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1、定积分1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为 :01( )lim()nbkkakf x dxfx, 结果是一个数值 , 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）2. 几何意义 : 是曲线( ),yf xa b介于之间与 x轴所围的面积的代数和 ; 3. 经济意义 : 若( )f x是某经济量关于 x的变化率（边际问题） , 则( )baf x dx是 x在区间,a b 中的该经济总量4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到. （1）( )( )baabf x dxf x dx; （2）( )( )( )( )bbbaaaf xg
2、x dxf x dxg x dx; （3）( )( )bbaakf x dxkf x dx ; （4）( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx; （5）00( )2( )aaaf xf xdxf xdxf x为奇函数时（ ）（ ）为偶函数时. 1公式 : 若( )fx在,a b 上连续 , ( )F x是( )f x的一个原函数 , 则( )( )( )baf x dxF bF a . 2换元法 : 若( )fx在,a b 连续, ( )xt在, c d 上有连续的导数( ) t, 且( ) t单调, 则有( )( ( )( )bdxtacf x dxftt dt 3
3、. 分部积分法 : 若( )u x与( )v x在, a b 上有连续的导数 , 则有( )( )( )( )( )( )bbaabu x dv xu xv xv x du xa. 1.220aax dx_42a_；2.定积分112121xe dxx= _ee_；3.若广义积分2011kdxx， 其中k为常数，则k_2_；4.定积分1321sinxxdx_0_ ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5.1211xdx
4、x_0_；6.30(sin)xtt dt_3sin xx_ ；7.广义积分211dxx_1_ ；8.( )badf x dxdx_0_；9.设)(xf在 , a b上连续，则( )( )bbaaf x dxf t dt_0_ ；10. 若函数)(xf在 , a b上连续，)(xh可导，则()( )h xadf t dtdx_)()(xhxhf_ ；11. 当 x_0_ 时，xtdttexF02)(有极值；12. 设0( )xtf xte dt，则(0)f _1_ ；13. 若02kxedx，则k _21_ ；14.21(ln)edxxx _1_ ；15.2131xx e dx_0_ ；二1.0
5、arctanxxdx( B ) (A) 1112x(B) 21arctanln(1)2xxx(C) 1112x(D) 211x2.下列积分可直接使用牛顿莱不尼兹公式的有 ( A ) (A)53201xdxx(B)1211xdxx(C)43202(5)xdxx(D)11lneedxxx3.设)(xf为连续函数，则( )xaf t dt 为 ( C ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - (A)( )f t的一个原函数(
6、B) ( )f t的所有原函数(C) )(xf的一个原函数(D) )(xf的所有原函数4.011( )( )22xf t dtf x，且(0)1f，则( )f x( A ) (A) 2xe(B) 12xe(C) 2 xe(D) 212xe5.1211dxx( D ) (A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散三、1求下列各函数的导数 : （1）211( )1xF xdtt解：.1111)(212xdttdxdxFx（2）02( )cosxF xttdt求( )F解：.cos)( .coscos)cos(cos)(222020202FxxtdttdxdtdttdxdtdttdxdxFxx
7、x（3）22( )1txxteF xdtt解：xtxtxtxtxxtdtttedxddtttedxddtttedtttedxddtttedxdxF02020202211)11(1)( 2222223222221)(121)()(122xxexexxxexdxdxexxxxx2求下列各极限 : （1）2030sinlimxxtdtx解：).(3lim3sinlim)()sin(limsinlim3122022030203020上代换倒数第二步用等价无穷xxxxxtdtxtdtxxxxxx（2）020(2)limxttxeedtx解：.02lim)2()2(lim22lim)()2(lim)2(l
8、im000200200xxxxxxxxxxttxxttxeexeexeexdteexdtee3求下列各定积分 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - （1）10(1)xdx10221|)(xx（2）120(3)xx dx103313ln1|)3(xx（3）20cos2xdx2021|2sin x（4）1310xedx=10331103|)(xxeedxee（5）212x dx200122xdxxdx（6）0cosx
9、dx22coscos0xdxxdx（7）20aaxdxaaxxaaxdxxxaa0221340|)()2(2321（8）21201xdxx102)111(dxx（9）4011dtt解：令 t=x2, 则 dt=2xdx, 当 t=0时, x=0; 当 t=4时, x=2.于是.|)1ln(2)111(2121120202040xxdxxdxxxdtt（10）2220axax dx解：令 x=asint,则 dx=acos tdt,当 x=0 时,t=0;当 x=a 时,t=2. 于是.| )4sin()4cos1 (24cos1)2(sin)2sin()cos(sincossincossins
10、in160418080402402214024022402222202224242424242222aaaaaattdttdttdttdttadtttatdttatdtataatadxxax（11）101xdxx解： 令 x=t2,则 dx=2tdt,当 x=0时,t=0;当 x=1时,t=1. 于是).1(2|)arctan(2)111(212211410102102210210ttdttdttttdtttdxxx（12）2211xdxx解： 令 x=sect,则 dx=tantsect tdt,当 x=1时,t=0;当 x=2 时,t=3. 于是.|)(tan)1(sectansectan
11、sec1sec133330121212212ttdtttdttdttttdxxx（13）2210xedx201221201221|)12(xxexde（14）0cos3xdx031031|3sin)3(3cosxxxd（15）20cos2xdx0210)sin(2cos1xxdxx（16）212lnexdxx=2200ln2eedxxxdxx22220221000|)(ln|ln2)(lnln12eeeexxxxddxx.（17）210xxe dx1010221|22xxedxe（18）12301xx dx1033311dxx.|)1 ()1 ()1 (11039410333110333123
12、21xxdxdxx（19）1201xxedxe.|)arctan()(1110102xxxedee（20）122122(sin )1arcxdxx2121)(arcsin)(arcsin2xdx2121|)(arcsin331x四、解答题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 1求0( )(4)xF xt tdt 在区间1,5 上的最大值与最小值 ; 解:)4()(xxxF, 令0)(xF, 得 x=0,x=4. 由此可
13、得在), 40 ,(上 F(x) 单调增加 , 在0,4 单调减少 . 由此可知 , 在-1,5中,F(x) 在 x=0处取极大值 , 极大值为 F(0)=0; 在 x=4处取极小值 ,极小值为 F(4)=.|)2()4()4(33240233140240ttdtttdttt又 F(-1)=.|)2()4()4(3710233110240ttdtttdttt F(5)=.|)2()4()4(32550233150250ttdtttdttt故在-1,5上的最大值为 F(0)=0, 最小值为 F(4)=.3322设20( )(1)xf t dtxx , 求(0),(0)ff; 解: 两边求导得26)(,23)1 (2) )1()(222xxfxxxxxxxxf, 故.2)0(,0)0(ff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
