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1、数 理 经 济 学 茹 少 峰 课 后题 及 答 案 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020 第四章习题答案 1.求下列函数的极值。（1）byaxyxyxy3322（2）xxy212（3）1613xy（4）1lnxxxy解：（ 1）根据二元函数极值的必要条件，可得032ayxfx，032byxfy解得，)2,2(),(abbayx为可能的极值点。根据充分条件，函数),(yxf的二阶导师组成的Hessian 矩阵为03H，因此)2 ,2(abba为),(yxf的严格极小值点，极值为22353baba。（2）根据一元函数极值的必要
2、条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。（3）根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为1x。由充分条件知66 xy。当1x时0 y，所以该函数极值不存在。（4）根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为ex。由充分条件知4 3ln2xxxxy。当ex时，013 ey，因此该函数存在极大值为e1。 2. 讨论函数122yxxyyxf，的极值。解：根据二元函数极值的必要条件，可得)21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0, 0(),(yxyxyxyxyx为可能的极值点。根据充分条件，函数),(yxf的二阶导师组成的Hess
3、ian 矩阵为)0 ,0(),(yx时，01H，因此函数在该点无极值；)21,21(),(yx时，0223212123H，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81；)21,21(),(yx时，0223212123H，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81；)21,21(),(yx时，0223212123H，0) 1( ,0) 1(221AA，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81；)21,21(),(yx时，0223212123H，0)1( ,0)1(221AA，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81 3. 试说明对于任意的0，生产函数
4、LAKxf)(是凹函数。证明：LKAfK1,11LKAfKLLKAfKK2)1(,2)1(LKAfLL所以函数的 Hessian 矩阵为因为10, 10，所以0),(LKH; 且0) 1( ,0)1(221AA,Hessian 是 负定的，因此生产函数是严格凹函数。 4. 考虑生产函数KLy。如果11010，试说明该生产函数对于 L 和 K 的任意取值都是严格凹函数。如果1，该函数是什么形状？证明：（ 1）同上，可求得函数的Hessian 矩阵为 Hessian是负定的，该函数对于K、L 任意取值都是严格凹函数。 5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为0W。若该厂商每期的
5、固定成本为 F ，产品的价格为0P，要求：（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；（2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解: （1）生产函数为：)(LfQ收益函数为：)(LfPQPR成本函数为：FWLC0利润函数为：)()(0FLWLPfCR（2）利润最大化的一阶条件为：0)(0WLLdfPL，即PWLLdf0)(。该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：因为0P，所以0)(22LdLdf，
6、也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最大化 . 6. 某厂商有如下的总成本函数C 与总需求函数Q：，QQ-QC5011173123PQ100.请回答下列问题：（1） 确定总收益函数R与总利润函数。（2） 确定利润最大化的产出水平及最大利润。解：（1）)100(QQPQR (2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，11, 1QQ。利润最大化的二阶充分条件为：1222QQ，当1Q时，02Q，函数取得极小值为；当11Q时，02Q，函数取得极大值为；所以，在产出水平为11时，利润最大为。 7. 设有二次利润函数，kjQhQ2Q试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：（1）证明若什么也不生
7、产，由于固定成本的关系，利润将为负；（2）证明利润函数为严格凹函数；（3）求在正的产出水平Q下的最大化利润。解：（1）由题可知，当0Q时，k。由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为0k。（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为02jhQQ，求得hjQ2；二阶充分条件为hQ22。函数为严格凹函数满足的充要条件：0)( xf，即02Q,因此，0h。(3) 在正的产出水平下，02hjQ，因此0j。 8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为1P和2P，产品的需求函数Q及成本函数 C 为：211240-PP-Q，21235-P-PQ，102221QQC，求
8、利润最大化的价格水平。解：利润函数2835185270837212122212211PPPPPPCQPQP利润最大化的一阶必要条件为：0270814211PPP,018568212PPP解得，,5.21,721PP又020,06,01421222112211所以，在利润最大化是价格水平为,5.21,721PP 9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为1P和2P，单位时间内 i 产品的产出水平为iQ，厂商成本函数为22212122QQQQC，求：（1） 利润最大化的产出水平；（2） 若总成本函数为222122QQC，两产品的生产是否存在技术相关性，1Q与2Q的新最优水平是多少
9、？（3） 对参变量1P和2P进行比较静态分析。解: （1）)22(2221212211QQQQQPQP04211QQPQ,041222QQPQ可得,34211PPQ,3413212PPQ（2）)22(22212211QQQPQP04111QPQ，04211QPQ，可得，1141PQ,2241PQ而0212QQ, 即在最优产量下，21,QQ不存在技术相关性。（3）由（1）问中的最优产量,34211PPQ,3413212PPQ3411PQ,3121PQ,31312PQ,3422PQ即，产品 1 价格上升 1 单位，产量上升34，价格下降313；产品 1 价格上升 1 单位，产量下降31，价格下降3
10、4； 10.一个公司有严格凹的生产函数LKQ,。给定 P产品价格，r资本的利用率，工资。要求：（1） 对利润达到最大化的投入要素K 与 L 进行比较静态分析，并作简要的分析说明；（2） 假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas 函数，做同样的比较静态分析。解：（ 1）wLrKLKPQ),(利润最大化时，最优解为),(wrPKK，),(wrPLLwLrKLKPQ),(为最优值函数。r变化对最大利润的影响为：KrLwrLLQPrKrrKKQPr利润最大化时有0rKQP,0wLQP则rKr，wLw即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。（2）wL
11、rKLPK利润最大化时，最优解为),(wrPKK，),(wrPLLwLrKLKPQ),(为最优值函数。rKr，wLw,)()(LKP 11. 考虑参数为a的极大化问题函数043;22aaaxxaxf：（1） 利用包络定理求函数axf;的最大值关于参数a的导数；（2） 分析参数a对目标函数的最大值的影响。解：（1）假设最优解为)( axx，（2）一阶条件为0),(xaaxf，即03)(2aax所以，参数 a 与木匾函数的最大值同向变动。 12. 考虑参数最优化问题1323,max2343xexxaaxfa（a为参数）：（1） 求目标函数的极大值关于参数a的导数；（2） 分析参数a对目标函数的极大
12、值的影响（假设这个问题的最优解0ax）。解：（ 1）假设最优解)(axx利用包络定理（2）0)(ax，由（ 1）中结果，0),(daaxdf，所以参数a对目标函数极值的影响是同增同减的。 13. 给定依赖于投入参数y的短期总成本函数ydqbqayyqc2，这里0dba，求长期总成本函数qcL。解：长期总成本函数ydqbqayyqCqCs2),(min)(0,dba要使上式为极小值，必须满足一阶必要条件：04),(2ydqayyqC，即adqy4代入可得aqC)(adq4adqdqbq42 14. 航空公司在甲乙两地之间有固定的航班。他比预定航班的商务乘客和预定周六晚上过夜航班的乘客的需求看作两
13、个单独的市场。假设商务乘客的需求函数为pQ16，旅游乘客的需求函数为pQ10，对于所有乘客的成本函数为210QQC。该航空公司在两个市场如何定价才能获得最大利润？解：总利润函数3767842PP由一阶必要条件可得，439P二阶充分条件可得，08 ，即该点为极大值。 15. 给定一个价格接受的厂商的生产函数LKQ,。假设0KLQ，即资本的边际产量随着劳动力的增加而增加。给定产品价格P，资本的租金率r和工资，则它的利润函数为LKLKPQLK,。假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，试分别讨论外生变量r、和 P 之一的变化对各个内生变量的最优值K和L的影响。解：由题可知，厂商最优值为),(wrPKK，),(wrPLL最优函数为wLrKLKPQ),(则KrLwrLLQPrKrrKKQPr根据利润最大化一阶必要条件可得0rKQP,0wLQP利用包络定理，内生变量对外省变量的影响如下：Kr，Lw,),(LKQP
