知数列na的前 n 项和nS满足11nnaaSa(a0,且1a) 。数列nb满足lgnnnbaa(I )求数列na的通项。(II )若对一切nN都有1nnbb,求a的取值范围
8、。31设数列na的前n项和为nS,101a,1091nnSa.求证:数列lgna是等差数列 . 设nT是数列)(lg(lg31nnaa的前n项和,求使)5(412mmTn对所有的Nn都成立的最大正整数m的值 . (本题满分 12 分)32记数列na的前 n 项和nS,且*)()21 (22N,ncncncSn为常数,且521,aaa成公比不等于 1 的等比数列。(1)求 c 的值;(2)设11nnnaab,求数列 nb的前 n 项和 Tn33 已 知 数 列na的 前n项 和1*3312nnSnN, 数 列nb满 足*1312lognnnabnNa(1)求数列na的通项公式,并说明na是否为等
9、比数列;(2)求数列1nb的前n项和nT. 34已知函数2( )=3-6 -5f xxx.(1) 求不等式( )4f x的解集 ;(2) 设2( )= ( )-2+g xf xxmx, 其中mR,求( )g x在区间l,3上的最小值 .35 (本小题满分12 分)为了解我区中学生的体质状况及城乡大学生的体质差异,对银川地区部分大学的学生进行了身高、 体重和肺活量的抽样调查。现随机抽取100 名学生, 测得其身高情况如下表所示(1 )请在频率分布表中的、位置填上相应的数据,并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计众数的值;(2)若按身高分层抽样,抽取20 人参加 2011 年庆元旦“步步高
10、杯”全民健身运动其中有 3 名学生参加越野比赛,记这3 名学生中“身高低于170Ccm ”的人数为,求的分布列及期望。36设数列na为等比数列,数列nb满足121(1)2nnnbnanaaaL,n*N,已知1bm,232mb,其中0m. ( ) 求数列na的首项和公比;( ) 当9m时,求nb;( ) 设nS为数列na的前n项和,若对于任意的正整数n,都有2,6nS,求实数m的取值范围 . 37在矩形ABCD中,2AB,3AD, 如果向该矩形内随机投一点P,求使得 ABP与CDP面积都不小于 1的概率38 (12 分)在数列 an 中,0122311nnaaa且满足(1)求数列 an 的通项公
11、式;(2) 计算nnnanslim. 39某厂家拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12. 若某人获得两个“支持”,则给予10 万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5 万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令表示该公司的资助总额()写出的分布列;()求数学期望E40 (本题满分14 分)某校高三的某次数学测试中,对其中100 名学生的成绩进行分析,按成绩分组, 得到的频率分布表如下:(1)求出频率分布表中、位置相应的数据;(2)为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛,学校决定在成绩较高的第3
12、、4、5 组中分层抽样取 5 名学生,则第4、5 组每组各抽取多少名学生?(3)为了了解学生的学习情况,学校又在这5 名学生当中随机抽取2 名进行访谈, 求第 4 组中至少有一名学生被抽到的概率是多少?41某高校在2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组得到的频率分布表如下图所示,班号分组频数频率第1组5 0.050 第2组0.350 第3组30 第4组20 0.200 第5组10 0.100 组号分组频数频率第1组15 第2组0.35 第3组20 0.20 第4组20 0.20 第5组10 0.10 合计100 1.00 合计100 1.00 (1)请
13、先求出频率分布表中、位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(3)在(2)的前提下, 学校决定在 6 名学生中随机抽取2 名学生接受 A考官的面试,求:第 4 组至少有一名学生被考官A面试的概率?160 165170 175 180 185成绩频率 / 组距0.080.070.060.050.040.030.020.01频 率 分 布 直参考答案1D 【解析】2D 【解析】试题分析:依题意可知与点A 距离等于a的点的
14、轨迹是一个八分之一个球面,其体积为:331141,836Vaa点P到点A的距离小等于a的概率为3316.6aa考点:本小题注意考查几何概型. 点评:本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、化归与转化思想属于基础题3B【解析】 an=2n+48,bn=4n+6,当 k=21 时,akbk.(Sk)max= (2kb)2=(2k+3)2.4B 【解析】试题分析:由已知3611(1)(1)2,1811aqaqqq,所以61663331(1)18 11,9,980,1(1)2 11aqqqqqqaqqq(舍去) ,2q,故10101055511233112Sq
15、Sq,选B. 考点:等比数列的求和公式5D 【解析】解:因为赋值语句就是将数字和式子赋值给变量,一次只能给一个变量赋值,因此选D 6A 【解析】根据条件概率的含义,P(A|B)其含义为在B 发生的情况下, A发生的概率,即在“至少出现一个6 点”的情况下, “三个点数都不相同”的概率,“至少出现一个6 点”的情况数目为666-555=91,“三个点数都不相同”则只有一个3 点,共 C3154=60 种,故 P(A|B)=60 91 7A【解析】2226(1)4(1)991423410111xxxxyxxxx,选 A.8A 【解析】试题分析:作出不等式0,30,03,xyxyx表示的区域如图所示
16、,从图可以看出,当3,3xy时,2xy取最大值2 3( 3)9. 考点:线性规划 . 9B 【解析】试题分析:阴影部分的面积31231200211333Sxxdxxx,而正方形OABC的面积211S,故点M取自阴影部分的概率为13SPS,故选 B. 考点: 1. 定积分; 2. 几何概型10D 【解析】试题分析:0,11,01,1TSTSTS考点:算法和程序框图. 11A 【解析】试题分析: 根据题意, 由于足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a, 与对手踢平(得1 分)的概率为b 负于对手(得0 分)的概率为c,则可知a+b+c=1, 可 知 该 足 球 队 进 行 一 场 比 赛 得
17、 分 的 期 望3a+b=1, 则1111101016=a+b+2=33333babaabababab()( 3)=+, 当 a=b时等号成立,故答案为 A。考点:不等式点评:主要是考查了均值不等式的求解最值的运用,属于基础题。12A 【解析】 E=np=7,D=np(1p)=6,所以 p=71. 13 C 【 解 析 】 由 题 意 得2,22abbcbac xy14D 【解析】利用数列的奇数项为正,偶数项为负,判断A、C与 B、D错误的一组,令 n=1,2,3 判断符合的选项即可解答:解:因为一个数列的前四项为22221357,24816,数列的奇数项为正,偶数项为负,所以 A、C必错误,
18、 B、D中有一个正确,当n=1,2 时都正确, n=3时 B为-5/36 ,不正确故选 D15B 【解析】试题分析:设等比数列的首项为1a,则111( 2) ( 2)112,nnnnaaaS211211( 2) ( 21)( 2117171212)nnnnnnnaaSSTaa=11621712()()2nn16()(282)nnQ,当且仅当1622()()nn,即 n=4 时取等号, 所以当 n0=4时, Tn有最大值故选 B考点: 1. 数列递推式; 2 等比数列的通项公式;3. 等比数列的前n 项和 . 16C 【解析】试题分析:等差数列an 中,S6最大,且 S6S7S5a10,d0,A
19、正确;S6最大, a60,a70, D正确;S13= 11377aaaa1322130,a6+a70,a6-a7,s12=67112aaaa1212220;Sn的值当 n6 递增,当 n7 递减,前 12 项和为正,当n=13 时为负故 B正确;满足sn0 的 n 的个数有 12 个,故 C错误;故选 C。考点:本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式。点评:典型题,在等差数列中Sn存在最大值的条件是:a10,d0一般两种解决问题的思路: “项分析法”与“和分析法” 。17B 【解析】略18【解析】试题分析:由题意算法语句是求函数22111xxyxxx的值,算法语句输出结果是 2,即2y,有分
20、段函数求值可得,0x或2x,故选考点:算法语句,分段函数19C 【解析】2012【解析】试题分析:将已知条件相除,3461351141082aaqqaa. 考点:等比数列通项性质. 2199% 【解析】略22216 【解析】本题考查等比数列的性质设插入的三个数分别为, ,x y z,则2yxz;因为827, , , ,32x y z成等比数列,则有28273632y;又因为2803yx,所以0y,所以6y所以216xyz即插入的 3 个数乘积为216xyz2320132012【解析】122111(1)2nnnnnnbbbabb, 1123112131,122342223babb,4143524
21、b24 3x1-x【解析】试 题 分 析 : 不 等 式, 032xx可 化 为,0)3(xx解 得, 30x不 等 式xx1,可化为, 0-12xx分为,0012xx或0,012xx解得1x或01x,通过数轴表示出,30x和1x或01x,求其公共部分 . 考点:求不等式组的解集、分式不等式和一元二次不等式的解集. 2518【解析】试题分析:画出可行域,如下图所示,将目标函数变形为344zyx,当z取到最大值时,直线的纵截距最大,故将直线34yx向上平移到过点C时,目标函数取到最大值,240330xyxy, 得(2,3)C, 故max324318z考点:线性规划268【解析】略272 【解析】
22、试题分析:由已知得,21223 ,2,2qq q. 因为1nnaa,所以2q. 考点: 1、等比数列; 2、二次方程 . 2822【 解 析 】 先 根 据 等 比 中 项 的 性 质 可 知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6, 进 而 根 据a1?a2?a7?a8=16求得 a4a5的值,最后根据均值不等式求得答案解答:解:数列an为等比数列,a4a5=a1a8=a2a7=a3a6,a1?a2?a7?a8=(a4a5)4=16,a4a5=2 a4+a5245a a2 2故答案为: 222916 【解析】试题分析: 抽到高二年级女生的概率是0.19 ,属于古典概型,0.192000m,3
23、80m,这样高一学生总数为750,高二学生总数为750,那么高三学生总数为500,应用分层抽样,样本容量比与总体容量比相等,可得高三应抽取 16 人考点:分层抽样30(1)Nnaann( (2)1a或210a【解析】试题分析:解: (1 )由题意可知当1n时,aa12分当2n时,)1(1nnaaaS(1))1(111nnaaaS(2)用(1)式减去( 2)式得:aaann1所以数列na是等比数列所以Nnaann()6分(2)因为lgnnnbaa所以aanbnnlg.当对一切nN都有1nnbb即有aanaannnlg.).1(lg.1(1) 当时即有10lgaa有1nna当 对 一切nN都 成
24、立 所 以1a9 分(2)当时即有100lgaa有1nna当对一切nN都成立所以有210a11 分综合以上可知1a或210a12 分考点:本试题考查的数列的通项公式,以及单调性性质。点评:对于数列的通项公式的求解,一般可以通过前n 项和与通项公式的关系来解得,也可以利用递推关系来构造特殊的等差或者等比数列来求解。而对于数列的单调性的证明,一般只能用定义法来说明,进而得到参数的范围,属于中档题。31 解: 依题意,10010912aa, 故1012aa, . (2 分)当2n时,1091nnSa又1091nnSa . . (4 分) 整理得:101nnaa,故naNn为等比数列,且nnnqaa1
25、011,nanlg. 1)1(lglg1nnaann,即lgna是等差数列 . . (6分)由知,)1(1321211(3nnTn=133)1113121211(3nnn. . (9 分)23nT,依题意有)5(41232mm,解得61m,(11 分)故所求最大正整数m的值为5 . (12 分)【解析】略32 (1)c=2 (2)12)1211 (21nnn【解析】试题分析:解: ()由2122nccSnn,1111,1;2,1(1)nnnnaSnaSSnc故1(1)nanc而521,aaa成公比不等于1的等比数列,即2114cc且0c,所以2c()由()知,12nan. )121121(21
26、)12)(12(111nnnnaabnnn12111111(1)()()23352121nnTbbbnnLL考点:等比数列点评:主要是考查了等比数列的通项公式和裂项求和的运用,属于基础题。33 (1)数列na的通项公式为12,13,22nnnan,na不是等比数列;(2)数列1nb的前n项和26(62 )()3nnTn. 【解析】试题分析:(1)已知nS求na,用11,1,2nnnS naSSn即可求出数列na的通项公式, 由公式易知na不是等比数列;(2)先求出数列1nb的通项公式,用错位相减法求出前n项和nT. (1)1112naS时,2132312nnn时, S,两式相减得132nna1
27、2,13,22nnnan,故na不是等比数列 . (2)1 3()2nnbn,12n()3nnb由错位相减得122266()3 ()6(62 )()333nnnnTnn. 考点:数列通项公式的求法、数列求和. 34 (1)|31x xx或(2)265g xxmx,2min314,01256,04410,4mmmmgxmmm.【解析】试题分析:( 1)转化成解2230,xx得到解集为|31x xx或.(2)化简得2( )(6)5g xxmx,其图象开口向上,对称轴为62mx,分类讨论,当61,42mm、613,042mm、63,02mm时,函教在区间l,3取得最小值的情况.(1)( )4f x,
28、即223654,230,xxxx解得3x或1x,解集为|31x xx或(2)2( )= ( )-2+g xf xxmx即2( )(6)5g xxmx,其图象开口向上,对称轴为62mx,所以,当61,42mm时,函教在区间l,3单调递增,在1x取得最小值,且最小值为10m;当613,042mm时 , 函 教 在62mx取 得 最 小 值 , 且 最 小 值 为212564mm;当63,02mm时,函教在区间l,3单调递减,在3x取得最小值,且最小值为314m;综上知,2min314,01256,04410,4mmmmgxmmm.考点:一元二次不等式的解法,二次函数的图象和性质.35解: (1)
29、:处分别填2、35、0.350 ,众数是172.5CM,补全频率分布直方图(略) ;(2) :用分层抽样的方法,从中选取20 人,则“身高低于170CM ”的有 5人。所以的可能的值为0,1,2,3 则27891)0(320315CCP;7635) 1(32015215?CCCP;385)2(32025115?CCCP;1141)3(32035CCP;0 1 2 3 P E()=43【解析】略36解: ( ) 由已知11ba,所以1am,2122baa, 所以12322aam,解得22ma,所以数列na的公比12q. 2 分( ) 因为11()2nnam,121(1)2nnnbnanaaaL,
30、2311(1)22nnnbnanaaaL,得23132nnnbnmaaaaL,4 分所以111() 311221() 12321()2nnnmbnmnmm,当9m时,162( 2)nnbn. 6 分( )11 () 2121() 1321()2nnnmmS,7 分因为11()02n,所以,由2,6nS得2261131()1()22nnm,注意到,当n为奇数时131()(1, 22n,当n为偶数时131(),1)24n,所以11()2n最大值为32,最小值为34. 9 分对于任意的正整数n都有2261131()1()22nnm,所以82433m,46m. 即所求实数m的取值范围是46mm. 10
31、 分【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解,以及数列前n项和的运用。( 1 ) 因 为 设 数 列na为 等 比 数 列 , 数 列nb满 足121(1)2nnnbnanaaaL,n*N,已知1bm,232mb,其中0m,那么可知由已知11ba,所以1am,2122baa, 所以12322aam,解得22ma,所以数列na的公比12q(2)利用错位相减法得到数列bn的公式。(3)设nS为数列na的前n项和,若对于任意的正整数n,都有2,6nS因为11 () 2121() 1321()2nnnmmS,可以解得。3713【解析】如图:当P点 落 在 如 图 所 示 的 黄 色 阴 影
32、部 分 时 , ABP的 面 积hABS.211hh. 2.21其中h为高,即P到AB边的距离,1FDEFAE,故当P在矩形EFMN内时,满足要求矩形EFMN的面积221S,矩形ABCD的面积为6,所以所求的概率3162总黄SSP38解: (1)由211 1),1(21:012111aaaaaannnnn是以则得为首项,以 2 为公比的等比数列, 4分.12,221121nnnnaa即(也可以求几项,猜结论,数学归纳法证明) 8分(2)nSnnn)22121() 12()12()11() 121(22.212212limlim,212211nnnnnnnanSn 12分【解析】略39【解析】解
33、:( 1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30(2)315515315101520253015326416643264E. 40 (1)处的数据为:3510035.0处的数据为:15.010015(2)第 4 组抽取的学生人数为:220505(人) ;第 5 组抽取的学生人数为:110505(人)(3)第 4 组中至少有一名学生被抽到的概率是7.0107)(AP【解析】解:(1)处的数据为:3510035. 0 2 分处的数据为:15.010015 4 分(2)第 4 组抽取的学生人数为:220505(人) ; 6 分第 5 组抽取的学生人数为:110505(人) ; 8 分(3)
34、记“第 4 组中至少有一名学生被抽到”为事件A,从 “ 这5名 学 生 当 中 随 机 抽 取2名 ” 的 总 基 本 事 件 数 有10种, 10 分而 “ 第4 组 中 至 少 有 一 名 学 生 被 抽 到 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 有 7种, 12 故7.0107)(AP 14 分41 (1)应为 1000.35=35, 应为3.010030; (2)第 3、4、5 组中分别抽取 3 人, 2 人, 1 人,进入第二轮面试; (3)35. 【解析】试题分析:(1)根据频数 =样本容量频率,可分别计算;(2)分层抽样是按一定的比例进行抽取,因为第3、4、5 组人数之比为30:2
35、0:10=3:2:1,且共抽取 6 人,所以第 3、4、5 组中分别抽取3 人,2 人, 1 人,进入第二轮面试;(3)根据古典概型求概率的公式,先写出基本事件的个数15 个,而第 4组至少有一名学生被A面试为事件为9 个,所以第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为93155. (1)应为 1000.35=35, 应为3 .010030(2) 第 3、4、5 组人数之比为30:20:10=3:2:1,且共抽取 6 人,第 3、4、5 组中分别抽取3 人, 2 人, 1 人,进入第二轮面试. (3)设这 6 人分别为,、CBBAAA21321设第 4 组至少有一名学生被A面试为事件m所有基本事件为CABABAAAAA,121113121共有 15 个基本事件事件m包含 9 个基本事件,每个基本时间被抽中是等可能的53159mP考点:频率、频数、直方图的画法、分层抽样、古典概型.