4第四讲无穷级数

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1、第四讲第四讲 无穷级数无穷级数一、一、数项级数数项级数 二、幂级数二、幂级数1. 理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。必要条件，了解级数的基本性质。(1) 数项级数的概念数项级数的概念定义定义1为为数项级数数项级数, 简称简称级数级数.设设 (实数集实数集), 称称称第称第n项项 un为为一般项一般项或或通项通项.称前称前n项之和项之和为为级数级数的第的第n部分和部分和.(1) 数项级数的概念数项级数的概念定义定义2若级数第若级数第n部分和序列部分和序列S1, S2, , Sn, 的的极限存在极限存在, 即即 且且S称为

2、此称为此级数级数的的和和. 记作记作则称则称级数级数 收敛收敛. 若若 不存在不存在, 则称此则称此级数级数发散发散.例例 1 判别级数判别级数的收敛性的收敛性.例例 2 判断级数判断级数的收敛性的收敛性.例例 3 判断级数判断级数的收敛性的收敛性.结论结论:的收敛性的收敛性.(2) 当当 时时, 级数级数发发散散.(1) 当当 时时, 级数级数收敛收敛, 且且讨论等比讨论等比 (几何几何) 级数级数 (公比为公比为 q)例例 4 判断级数判断级数的收敛性的收敛性.调和级数调和级数发散发散.(2) 级数的基本性质级数的基本性质1) 若若 和和 都都收敛收敛, 则对任意常数则对任意常数 k, l

3、,3) 一个一个级数级数添加或去掉添加或去掉有限项有限项, 不改变其不改变其收敛性收敛性.也收敛也收敛. 2) 若若 发散发散, 而而 收敛收敛, 则对任意非零常数则对任意非零常数 k, l,发散发散. (2) 级数的基本性质级数的基本性质1) 若若 和和 都都收敛收敛, 则对任意常数则对任意常数 k, l,也收敛也收敛. 2) 若若 发散发散, 而而 收敛收敛, 则对任意非零常数则对任意非零常数 k, l,发散发散. 例例: 判断级数判断级数 和和 的收敛性的收敛性.(3) 级数级数收敛收敛的的必要条件必要条件若若收敛收敛, 则则若若 , 则则 一定一定发散发散.问问:则则 收敛吗收敛吗?若

4、若例例: 级数级数 例例: 级数级数 2. 掌握正掌握正项级数的比数的比值数数别法。会用正法。会用正项级数的比数的比较判判别法。法。 定义定义每项都是非负数每项都是非负数 的的级数级数 称为称为正项级数正项级数.1) 比较判别法比较判别法若两个若两个正项级数正项级数 和和 从某一项开始满足从某一项开始满足条件条件:则则: (1) 当当级数级数 收敛收敛时时, 也收敛也收敛;(2) 当当级数级数 发散发散时时, 也发散也发散;结论结论: 讨论讨论 p 级数级数的收敛性的收敛性.(1) 当当 p=1 时时, 称称 为为调和级数调和级数, 是发散的是发散的.(2) 当当 p1 时时,收敛收敛.例例:

5、 判定正项级数判定正项级数 和和 的收敛性的收敛性. 1) 比较判别法比较判别法 (极限极限形式形式)若两个若两个正项级数正项级数 和和 满足满足(i) 时时, 和和都收敛都收敛或或都发都发散散;(ii) a=0 时时, 若若 收敛收敛, 则则 也收也收敛敛;(iii) 时时, 若若 发散发散, 则则 也也发散发散.例例 5 判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性2) 比值判别法比值判别法 (极限极限形式形式)(i) 当当 q1 或或 时时, 级数级数 发发散散;例例 6 判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性注注:若若un含含 , 通常用通常用比值判别法比值判别法;若若un为为n的有理分

6、式的有理分式, 无理分式时无理分式时, 通常用通常用比较比较法法.3. 了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法。(1) 交错级交错级数数定义定义各项正负项相间的各项正负项相间的级数级数 (un0)称为称为交错级数交错级数.莱布尼兹莱布尼兹定理定理若一个若一个交错级数交错级数满足如下条件满足如下条件:(1) 从某项开从某项开始始即数列即数列un从某项开始单调递减从某项开始单调递减;(2)则则交错级数交错级数 收敛收敛.例例: 级数级数 和和(2) 绝对收敛绝对收敛与与条件收条件收敛敛定义定义若若 收敛收敛, 则则 收敛收敛,

7、 且称且称 为为绝对收敛绝对收敛;若若 发散发散, 但但 收敛收敛, 则称则称 为为条件收条件收敛敛.例例: 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性例例 7 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛, 如果收敛如果收敛, 是绝对收敛还是绝对收敛还是条件收敛是条件收敛?结论结论:结论结论:练练 (2007年高数二年高数二)对于幂级数对于幂级数 下列说法正确的是下列说法正确的是( )(A) 当当p1时时, 发散发散 (B) 当当p1时时, 条件收敛条件收敛 (D) 当当p1时时, 绝对收绝对收敛敛 题型一：数项级数性质、敛散性判定题型一：数项级数性质、敛散性判定. . 题型一：数项级数性质、敛散

8、性判定题型一：数项级数性质、敛散性判定. .练练 (2007年高数二年高数二)级数级数 收敛的必要条件为收敛的必要条件为_.练练 (2006年高数二年高数二)若级数若级数 收敛收敛, 则则 的取值范围是的取值范围是_.练练 (2006年高数二年高数二)判别正项级数判别正项级数 的敛散性的敛散性.练练 (2006年高数二年高数二)级数级数 为为( )(A) 绝对收敛绝对收敛 (B) 条件收敛条件收敛 (C) 发散发散 (D) 无法判无法判断断练练 (2007年高数二年高数二) 确定级数确定级数 的收敛性的收敛性.练练 (2005年高数二年高数二)设级数设级数 和和 都发散都发散, 则级数则级数

9、是是( )(A)发散发散 (B) 条件收敛条件收敛 (C) 绝对收敛绝对收敛 (D) 无法判无法判断断二、幂级数二、幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念2. 幂级数的基本性质幂级数的基本性质3. 将简单的初等函数展开为幂级数将简单的初等函数展开为幂级数1. 了解了解幂级数的概念。数的概念。 定义定义 形如形如或或(ai为常数为常数)的的级数级数, 称为称为幂级数幂级数.2. 掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。 当当 时时, 级数级数绝对收敛绝对收敛;当当 时时, 级数级数发散发散.称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.当当 时时,当当 时时,

10、当当 时时, 级数级数绝对收敛绝对收敛;当当 时时, 级数级数发散发散.称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.当当 时时,当当 时时,称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.当当 时时,当当 时时,称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.称为称为幂级数幂级数 的的收敛半径收敛半径.称为称为幂级数幂级数 的的收敛区间收敛区间.加上加上 中收敛的区间端点中收敛的区间端点, 称为称为收敛收敛域域.(2) 在在收敛区间收敛区间内内, 第第n部分和部分和Sn(x)=a0+a1x+an-1xn-1的极限的

11、极限称为称为幂级数幂级数的的和函数和函数.例例 1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 题型二：幂级数的收敛区间、和函数题型二：幂级数的收敛区间、和函数. .练练 (2007年高数二年高数二)确定幂级数确定幂级数 收敛半径及收敛域收敛半径及收敛域, 其中其中a为正常数为正常数.注注: 幂级数幂级数都要用比值法求都要用比值法求收敛半径收敛半径.如果如果任意项任意项级数级数则则: 当当 l1 时时, 级数级数发散发散.定理定理满足条件满足条件:注注: 幂级数幂级数都要用比值法求都要用比值法求收敛半径收敛半径.如果如果任意项任意项级数级数则则: 当当 l1 时时, 级数级

12、数发散发散.定理定理满足条件满足条件:例例2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.注注: 幂级数幂级数都要用比值法求都要用比值法求收敛半径收敛半径.例例2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.例例3. 求求 的收敛半径和收敛区间的收敛半径和收敛区间.例例4 . 幂级数幂级数 的收敛半径为的收敛半径为_.3. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。差、逐项求导与逐项积分）。1) 若若 的的收敛半径收敛半径分别为分别为R1和和R2, 则则的的收敛半径收敛半径 R=mi

13、nR1, R2.2) 若若幂级数幂级数 则其则其和函数和函数 f(x) 在收敛在收敛区间内区间内连续连续.3) 幂级数幂级数 在收敛区间在收敛区间 内可内可逐项求导逐项求导, 且且4) 幂级数幂级数 在收敛区间在收敛区间 内可内可逐项求积分逐项求积分,即任意即任意有有例例 5 (1) 求求 的和函数的和函数;(2) 求求 的和函数的和函数.练练 求求 的和函数的和函数.形如形如为为 f(x) 的的麦克劳林级数麦克劳林级数.4. 会运用会运用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（的麦克劳林（Maclaurin）级数，将一些简单的）级数，将一些简单的初等函数展开为初等

14、函数展开为x或或x-x0的幂级数。的幂级数。如果在收敛区间内如果在收敛区间内,称为称为 f(x) 的的麦克劳林展开式麦克劳林展开式.则则几个函数的几个函数的麦克劳林展开公式麦克劳林展开公式例例 9 求求 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式.例例 10 求求 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式.例例 11 将将 lnx 展成展成 x-2 的幂级数的幂级数(即即x0=2的级数的级数).例例 12 将将 展成展成 x+3 的幂级数的幂级数(即即x0= -3的级数的级数). 题型三：幂级数的展开式题型三：幂级数的展开式. .练练 (2006年高数二年高数二)将函数将函数 y=lnx 展成展成 (x-1)

15、的幂级数并指出收敛区间的幂级数并指出收敛区间.练练 (2005年高数二年高数二)将函数将函数 展成展成 (x-1) 的幂级数并指出收敛区间的幂级数并指出收敛区间.练练 (2007年高数一年高数一)将函数将函数 在点在点 x0=1 处展开成幂级数处展开成幂级数, 并并指出收敛区间指出收敛区间 (端点不考虑端点不考虑).练练 (2006年高数一年高数一)将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 并指出收敛半径并指出收敛半径.练练 (2008年高数二年高数二)将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.练练 (2007年高数二年高数二)将函数将函数 y=arctanx 展开为麦克劳林级数展开为麦克劳林级数.