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1、学习必备欢迎下载目录第一讲找规律（一） 2 第二讲找规律（二） 5 第三讲长方形和正方形（一） 8 第四讲长方形和正方形（二） 11 第五讲算式谜（一） 14 第六讲算式谜（二） 17 第七讲植树问题（一） 19 第八讲植树问题（二） 22 能力测试（一）25 第九讲和差问题（一）28 第十讲和倍问题（一）31 第十一讲和倍问题（二） 33 第十二讲差倍问题 35 第十三讲年龄问题（一） 38 第十四讲年龄问题（二） 41 第十五讲还原问题（一） 43 第十六讲还原问题（二） 45 能力测试（二）48第 17 讲周期问题（一） 20. 第 18 讲周期问题（二） 7 第 19 讲假设问题（一）
2、 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页学习必备欢迎下载第 20 讲假设问题（二） 16 第 21 讲计数问题（一） 17 第 22 讲计数问题（二） 19 第 23 讲容斥问题（一） 23 第 24 讲容斥问题（二）26 能力测试（一）26 第 25 讲行程问题（一） 28 第 26 讲行程问题（二）31 第 27 讲平均数问题35 第 28 讲推理问题（一）37 第 29 讲推理问题（二） 39 第 30 讲巧算（一） 40 第 31 讲巧算（二） 45 第 32 讲巧算（二） 45 第 33 讲巧算（三）
3、45 第 34 讲等量代换 45 第 35 讲拼拼算算 45 能力测试（二）63 第一讲找规律（一）事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它， 从而找到解决问题的方法和途径。在数学竞赛中， 常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律，求得相应的数。例题与方法例1请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。（1）1， 5，9，13， （） ，21，25。（2）3， 6，12，24， （） ，96，192。（3）1， 4，9，16，25， （） ，49，64，81。（4）2， 3，5，8
4、，12，17， （） ，30，38。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页学习必备欢迎下载（5）21，4，16，4，11，4， （） ， （） 。（6）1， 6，5，10，9，14，13， （） ， （） 。例 2根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。（1）（2）例 3 下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的数。（9，13） ， （17，5） ， （ 14，8） ， （， 16） 。例 4根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。练习与思考1找出下面各组数排列的规律，并根据规律
5、在括号里填上合适的数。（1）1， 4，3，6，5， （） ， （） 。（2）1， 4，16， 64， （） 。（3）11，3，8，3，5，3， （） ， （） 。（4）0， 1，3，8，21， （） 。2找规律，在空格里填上适当的数。（1）（2）3下面括号里和两个数是按一定规律组合，根据规律在里填上适当的数。（1） （8，7） ， （6，9） ， （ 10，5） ， （， 13） 。（2） （1，3） ， （5，9） ， （ 7，13） ， （9，） 。4根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。(1) (2) (2) 13 20 7 9 17 8 5 9 24 7 5
6、36 12 6 14 16 8 17 5 12 16 10 11 9 7 14 12 4 12 9 6 24 10 20 20 8 18 16 ( ) 25 ( ) 18 6 15 15 5 12 ( ) 11 ( ) 45 9 15 50 12 20 ( ) 15 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45 页学习必备欢迎下载第二讲找规律（二）例 1请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后六题的得数。18+1= 128+2= 1238+3= 12348+4= 123458+5= 1234
7、568+6= 12345678+7= 123456788+8= 1234567898+9= 例 2请先计算下现的一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。 123456799= 123467927= 123467936 = 1234567954= 1234567918= 1234567945= 1234567972= 1234567963= 1234567981= 例 3下面每行的数字是按一定规律排列下去的，请找出规律，并写出第六、七、八的数字。第一行 1 第二行 1 1 第三行 1 2 1 第四行 1 3 3 1 第五行 1 4 6 4 1 第六行第七行第八行例
8、4有一列数组： （1，1，1） ， （2， 4，16） ， （3，9，81） ，求第100 组的三个数之和比第 50 组的三个数之和多多少？练习与思考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 45 页学习必备欢迎下载1 找规律，写得数。（1）19 = 9199 = 991999 = 99919999 = 9999199999 = 999991999999 = （2） 1111 = 111111 = 11111111 = 1111111111 = 111111111111 = 2找出规律后，直接填写出括号内的数。 19999989=
9、222222 （）99999（）9=333333 （）99999（）9=444444 （）99999（）9=555555 （）99999（）9=666666 （）99999（）9=777777 （）99999（）9=888888 （）99999（）9=999999 3找规律，写算式。3=3+27 0 33=6+27 1 333=9+27 12 3333= 33333= 333333= 4找出下列算式的规律，把算式填写完整。 19+9 9=100 118+98 9=1000 1117+987 9=10000 （）+（） 9=1000000 1111114+（） 9=（）5找规律，在里填上适当的数
10、 1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 6 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 45 页学习必备欢迎下载第三讲长方形和正方形（一）同学们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算，利用公式很容易算出它们的面积与周长。 但在遇到一些较复杂的有关长方形和正方形的周长和面积计算时，一些同学就会感到棘手。这两讲我们将教给大家一些平移、转化、分解、合并等技巧，使大家在解题中能顺利地找到突破口，化难为易，化繁为简。例 1有一块长8 分米，宽 4 分米的长方形纸板与两块边长4 分米的正方形拼也一个正方形。拼成的正方形的周长是
11、多少分米？例2两个大小数点相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来的两个正方形周长的和减少6 厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？例3求图 3 和图 4 的周长。（单位：米）图 3 图 4 例4图 7 是一座厂房的平面图，求这座厂房平面图的周长。例5图 9 是个多边形， 图中每个角都是直角，它的周长是多少？例6一个正方形被分成3 个大小、形状完全不一样的长方形（如图10） ，每个小长方形的周长都是24 厘米，求这个正方形的周长。图 10 例7图 11 是由四个一样大的长方形和一个周长是 4分米的小正方形拼成的一个边长是 11 分米的大正方形。每个长方形的长和宽各是多少？周长是多少？例8一根铁
12、丝长12 厘米，能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形，每咱长方形的长和宽各是几厘米？围成的正方形的边长是几厘米？练习与思考1 把一个长 10 厘米，宽5 厘米的长方形，分成两个大小一样的正方形，每个正方形的周长是多少？2 用一个长 8 厘米，宽4 厘米的长方形与7 个边长 4 厘米的正方形，拼成一个大正方形。拼成的大正方形的周长是多少？3 求图 12、图 13 的周长。11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 45 页学习必备欢迎下载4 图 14 是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米？5 把一个正方形分成甲、乙两
13、个部分（如图15） ，比较甲、乙两个部分周长的长短，并求出乙的周长。6 有两个相同的长方形，长7 厘米，宽 3 厘米，把它们按图（16）的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少厘米？7 一个正方形被分成6 个大小、形状完全一样的长方形（如图17） ，每个长方形的周长都是 14 厘米。原来正文武的周长是多少厘米？8 一块长方形布， 周长是 18 米，长比宽多 1 米，这块布的长是几厘米？宽是几米？9 用 4 个一样大的长方形和一个小正方形，拼成一个边长是16 分米的大正方形 （如图 18） ，每个长方形的周长是多少？第四讲长方形和正方形（二）例1一块长方形土地，长是宽的2 倍，中间有一座雕塑，雕塑
14、的底面是一个正方形，周围是草坪（如图1） ，草坪的面积是多项式少平方米？例2图 2是由6 个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。例3已知图 3 中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形面积比小正方形多96 平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少？图 17 1 米1 米20 米图 1 4分图 2 图 3 4 15 厘米图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 45 页学习必备欢迎下载例4如图 4，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是15 厘米，长方形的四个角的顶点， 恰好分别把正方形四条边都公成两段，其中长的
15、一段是短的2 倍。这个长方形的面积是多少？例5如图 5，已知正方形ABCD 的边长为6 分米，长方形BCEF和长方形 AGHD 的面积分别为24 平方分米和20 平方分米，求阴影部分和面积。例6一个边长是7 厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4 厘米，宽是 1 厘米的纸条，请画图说明。练习与思考1. 用长 36 厘米长的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少？用这根铁丝围成一个长12 厘米的长方形，它的面积是多少？2. 有一个长方形的市民广场，长100 米，宽 80 米。广场中间留了宽4 米的人行道，把广场平均分成四块（如图6） ，每一块的面积是多少？3. 图 7 是由 12 个相等的三角
16、形拼成的，这个图形的面积是多少？4. 如图 8，已知大正方形的面积比小正方形多52 平方分米，大正方形比小正方形的边长多 2 分米。小正方形的面积是多少？大正方形的面积是多少？5. 图 9 是由 9 个小长方形组成的，按图中编号，第1，2， 3，4，5 号的面积分别是1平方米， 2 平方米， 3 平方米， 4 平方米， 5 平方米，那么，第6 号长方形和面积是多少呢？6. 如图 10，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边长是16 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3 倍。阴影部分的面积是多少？7. 图 11 中阴影部分的面积是多少？8. 把一块长6
17、 分米，宽 5 分米的长方形钢板，截成长 3 分米波，宽 2 分米的小长方形钢板，最多能截几块？请画图说明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 45 页学习必备欢迎下载第 5 讲算式谜（一）算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字或运算符号“残缺” ，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。从这个意义上讲，算式谜问题是一种很好的锻炼思维的“体操”。例1在下面算式的括号里填上合适的数。（1） （ ）6（ ）
18、 （ ）（2） （ ）0（ ） （ ）+ 2 （ ）1 5 - 3（ ） 1 6 8 0 9 1 4 8 5 7 例 2A、B、C、D分别代表4 个不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求使得下面算式成立A、B、 C、D各自代表的数字。A B C D A C D + C D 1 9 8 9 例 3A、B、C、D分别代表不同的数字，它们各是什么数字时同上面的算式成立？A B C D - C D C A B C 例 4下面的算式中的 “数”、 “学” 、 “俱” 、 “乐” 、 “部” 这五个汉字各应代表什么数字？ 1 数学俱乐部 3 数学俱乐部 1 例 5下面算式中不同的字母所找表的数字均不同，
19、当这些字母代表什么数时，算式成立？ A B C D C B E A F A G H F I G A A 例 6在括号里填数，使下面的竖式成立。 1（）（ ） （ ） ）1（ ）2 1（ ） 7 （ ）（ ） （ ） 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 45 页学习必备欢迎下载例7下面的算式中， 相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式。新新春春 =新年年新练习与思考1在里填上适当的数，使等式成立。(1) 6 4 (2) 3 7 3 - + 4 8 8 0 4 2 2下面算式中不同的图形代表不同的数，
20、不同的字母代表不同的数，请将算式中的图形或字母还原成数字。(1) 1 2 (2) A B C D - 1 + A B E D 3 E D C A D 3在（）里填上适当的事，使算式成立。4下面算式中汉字或字母分别代表不同的数字，请将汉字或字母还原成数字。(1) (2) 5在里填上适当的数，使算式成立。(1) (2) 6下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求出每个汉字所代表的数字。认认真真 =踏踏实实第六讲算式谜（二） 6（ ） 3 5 3 3（ ）1 （ ）8 （ ） （ ） （ ） （ ） 5 a b c d e 3 1 a b c d e 4 我 爱 数 学 9
21、学 数 爱 我 1 6 3 9 )6 0 3 )8 0 7 1 0 1 0 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 45 页学习必备欢迎下载例 1在五个3之间，添不适当的运算符号+,-, , 和（） ，使下面的算式成立。 3 3 3 3 3 = 6 例 2将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个不同的数字分别填在中，使下面三个算式成立。+ = = = 例 3在 1，2， 3，4，5，6，7，8，9 这九个数字中，添上+、-两种运算符号，使其结果都等于100（数字的顺序不能改变）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9
22、= 100 例 4在下面的式子里加上括号，使等式成立。（1）7 9+123-2=23 （2）7 9+123-2=75 练习与思考 1从 +、- 、（）中选出合适的符号，添入下列算式的五个数字之间，使算式成立。（1）3 3 3 3 3 = 1 （2）3 3 3 3 3 = 5 （3）5 5 5 5 5 = 10 （1）9 9 9 9 9 = 20 2把 0，1，2，3，4，5， 6，7，8，9 这十个数字填到下面的圆圈内，使三道算式成立（每个数字只能用一次）。+=-= =3在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使结果等于99（数的顺序不能改变） 。9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99 4
23、把一个乘号和七个号添在下面算式合适的地方，使结果等于100（数的顺序不能改变） 。1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 5把 +、 - 、分别填在适当的圆圈内（每个运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的整数，使两个等式成立。9137=100 14 22=6在下面的算式中加上括号，使等式成立。（1）6+363-2 4 = 6 （2）6+363-2 4 =150 第七讲植树问题（一）在一定长度的线路上，等距离地安排若干个点植树，植树的棵数、株距（相邻两棵树之间的距离） 与线路的总长之间存在某种数量关系，研究这种数量关系的问题通常被称为植树问题。植树问题一般分为线段上的植树问题和环形线
24、路上的植树问题。1线段上的植树问题分以下三种情形讨论：（ 1）如果植树线路的两端都要植树，那么，植树的棵数 = 线路和全长株距 +1 线路的全长 = 株距（植树的棵数-1 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页学习必备欢迎下载株距 = 线路的全长（植树的棵数-1 ）（ 2）如果植树线路的一端要植树，另一端不要植树，那么，植树的棵数 = 线路和全长株距线路的全长 = 株距植树的棵数株距 = 线路的全长植树的棵数（ 3）植树的棵数 = 线路和全长株距 -1 线路的全长 = 株距（植树的棵数+1）株距 = 线路的全长（植
25、树的棵数+1）2环形线路上的植树问题，线路的全长、植树的棵树、株距之间的数量关系是：植树的棵数 = 线路和全长株距线路的全长 = 株距植树的棵数株距 = 线路的全长植树的棵数从以上数量叛乱中容易看出：植树的棵树，株距与线路的全长三个量中，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量。例 1在一条路的一边种树，从头到尾一共种了45 棵，相邻两棵树之间相距5 米，这条路长多少米？例2在一条长42 米的街道两边， 每隔 6 米插一面彩旗 （两端不插） ，一共需要插多少面彩旗？例3在一个湖泊周围筑成周长是3060 米的大堤，堤上每隔6 米栽柳树1 棵，然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各
26、多少棵？例4把一根木头锯成4 段需要 6 分，如果要锯成13 段，需要多少分？例5小平和小亮同住在一幢大楼里，小平住五楼， 小亮住四楼， 小平每天回家要走80 级台阶，小亮回家要走多少级台阶？练习与思考 1一条路长100 米，在这条路的一旁从头到尾每隔5 米插 1 面彩旗，一共要插多少面彩旗？2在一条长75 米的长廊一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26 盆。相邻两盆花之间的距离相等，相邻两盆花之间相距多远？3在一条马路的两侧种树，每隔10 米种一棵（两端都不种），这条马路全长240 米，一共需种多少棵树？4在一条道路的两旁栽树，一共栽了32 棵，每隔 8 米栽一棵（两端各栽一棵），这条路长
27、多少米？5在一个鱼塘周围筑成周长是1200 米的土堤，堤上每隔8 米栽一棵杨树，然后要相邻两棵杨树中间栽一棵松树。土堤上栽杨树和松树各多少棵？6有 4 根木料，每根都锯成6 段，每锯开一处需付锯板费2 元，全部锯完需付锯板费多少钱？7要把一根木头锯成5 小段，每锯一小段要用15 分。李叔叔从上午8 时 10 分开始锯，中间不休息，锯完时是几时几分？8小红家所在的那座楼房，每上一层楼要走21 个台阶，到小红空要走126 个台阶，小红家住几楼？9一个人到一幢十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停开。如果这个人从第一层走到第四层要48 秒，那么，他以同样的速度从第四层走到第八层，需要多少秒？10在一
28、条路的一边每隔8 米放一盆花，连两端在内共放了16 盆。现在拿走花盆，种植小松树，连两端在内共种了7棵，相邻两棵小松树相距多远？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页学习必备欢迎下载第 8 讲植树问题（二）例 1四年级学生260 人排成十路纵队做操，也就是每十个人一排，排成放多排。已知相邻两排之间相隔1 米，这支队伍长多少米？例 2时钟 4 点钟敲 4 下， 6 秒敲完，那么，8 点钟敲 8 下，几秒敲完？例 3在一个正方形广场四周安装路灯，四个顶点都装有一盏，这样每边都有15 盏，四周共装路灯多少盏？例 4一个老人
29、以变的速度在公路上散步，他从第1 根电线杆走到第12 根电线杆用了22 分。如果这个老人走了36 分，那么，他应该走到第几根电线杆？（相邻两根电线杆之间的距离相等。 ）例 5两棵树相隔115 米，中间原来没有树，现在中间以相等的距离增加22 棵树后，第 16 棵树与第1 棵树之间相隔多少米？练习与思考1在马路的一边摆一排菊花，一共 5 盆，再在每两盆菊花中间摆3 盆桂花， 一共要摆我少盆桂花？2五（1）班 48 名学生排成四路纵队，已知相邻两排之间相隔2 米，这支队伍长多少米？3时钟 6 时敲 6 下， 5 秒敲完。那么，这只钟12 时敲 12 下，几秒敲完？4一位科学家在做一项实验，他从下午
30、9 时 30 分开始做第一次记录，以后每隔20分做一次记录，他做第七次记录时是几时几分？5在一个正方形操场四周插彩旗，四个顶点都插一面，这样每边都有10 面。四周共插彩旗多少面？6小平以不变的速度在小路上散步，他从第1 棵树走到第7 棵树用了 24 分。如果他走了 40 分，应该走到第几棵树？（相邻两棵树之间的距离相等。）7两棵树相隔220 米，在中间以相等的距离增加10 棵树后，第1棵树与第7 棵树之间相隔多少米？8要两棵松树之间以相等的距离摆放了14 盆花（松树与相邻花盆的间隔等于相邻两盆花的间隔） ，第 1 棵松树与第5 盆花相隔10 米，那么，两棵松树相隔多远？9一座桥全长168 米，
31、计划在桥的两侧栏杆上各安装16 志广告牌，每块广告牌的横长为 3 米，靠近桥两头的广告牌距离桥端都是15 米。相邻两块广告牌之间相隔几米？10 有一根 180 厘米长的绳子， 从一端开始每隔3 厘米作一记号， 每隔 4 厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？能力测试（一）（满分 100 分， 90 分钟完成）一、填空题（每小题4 分，共 44 分） 。1已知 1993 个 6 月 1 日是星期二，那么，1994 年 6 月 1 日是星期（） 。2一场排球赛，从19 时 30 分开始，共进行了155 分。这场比赛（）时（）分结束。3找出下面各组数排列的规律，并根据规律在
32、括号或方框里填上合适的数。（ 1）8，12，16，20， （） 。（ 2）1，5，25，125， （）（ 3）1，4，9， 16，25，36，49， （）（ 4） （1， 4） ， （ 6，12） ， （11，20） ， （16， 28） ， （21，）， （26，44） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页学习必备欢迎下载（ 5）5 11 6 3 18 15 8 4 4用一块长6 米、宽 3 米的长方形铁皮，拼成的大方形铁皮的周长是（） 。5两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，长方形的周长比原来的两个正方形周
33、长的和减少了 10 厘米，原来每个正方形的周长是（） 。6在一个湖泊周围筑了一条大堤，堤上每隔4 米栽柳树一棵，然后在相邻两棵柳树之间栽2 棵桃树，堤上一共栽了桃树400 棵。这条大堤长（）米。7观察算式，找出规律，在括号里填上适当的数。19 99=100 118989=1000 1117987 9=10000 （）（） 9=1000000 1111114（） 9=（）8在括号里填上适当的数，使算式成立。（ ）3（ ）4 1 （ ）5（ ）42 1 9 9下列算式中， “数”、 “学” 、 “俱” 、 “乐”、 “部”分别代表哪几个数字，请填在下面相应的括号里。1 数学俱乐部 3 数学俱乐部1
34、 数=（） ，学 =（） ，俱 =（）乐=（） ，部 =（） 。10在下列五个5 之间，添上适当的运算符号、和（） ，使算式成立。 5 5 5 5 5 =10 11将 01，2，3，4，5，6，这七个数字分别填入下面的七个内，使算式成立。 = =二、判断题（对拓括号里打“”错的打“”。每小题3 分，共 9 分。 ） 1 已知 ACD CD=178 ，则 D只能等于9。 （） 2 用 8 分米长的铁丝围成的正方形，要比围成的长方形的面积大。（） 3 一个边长是7 厘米的正方形纸片，最多能裁出10 个长是 4 厘米，宽是1 厘米的小长方形纸条。（）三、应用题第1 题 11 分，其余每题6 分，共
35、47 分） 。1 下 面 是两 座 楼 房的 平 面图，这两个平 面 图的 周 长 各精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页学习必备欢迎下载是多少？2 下面图中的正方形被分成5 个大小、形状完全一样的长方形，每个长方形的周长都是12 厘米，求原来正方形的周长。3 如图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是8 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边分成两段，其中长的一段是短的3 倍。阴影部分的面积是多少平方分米？4 广场上有一面大钟，5 时敲 5 下， 8 秒敲完。照这样计算，11 时敲 11 下，几秒敲完？5
36、 有 6 根木头，把每根锯成6 段，每锯开一处需付锯板费6 元。全部锯完需付锯板费多少元？6 小赵和小王住在同一幢楼，相邻两层楼之间的台阶数相同，小赵住六楼，小王住三楼，小王每天回家要走40 级台阶，小赵回家要走多级台阶？7 林林以不变的速度在小路上散步，小路边有一排树。他从第1 棵树走到第9 棵树用了32 分。如果从第1 棵树算起，他走了60 分，那么，应该走到第几棵树？（假定相邻两棵树之间的距离都相等。）第 9 讲和差问题例 1植树节，育红小学五、六年级学生共植树106 棵，六年级比五年级多植树24 棵，五、六年级各植树多少棵？例 2小明期终考试，语文和数学的平均分数是97 分，语文比数学
37、系少6 分，语文和数学各得了几分？例 3一部书有上、中、下三册，上册比中册贵1 元，中册比下册贵2 元，这部书售价32 元。上、中、下三册各多少元？例 4甲、乙两筐香蕉共64 千克，从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的香蕉还比乙筐的香蕉多2 千克。甲、乙两筐原有香蕉各多少千克？例 5 这里有三道加法算式，当正方形、 三角形、 圆形各代表什么数，才能使等式成立？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页学习必备欢迎下载+ +=20（ 1）+ +=17（ 2）+ +=15（ 3）练习与思考 1小红家养了30 只鸡，母鸡
38、比公鸡多8 只。小红养母鸡、公鸡各多少只？ 2甲、乙、丙三个数，和为300，已知甲比乙大50，乙比丙大20，甲数是多少？3甲、乙、丙三个同时参加储蓄。甲、乙两人共储蓄220 元，乙、丙两人共储蓄180元，甲、丙两人共储蓄200 元。问：三人各储蓄多少元？4两筐苹果共重64 千克，如果从第一筐中取出8 千克放入第二筐后，那么，第一筐苹果比第二筐少2 千克。两筐苹果原来各有多少千克？5小明比小华多30 块糖果，小明给小华25 块糖果，这时谁的糖果多？多几块？6小强沿长与宽相差20 米的游泳池池边跑步5 圈，作下水前的准备活动，已知他共跑了 700 米，游泳池的长和宽各是多少米？7张宁同学期末考试成
39、绩如下：语文和数学平均成绩是94 分，数学和外语平均成绩是 88 分，外语和语文平均成绩是86 分。张宁同学语文、数学、外语各得多少分？8两个加数之和比一个加数大25，比另一个加数大52，这两面三刀个加数的和与差各是多少？9如果两个数的和与差的积是77，这两个数各是多少？10已知 =8，你能根据下面两道算式，算出和各表示几吗？+=46 +=37 第 10 讲和倍问题（一）我们把已知几个数的和及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的问题称为和倍问题。解答和倍问题，要在已知条件中确定一个数为标准（一般以小数作为标准），假定小数是 1 倍或 1 份，再根据其他几个数与小数的倍数关系，确定总和相当于
40、1 倍数的多少倍，然后用除法求出小数，再算出其他各数。和倍问题的数量关系是：和（倍数 +1）=小数小数倍数 =大数例 1六合农场把98000 千克粮食分别存入两个仓库，已条存入第一仓库里的粮食是第二仓库的3 倍。两个仓库各存多少千克粮食？例 2被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，被除数和除数各是多少？例 3三篮桃子共有117 个，第一篮的桃子是第二篮的2 倍，第三篮的桃子是第一篮的3 倍。这三篮桃子各有多少个？例 4两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若把 0 去掉，则与另一个加数相同。这两个数各是多少？例 5有两堆棋子，第一堆有67 个，第二堆有53 个。问：从第一堆中拿
41、出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆了2 倍？练习与思考 1已知两个数的和是160，大数是小数的3 倍，求这两个数。2长方形的周长是36 分米，已知长是宽的2 倍，长方形的面积是多少平方分米？3两数相除，商3 余 4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页学习必备欢迎下载4姐姐和妹妹共有人民币264 元（两人都是整元的钱） ，姐姐的钱数的个位是0，如果姐姐把自己钱数的个位上的0 去掉， 恰好和妹妹的钱数相等。姐姐、妹妹各有人民币多少元？5甲、乙两
42、人共储蓄人民币1790 元，甲取出540 元后，乙的钱数比甲的3 倍还多 50元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？6王村原有水田325 公顷，旱田155 公顷，现在计划把一部分旱田改成水田，使全村水田的公顷数相当于旱田的3 倍，应该把多少公顷旱田改成水田？7. 甲、乙两箱茶叶共84 千克，如果从乙箱取出12 千克放入甲箱，则甲箱茶叶的重量是乙箱的2 倍。两箱原来各有茶呆多少千克？8把一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是990，已知减数是差的2 倍，减数是多少？第 11 讲和倍问题（二）例 1百货公司卖出花布和白布共395 米，卖出的花布是白布的4 倍，花布每米6 元，白布每米5 元，卖出的
43、花布和白布共值多少元？例 2甲、乙两数之积为2500，是甲、乙两数之和的20 倍，而甲数又是乙数的4 倍，甲、乙两数各是多少？例 3甲、乙两人共储蓄1000 元，甲取出240 元，乙又存入80 元，这时甲蓄储的钱正好是乙的3 倍。原来甲比乙多储蓄多少元？例 4光明小学买来足球和篮球共30 个，已知买来足球的个数比篮球的2 倍少 3 个，学校买来足球的篮球各多少个？例 5大水池里有水2600 立方米， 小水池里有水1200 立方米， 如果大水池的水以每分23 立方米的速度流入小水池，那么，多少分后小水池中的水是大水池的4 倍？练习与思考 1甲瓶里有酒精470 毫升，乙瓶里有酒精190 毫升，为了
44、使甲瓶的酒精是乙瓶酒精的2 倍，应该把甲瓶的酒精倒入乙瓶多少毫升？2两个自然数的和是286，其中一个数的末位数是0，如果把这个0 去掉，所得的数与另一个数相同。原来两个数的积是多少？3甲、乙两人存款数相等，如果取出30 元，乙存入30 元，那么，乙的存款数恰好是甲的 5 倍。甲、乙两人这时各有存款多少元？4有两层书架，共186 本书。如果从第一层拿走25 本书后，第二层的书就比第一层的 2 倍还多 11 本。第二层有多少本书？5甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋1570 箱，从甲库运走350 箱后，这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2 倍还多 80 箱。甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱？6两个数的和是13002，
45、其中一个数的百位和十位上的数都是6，另一个数百位和十位上的数都是3，如果用0 代替这两个数里的6 与 3，那么，所得的一个数是另一个数的2倍，原来的两个数各是多少？7商店运来梨子、苹果、香蕉共53 千克，梨子的重量是苹果的3 倍少 3 千克，香蕉的重量是苹果的2 倍多 2 千克，梨子重多少千克？8南水池有水3830 立方米，北水池有水850 立方米，如果南水池里的水以每分32 立方米的速度流入北水池，那么，多少分后南水池中的水是北水池的3 倍？9面值 10 元的面值5元的钞票若干张，共175 元。 10 元的张数是5 元张数的 3 倍。这两种钞票各几张？第 12 讲差倍问题精选学习资料 - -
46、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页学习必备欢迎下载差（倍数 -1）=小数小数倍数 =大数例 1暑假里，兄弟两人去池塘钓鱼，哥哥比弟弟多钓20 条，哥哥钓的条数是弟弟的3倍。哥哥与弟弟各钓了多少条鱼？例 2参加学校课外舞蹈小组的同学，女生比男生多45 人，女生比男生的4 倍少 15人，男、女生各有多少人？例 3两堆煤重量相等，第一堆运走7 吨，第二堆运走19 吨以后，第一堆剩下的吨数是第二堆的3 倍。两堆煤现在各有多少吨？例 4一个畜牧场，原有山羊和绵羊的只数同样多，如果卖出山羊200 只，买进绵羊350 只，那么绵羊的只数是山羊的6
47、 倍还多 50 只。畜牧场原有山羊、绵羊各多少只？例 5有两筐桔子， 如果从第一筐拿出9 个放入第二筐， 则两筐桔子的个数相等；如果从第二筐拿出12 个放入第一筐，则第一筐桔子的个数等于第二筐的2 倍。原来每筐桔子各有多少个？练习与思考1. 暑假里， 哥哥做的数学题比弟弟多180 道，哥哥做的数学题是弟弟的4 倍多 9 道。两人各做多少数学题？2. 甲、乙两人的钱一样多，甲给乙30 元，则乙的钱是甲的5 倍。甲、乙原来各有多少元？3甲粮仓的大米比乙粮仓多600 袋，如果从乙粮仓运出300 袋给甲粮仓，那么，甲粮仓的大米是乙粮仓的2 倍。两粮仓原来各有大米多少袋？4两块同样长的花布，第一块卖出2
48、5 米，第二块卖出7 米，剩下的布，第二块的长度是第一块的3 倍。这两块布原来各有多少米？5已知两个数的商是4，这两个数的差是39。那么，这两个数中较小的一个数是多少？6小英的故事书的本数是小娟的3 倍。如果小英借给小娟10 本故事书， 小娟的故事书的本数等于小英的3 倍。小英、小娟原来各有故事书多少本？7水果店有重量相等的苹果和梨子各一筐，苹果卖出60 千克，梨子又放入40 千克，结果梨子的重量是苹果的3 倍。原来苹果、梨子各有多少千克？8四（ 1）班和四（ 2）班原有图书的本数一样多。后来，四（1）班又买事新书126本，而四（ 2）班从本班原有的书中取出234 本借给四（ 3）班。这时，四
49、（1）班图书的本数是四（ 2）班的 3 倍。四（ 1）班和四（ 2）班原来各有图书多少本？9一天，甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，甲比乙多钓6 条，丙钓的鱼是甲的2 倍，比乙多钓 22 条。他们三人一共钓了多少鱼？10甲对乙说：“你给我100 元，我的钱将比你多1 倍。 ”乙回答说： “你只要给我10元，我的钱就比你多5 倍。 ”问：两人各有多少元？第 13 讲年龄问题（一）日常生活中到处存在着数学，一些关于年龄的数学趣题，尤其使人迷恋。大象对长颈鹿说： “我现在的年龄，等于我像你那么大时你的年龄的2 倍，而等你长到我这么大时，我俩的年龄之和是63 岁。 ”你能根据大象的话，算出大象与长颈鹿的年龄吗
50、？小鲸鱼说：“妈妈，我到您现在这么大时，您就31 岁啦！”鲸鱼妈妈说： “我像你那么大年龄时，你只有1 岁。 ”你能根据他们的对话，算出鲸鱼妈妈和小鲸鱼现在各是多少岁吗？年龄问题生动有趣，又往往是和差、倍数等问题的综合，因此需要灵活地解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页学习必备欢迎下载例 1妈妈今年43 岁，女儿今年 11 岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3 倍？几的前妈妈的年龄是女儿的5 倍？例 2今年，父亲的年龄是女儿的4 倍， 3 年前，父亲和女儿年龄的和是49 岁。父亲、女儿今年各是多少岁？例 3一家有三
51、口人，三个人年龄之和是72 岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的 4 倍。三人各是多少岁？例 4王英 5 年前的年龄等于李明7 年后的年龄， 王英 4 年后与李明3 年前的年龄和是35 岁。王英、李明二人今年各几岁？例 5哥哥与弟弟两人3 年后的年龄和是27 岁。弟弟今年的年龄等于两人的年龄差。哥哥和弟弟今年各几岁？练习现思考 1小红今年14 岁，爸爸41 岁。几年前爸爸的年龄是小红的4 倍？2父亲今年38 岁，儿子今年10 岁。几年之后，父亲的年龄是儿子的3 倍？3父子两人的年龄和是64 岁，儿子年龄的3 倍比父亲多8 岁。父子两人的年龄各是多少岁？4爸爸比小刚大25 岁，爸爸的年龄比小刚
52、年龄的5 倍少 3 岁。爸爸多少岁？5小丽今年7 岁，小丽妈妈今年35 岁。小丽多少岁时，妈妈的年龄是小丽的8 倍？6 4 年前，妈妈的年龄是娟娟的4 倍， 娟娟今年12 岁， 今年妈妈的年龄是小丽的几倍？7爸爸今年35 岁，妈妈今年31 岁。当爸爸和妈妈年龄之和等于98 岁时，爸爸和妈妈各是多少岁？8哥哥 5 年前的年龄等于妹妹7 年后的年龄， 哥哥 4 年后与妹妹3 年前年龄的和是35岁。求哥哥、妹妹今年的年龄？9今年哥哥16 岁，弟弟比哥哥小3 岁，多少年后兄弟两年龄的和为45 岁？那时哥哥和弟弟各几岁？10甲的年龄比乙的年龄的3 倍少 4 岁，甲 7 年前的年龄和乙9 年后的年龄相等。
53、甲、乙现在各是多少岁？第 14 讲年龄问题（二）例 1已知祖父和父亲、父亲和孙子年龄的差是一样的，又知祖父和孙子的年龄之和为84 岁，这个岁数再加上孙子的年龄，正好是100 岁。问：三人的年龄各是多少岁？例 2祖孙三人的年龄加在一起正好是100 岁，祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数。问：三人的年龄各是多少岁？例 3王叔叔对小明说： “我 15 年前的岁数和你6 年后的岁数相同。7 年前，我的年龄是你的年龄的8 倍。 ”小明今年多少岁？王叔叔今年多少岁？例 4小英一家由小英的她的父母组成。小英的父亲比母亲大3 岁。今年全家年龄的总和是 71 岁， 8 年前这个
54、家庭的年龄总和是49 岁。今年小英多少岁？父亲多少岁？母亲多少岁？练习与思考 1今年小明和妈妈的年龄和是42 岁， 6 年前，妈妈的年龄是小明年龄的14 倍。小明和妈妈今年各多少岁？2李老师的年龄比小红年龄的2 倍多 8 岁，李老师10 年前的年龄和小红8 年后的年龄相等。小红今年几岁？3 15 年前父亲的年龄是儿子的7 倍， 10 年后父亲的年龄是儿子的2 倍。父亲、儿子现在各多少岁？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 45 页学习必备欢迎下载4大马年龄是小马年龄的4 倍，再过20 年大马的年龄比小马的2 倍小 14 岁
55、。大马、小马现在各多少岁？5四个人年龄之和是77 岁，最小的是10 岁，最大的与最小的年龄之和比另外两人年龄之和大7 岁。最大的年龄是多少岁？64 年前， 母亲的年龄是芳芳的4 倍，芳芳今年12 岁了。 今年母亲的年龄是芳芳年龄的几倍？7哥哥对弟弟说： “当我是你今年的岁数那一年，你刚刚3 岁。 ”弟弟对哥哥说： “当我长到你今年的岁数时，你就是15 岁了。 ”哥哥、弟弟今年各多少岁？第 15 讲还原问题（一）还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果，要求最初状态的一类问题。解答这类问题逆向思维很重要，通常要运用倒推法（还原法），即从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，逐步倒着往前推
56、算，逐步靠拢已知条件，直到问题解决。例 1某数加上6，乘以 6，减去 6，除以 6，其结果等于6，求某数。例 2有一位老人说： “把我的年龄加上14 后除以 3，再减去26，最后用25 乘，恰巧是 100 岁。 ”这位老人今年多少岁？例 3在做一道加法式题时，某学生把个位上的5 看作 9，把十位上的8 看作 3，结果所得的和是123。正确的答案是多少？例 4工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2 千米， 第二天修了余下了一半还少 1 千米，还剩20 千米没有修完。公路的全长是多少千米？练习与思考 1某数加上10，乘以 10，减去 10，除以 10，结果等于10。这个数是多少？ 2 小学
57、生数学报少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2 后，缩小 100 倍，再扩大 4 倍，最后减去25，正好是55。这个俱乐部成立于哪一年？3有一个说： “把我的年龄加上28 后除以 15， 再用 8 乘，就是 32 岁。 ” 这个人多少岁？4小明在做一道加法计算题时，把个位上的4 看作 7，十位上的8 看作 2，结果和是306。正确的答案应该是多少？5王大爷去粮站买米，粮站的陈叔叔因粗心，错把一袋米少算了20 千克，把另一袋米多算了3 千克，合计卖给王大爷60 千克米。王大爷实际购买了多少千克米？6一捆电线，第一次用去全长了一半多3 米，第二次用去余下的一半多5 米，还剩下7 米。这捆电线原来长
58、多少米？7有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2 个，第二次取出余下的一半多2 个，第三次拿出8 个，篮里还剩2 个鸡蛋。篮里原来有多少个鸡蛋？8小刚买毛巾用去所带钱的一半，买手帕用去2元钱，买香皂用去剩余钱的一半，这时还剩 4 元钱。小刚买毛巾用去多少钱？一共带了多少钱？9某仓库运出三次原料，第一次运出总数的一半，第二次运出余下的一半，第三次运出前两次运完后余下的一半，最后把剩下的原料分给甲、乙两个工厂， 甲厂得 6 吨，是乙厂的 2 倍。仓库原有原料多少吨？10把若干个面包分给甲、乙、丙三个人吃，甲吃了全部的一半多1 个，乙吃了剩余的一半多1 个，丙吃了最后剩余的一半多1 个，这样面包刚好全部吃完
59、。原来有几个面包？第 16 讲还原问题（二）例 1甲、乙、丙三个组共有图书90 本，如果乙组向甲组借3 本后，又送给丙组5 本，结果三个组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 45 页学习必备欢迎下载例 2甲、乙两个车站共停了195 辆汽车，如果从甲站开到乙站36 辆，又从乙站开出45 辆汽车，这时乙站停了汽车辆数是甲站的2 倍。原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？例 3一筐鱼连筐重122 千克， 卖出一半鱼后， 再卖出剩下的鱼的地半，这时连筐还重35 千克。原来筐和鱼
60、各重多少千克？练习与思考 1小亮在计算一道除法题的时候，把除数36 写成 62，结果重到的商是30 余 12。正确的商应该是多少？2小明在做一道减法题的时候，把被减数个位上的4 错写成 7，把十位的1 错写成 5，把百位上的3 错写成 2，这样，他算得的差是143。正确的差应该是多少？3小兰问一位老师今年多大年纪，老师说：“把我的年龄除以6 后加上 14，再乘以 3，最后减去27，是 33 岁。 ”这位老师多少岁？4操场上放了一些花盆，第一次搬走了全部的一半多8 盆，第二次搬走了余下的一半少 4 盆，将剩下了摆成6 排，每排恰好放2 盆。原来有多少个花盆？5甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120
61、 张，如果甲给乙13 张，乙给丙23 张后，他们每人的张数相等。原来三人各有年历片几张？6甲、乙、丙共有72 元钱，甲拿出与乙同样多的钱给乙，乙再拿出与丙同样多的钱给丙，这时三人的钱数同样多。甲、乙、丙三人原来各有多少钱？7甲、乙两个车站共停了90 辆汽车，如果从乙站开到甲站12 辆汽车，又从甲站开出30 辆汽车，这时甲站停的汽车辆数是乙站的3 倍。原来甲、乙两站各停了多少辆汽车？8甲、乙两个车站共停了90 辆汽车，如果从甲站开到乙站38 辆汽车后，乙站开到甲站 14 辆，这时两站停的汽车辆数相等。两站原来各停了多少辆汽车？9某车间分成甲、乙两个组，因生产需要，把甲组工人的一半调到乙组去了，后
62、来改变工作程序，又把乙组工人中的25 人调到了甲组，这时甲组有45 人，乙组有22 人。甲、乙两个组原来各有多少人？10一个水桶里面装有水，连桶称是5 千克，把水加到原来的4 倍，连桶称是 11 千克。桶里原来有多少千克水？桶有多重？能力测试（二）（满分 100 分， 90 分钟完成）一、填空题（每题2 分，共 20 分） 。1白兔的只数是黑兔的4 倍， （）的只数是1 份， （）的只数是4 份，白兔和黑兔一共有（）份，白兔比黑兔多（）份。2红花和黄花共有120 朵，红花的朵数是黄花的5 倍，黄花有（）朵，红花有（）朵。3公鸡和母鸡共有52 只，公鸡比母鸡少8 只，公鸡有（）只，母鸡有（）只。
63、4故事书和科技书一共有84 本，故事书比科技书多6 本，故事书有（）本，科技书有（）本。5山羊的只数比绵羊多45 只，山羊的只数是绵羊的4 倍，绵羊有（）只，山羊有（）只。6排球的个数比足球少30 个，足球的个数是排球的6 倍，排球有（）个，足球有（）个。7甲数除以乙数商是7， （）是 1 份， （）是 7 份， （）比（）多 6 份。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 45 页学习必备欢迎下载8甲、乙两数的和是180，甲数除以乙数商是9，甲、乙两数的差是（）9今年父亲比儿子大25 岁，三年后，父亲比儿子大（）岁。10小东
64、是小学四年级的学生，他和爸爸今年年龄的和是48 岁，三年前，两人年龄的和是（）岁。二、应用题（每题8 分，共 80 分） 。1南京长江大桥分为上下两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长11270 米。铁路桥比公路桥长2270 米。南京长江大桥的铁路桥和公路桥各长多少米？2大房间面积比小房间大36 平方米， 大房间的面积是小房间的3 倍。大小房间各有多少平方米？3甲、乙两船共载乘客623 人，若甲船增加34 人，乙船减少57 人，那么，两船乘恰好相等。两船原来各有乘客多少人？4父亲经儿子大30 岁，明年父亲的年龄是儿子的3 倍。儿子今年多少岁？5小玲做一道减法题的时候，把减数个位上
65、的9 错写成 6，十位上的6 错写成 9，得到的差是 578。请你算一算，正确的差是多少？6甲、乙、丙三个组共有图书90 本，如果乙组向甲组借3 本后，又送给丙组5 本，那么，三个组的图书数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？7两个数的和是616，其中一个数个位数是0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同。这两个数各是多少？8甲桶油重24 千克，乙桶油重16 千克，要使甲桶油的重量是乙桶油的3 倍，需要从乙桶倒入甲桶多少千克？9甲、乙两筐苹果的重量相同，甲筐卖出7 千克，乙筐卖出19 千克以后，甲筐余下的重量是乙筐的3 倍。甲、乙两筐苹果原来各有多少千克？10小亮和他爸爸、妈妈今年的年
66、龄分别是6 岁、 35 岁和 31 岁。多少年后爸爸、妈妈的年龄和是小亮年龄的5 倍？第 17 讲周期问题（一）我们知道，一年有12 个月，从一月开始，一月、二月、三月、十二月；每周有七天，从星期一开始，星期一、星期二、星期天。在日常生活中有许多类似这样重复出现的现象， 一些数、 图形的变化也是周而复始地循环出现的，我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。解答这类题目只有找到规律，才能获得正确的方法。例 1上面黑、白两色小球探险一定的规律排列着，其中第90 个是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 45 页学习必备欢迎下
67、载例 2有同样大小的红、白黑珠共150 个，按先 5 个红的，再 4 个白的，再3 个黑的排列着。第144 个珠是什么颜色？例 3有 249 朵花，按 5 朵红花、 9 朵黄花、 13 朵绿花的顺序排列，最后一朵花是什么颜色的？例 4有同样大小的红、黄、蓝弹子共180 个，按先 4 个红的，再2 个黄的，再 3 个蓝的排列着。三种颜色的弹子各有多少个？例 5上表中，将每列上下两个字组成一组，例如，第一组为（共，社），第二组为（产，会） ，那么，第 128 组是（）练习与思考1根据图中物体的排列规律，填空。 (2) 第 55 个是（）2. 把 1100 号的卡片依次发给小红、小芳、小华、小明四个
68、人，已知1 号发绘小红，16 号发给谁？ 38 号呢？3四（ 1）班六位同学在进行报数游戏，他们围成一圈，小娟报“1” ，小华报“ 2” ，小丽报“ 3” ，小勇报“ 4” ，小强报“ 5” ，小琳报“ 6” ，每位报的数总比前一位多1。 “72”是谁报的？“ 190”呢？4一些黑白珠子按一定规律排列（如图），如果这些珠子共有50 个，则倒数第六个珠子是什么颜色？5有同样大小的红、白、黑珠共90 个，按先3 个红的，后2 个白的，再1 个黑的排列。黑珠共有几个？第68 个珠子是什么颜色？6有 100 朵花，按 4 朵红花， 3 朵绿花， 5 朵黄花， 2 朵紫花的顺序排列，最后一朵是什么颜色的
69、花？四种花各有几朵？7第 26列 的 字 母和 数 字 各是什么？8如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第1 组是（我， A） ，第二组是（们， B） ，我们爱科学我们爱科学我们A B C D E F G A B C D E 第 26 组是什么？共产党好共产党好共产党好社会主义好社会主义好社会A B C D A B C D 1 2 3 1 2 3 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 45 页学习必备欢迎下载第 18 讲周期问题（二）例 110 个 2 连乘的积的个位数是几？例 21998 年元旦是星期
70、四，1998 年元旦是星期几？例 3黑珠、白珠共185 个串成一串，排列如图：例 4把自然数按下图的规律排列后，分成A、B、C、D 、E五类，例如， 4 在 D类， 10在 B 类。那么， 1998 在哪一类？例 5有一个1111 位的数，各位数字都是1，这个数除以6 余数是几？商的末位数字是几？练习与思考1 42 个 8连乘以积的个位数是几？2 99 个 999 连乘，所得积的个位数字是几？3 1988 年 2 月 1 日是星期日， 1992 年 2 月 1 日是星期几？ 1998 年 2 月 1 日呢？4如果时钟现在表示的时间是18 时整，那么，分针旋转1990 圈以后是几时？5黑珠、白珠
71、共150 个串成一串，排列如图：最后一个是什么颜色的？这一串共有多少个白珠，多少个黑珠？6英文字母A、B、C、D探险 BCDABAACDABAACDABAACD排列，共250 个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、 D各多少个？7按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上？8一个200 位的数，每位上的数字都是3，用它除以7，余数是几？商的末位数字是几？9 333 3 共 85 个 3 相乘，加上44 4 4 共 80 个 4 相乘，它们和的个位数是几？10小红数左手的手指，大拇指为1，食指为 2，中指为 3，无名指为4，小指为 5，然 A B C D E 1
72、2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 18 19 20 A B C D 1 2 3 4 7 6 5 8 9 10 11 14 13 12 A B C D 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 45 页学习必备欢迎下载后换向，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换向，食指为10，这样，数到 2000 停在哪个手指上？第 19 讲假设问题（一）假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依
73、据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而长到正确答案。我们看这样一道题：在同一个笼子里的，有若干鸡和兔。从笼子上看有30 个头，从笼子下数有70 只脚。这个笼子里装有鸡、兔各多少只？这样的问题属于“鸡兔同笼”问题，解决这类问题通常用假设法。我们可以先假设笼子里全部都是鸡，根据鸡、 兔的总只数可以算出在假设条件下共有多少只脚，结果一定比已知的问好脚数少，每差2 只脚就说明有1 只兔，所以，用所差的脚数除以2，就可以求出兔的只数， 从而可以求出鸡的只数。也可以先假设全部都是兔，按照前面的方法推算出鸡的只数。用假设法解答鸡兔同笼问题的基本
74、数量关系式是：兔数 =（实际脚数 - 每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数- 每只鸡脚数）鸡数 =（每只兔子脚数鸡兔总数- 实际脚数）（每只兔子脚数- 每只鸡脚数）例 1本讲开始例举题目。例 2王芳有 2 分、5 分的硬币共40 枚，一共是 1元 2 角 5 分。两种硬币各有多少枚？例 3王老师带了51 名同学去公园划船，共租了 11 条船， 每条大船坐6 人，每条小船坐 4 人。请你算一算，他们租了大船、小船各几条？例 4一批钢材，用小卡车装载，要用45 辆；如果用大卡车装载，只需用36 辆。每辆大卡车比每辆小卡车多装4 吨，这批钢材有多少吨？例 5王老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如
75、果步行，每分行80 米，他将迟到 5 分；如果骑自行车，第分行200 米，他可以提前7 分到校。 王老师出发时离上班时间有多少分？练习与思考 1鸡兔共100 只，共有脚284 只，鸡兔各有多少只？2 2 元、 5 元的人民币共27 张，全计99 元。 2 元、 5 元的人民币各有多少张？3用一元钱买8 分邮票和 4 他邮票，共买了17 张。买的4 分邮票与8 分邮票相差多少张？4电影院一天售出甲、乙两种电影票共1700 张，共收款7800 元。甲种票每张6 元，乙种票每张4 元。甲、乙两种电影票各售出多少张？5田甜这学期的21 次测验成绩全都是4 分或 5 分（老师采用5 分评分制），总共加起
76、来是 100 分。她得了多少次5 分？6王师傅有2 元， 5 元， 10 元的人民币共118 张，共计 500 元，其中 5 元与 10 元的张数相等。三种人民币各有多少张？7张老师带了55 个学生去划船，共乘从10 只船，其中大船坐6 人，小船坐4 人。大船和小船各几只？8有一堆土，用大汽车运，要运50 次；如果用小汽车运，要运80 次。每辆大汽车比小汽车多运3 吨，这堆土有多少吨？9李老师从学校到教委去开会，出发时他看一下表，发现如果步行每分行行100 米，他将迟到6 分；如果骑自行车每分行200 米，可以提前 3 分到达。 李老师出发时离开会有多精选学习资料 - - - - - - -
77、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 45 页学习必备欢迎下载少时间？10松鼠采松子，晴天每天可采用20 个，雨天每天可采12 个，它一连几天采了112松子，平均每天采14 个。这几天当中有几天下雨？第 20 讲假设问题（二）例 1三、四、五年级同学共植树108 棵。三年级比四年级少植18 棵，五年级比三年级多植 30 棵，三个年级同学各植树多少棵？例 2每个大油桶可装油4 千克，每个小油桶可装油2 千克，大桶和小桶共50 个，大桶比小桶共多装油20 千克。大、小油桶各多少个？例 3搬运 1000 只玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3 角，但打碎一只，不仅不给搬运
78、费，还要赔5 角。如果运完后共得运费260 元，那么，搬运中打碎了几只玻璃瓶？例 4 水果糖每千克2.4 元，奶糖每千克3.2 元，某单位买进水果糖和奶糖共200 千克，付款时发现买奶糖比水果糖多用220 元，两种糖各买进多少千克？例 5鸡兔同笼，鸡比兔多14 只，共有脚136 只，鸡兔各有多少只？练习与思考 1小明、小宇、小虹、小叶到森林里去采蘑菇。他们共采了80 个蘑菇，小明比小宇少采了 8 个，小虹比小明少采14 个，小叶和小虹采的一样多。他们每人采了多少个蘑菇？2三筐苹果共130 个，第二筐内的苹果数是第一筐的3 倍，第三筐的苹果数是第二筐的 2 倍多 10 个，三筐苹果各有多少个？3
79、小红有一个小储蓄箱，一天，她把储蓄箱里存的钱全倒出来了。数一数，二分硬币和五分硬币共152 枚，算一算，五分硬币比二分硬币多少60 分，两种硬币各多少枚？4学校组织参观，全校共 720 人参加。 一辆大轿车比一辆小卡车多载20 人。6 辆大轿车和 8 辆小卡车载的人数相等。如果都乘小卡车需要几辆？5某次数学竞赛共20 道题，评分标准是：每做对一道题得5 分，每做错或不做一题扣 1 分。李强参加了这次竞赛，得了64 分。李强做对了几道题？6. 办公室买水瓶和茶杯共花了136 元，每只水瓶14 元，每只茶杯2 元，买的茶杯比水瓶多 36 只。买水瓶和茶杯各多少只？7某电视机厂每天生产电视机500
80、台，在质量评比中， 每生产一台合格电视机记5 分，每生产一台不合格电视机扣18 分。已知该厂四天评比中得了9931 分，这四天生产了多少台合格电视机？8鸡兔同笼，共有脚138 只，鸡比兔多12 只。鸡兔各有多少只？9六（ 2）班 42 个同学参加植树，男生平均每人种3 棵，女生平均每人种2 棵，男生比女生多种56 棵，男、女生各多少人？10小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记20 分，脱靶一发则扣12 分。两人各打了 10 发，共得208 分，小王比小李多得64 分。小王、小李两各打中几发？第 21 讲计数问题（一）我们已经认识了角、三角形、长方形、正方形等基本图形，当这些图形重叠交错在一起
81、时，就构成了错综复杂的几何图形，要想准确地计算出这类图形中所包括的某一种基本图形的个数， 就需要认真观察，灵活地运用有关的基本概念和知识，并学会运用一些正常的解题思考方法，掌握数图形的规律，这样才能获得正确的计数结果。例1数出下面各图中线段的总条数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 45 页学习必备欢迎下载例2数一数，图中有多少条线段。例3数出图中共有多少条线段。例4数一数图中共有多少线线段。例5数一数图中有多少个锐角。练习与思考1 数一数，各图中有多少条线段。 (1) (2) 2如果线段 AB上共有8 个点（包括A、B
82、两点） ，那么，共有多少条线段？3乘火车从南京到上海，途中共有5 个站（不包括南京、上海），共有多少条不同的路段？4数一数，各图中有多少条线段。(1) A B C D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 A5 O A1 A2 A3 A4 C2 C1 C19 A B C3 C18 B D C E A . . （2）（4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 45 页学习必备欢迎下载（ 3）（5）5数一数，各图中有几个锐角。6某班有35 个学生，现将34 个学生排成一队，另外一个站在队外，如果把每个学生看成一点，那么，这35
83、个学生可以组成多少条线段？第 22 讲计数问题（二）例1分别数出下面各图中长方形的个数。例2数一数下左图中有多少个正方形。例3数一数，图中有多少个三角形。例 4数一数，图中有多少个三角形。例5如图，从甲地到乙地有2 条路可走，从乙地到丙地有3 条路可走；从甲地到丁地有 4 条路可走，从丁地到丙地有2 条路可去。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？（6）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 45 页学习必备欢迎下载练习与思考1数一数，图中有多少个长方形。（ 1）（2）2数一数，图中有多少个正方形。3. 数一数，图中有多少个三角形
84、。4数一数，下左图中有三角形、平等四边形、梯形各多少个。5联结A、B、C、D四个城市的道路如图所示：（1） 从 A城经 B城到 C城的不同走共有多少种？（2）从 A 城到 C 城的不同走法共有多少种？第 23 讲容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。这一讲我们先介绍容斥原理1 对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a 分类与性质b 分类（如图1） ，那么，具有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =Na+Nb-Nab 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
85、归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 45 页学习必备欢迎下载例 1一个班有55 名学生，订阅小学生数学报的有12 人，订阅今日少年报的有 9 人，两种报纸都订阅的有5 人。 （1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例 2一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人，会俄语的有18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？例 3在 1到 100 的全部自然数中，既不是6 的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？例 4艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23 幅画不是五年级的，有21 幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8
86、幅。其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1 将边长分别为4 厘米和 5 厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6） ，已知重叠的部分为9 平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2二（ 2）班有 50 名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有 35 人，做完数学作业的有40 人，两种作业都做完的有多少人？3有 62 名学生，其中会弹钢琴的有11 名，会吹竖笛的有56 名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4某校选出50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14 人，数学比赛获奖的有12 人，有 3 人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖
87、的有多少人？5四（ 1）班有 40 个学生，其中有25 人参加数学小组，23 人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1 题的有 35 人，答对第 2 题的有 28 人，这两题都答对的有20 人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？7一个俱乐部里，会下中国象棋的有69 人，会下国际象棋的有52 人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有30 人。这个俱乐部里有多少人？8某班上体育课，全班排成4 行（每行的人数相等） ，小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7 个。这个班共有多少名
88、学生？9在 1 到 200 的全部自然数中，既不是8 的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？10科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114 件不是一年级的，有96 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32 件。其他年级参展的作品共有多少件？第 24 讲容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理2 n 个事物，如何采用三种不同的分类标准： 按性质 a 分类、 性质 b 分类与性质c 分类（如图 1） ，那么，具有性质a或b或c的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc 。例 1五（ 1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4 名学生在
89、这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 45 页学习必备欢迎下载如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17 人18 人15 人6 人6 人6 人2 人求全班人数。例 2某班有学生50 人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20 人、20 人和 12 人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4 人，既参加航模小组又参加生物小组的有5 人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3 人。已知全班每人都至少参
90、加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？例 3一个体育锻炼小组有35 名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有16 人，参加排球队的有11 人，参加足球队的有20 人，其中有 4 人既参加了排球队又参加了篮球队，有 3 人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人？例 4松山小学45 名学生参加数学、作文、美术竞赛。有21 人参加数学竞赛，15 人参加作文竞赛，其中7 人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3 人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。（1）只参加数学竞
91、赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？（3）只参加美术竞赛的有多少人？练习与思考 1有 30 名运动员、其中18 人会三级跳远，16 人会撑杆跳高，10 人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2操场上的学生排成10 路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4 路纵队，从排头数他是第13 人，从后往前数他是第8 人。操场上有多少人在做操？3一个年级有120 人爱好数学， 100 人爱好语文， 85 人爱好美术， 30 人既爱好数学又爱好语文， 20 人既爱好语文又爱好美术，35 人既爱好美术又爱好数学，有 18 人三个学科都爱好。请问：这个年级中数学、
92、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？4某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8 名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：数学语文英语数学、语文语文、英语英语、数学数学、语文、英语20 16 16 4 4 5 3 全班一共有多少名学生？ 5第三小队的学生有20 人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10 人、 10 人、 6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3 人，既有黄球又有蓝球的有2 人，既有蓝球又有红球的有4 人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么
93、，手中三种颜色的球都有多少人？6某班50 名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29 人，参加语文小组的有21 人，参加美术小组的有25 人，有 17 人既参加数学小组又参加美术小组， 有 15 人既参加数学小组又参加语文小组，有 10 人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？7有学生30 名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14 人、12 人、 10 人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4 人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6 人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5 人，三个小组都参加的有1 人。
94、这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 45 页学习必备欢迎下载8某外语学习班有40 名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。结果学习英语的有20 人，学习日语的有12 人，学习德语的有18 人，其中有5 人既学习了英语又学习了日语， 有 2 人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。既学习英语又学习德语的有多少人？9四（ 1）班有 55 名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有22 人参加美术组，有21人参加音乐组，其中15 人既参加音乐组又参加美术组，3 人既参加音乐
95、组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加优育组。（1）只参加美术组的有多少人？（2）只参加音乐组的有多少人？（3）只参加音乐组的有多少人？能力测试（三）（满分 100 分， 90 分钟完成）一、填空题（每空6 分，共 54 分） 。1小英有2 分、 5 分的硬币共35 枚，一共是1 元 1 角 5 分， 2 分硬币有（）枚， 5分硬币有（）枚。2从旧旧历中知道，1988 年元旦昌星期五，那么，2000 年元旦是星期（） 。3 买 5 元 1 千克的糖和8 元 1千克的糖共10 千克，用去 71 元。 5 元 1 千克的糖有（）千克， 8 元 1 千克的糖有（）千克。4图中共有（）个正方形。
96、图中菜有（）个三角形。5新华小学四年级共40 个学生采集标本，采集昆虫标本的有27 人，采集植物标本的有 21 人，两种标本都采集的有（）人。6某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的39 人，借数学书的32 人，语文、数学两种书都借的有26 人，全班学生共（）人。二、应用题（第1 题 10 分，其余每题9 分，共 46 分） 。1英文字母A，B，C，D，按规则排列为ABAACCDABAACCD共 250 个字母，最后一个字母是什么？ A，B， C ，D各有多少个？2四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得5 分，错一题扣2 分。试卷上共有20道题，李华得了86
97、分，他算对了多少道题？3一个停车场上共停汽车、三轮摩托车25 辆，其中汽车有4 个轮子，三轮摩托车有3个轮子。这些车共有90 个轮子。三轮摩托车有多少辆？4某班学生会打篮球的有40 人， 会打排球的有32 人，两种球都会打的有30 人，还有3 个学生这两种球都不会打。这个班有学生多少人？5有 43 位同学，他们身上带的钱从8 分到 5 角，钱数都不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种：3 分一张和5 分一张。如果每人都尽量多买5分一张的画片，那么，他们所买的3分一张是画片的总数是多少张？第 25 讲行程问题（一）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
98、结 - - - - - - -第 32 页，共 45 页学习必备欢迎下载我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题，称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题的追及问题。例 1甲、乙两人分别从相距30 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6 千米，乙每小时走4 千米。两人几小时后相遇？例 2南北两村相距90 千米，甲、乙两人分别从两村同时出发相向而行，甲比乙每小时多行 2 千米， 5 小时后两人相遇。两人的速度各是什么？例 3两地相距900 千米， 甲、乙两列火车同时从两地出发相向而行。甲车每小时行驶60 千米，乙车每小时行驶90 千米，两车在途中相遇后继续前进。从两车相遇算起，它
99、们开到对方的出发点各需要多长时间？例 4甲每小时行8 千米，乙每小时行6 千米，两人于相隔32 千米的两地同时相背而行，几小时后二人相隔144 千米？例 5下午放学时，弟弟以每分40 米的速度步行加家，5 分后，哥哥以每分60 米的速度也从学校步行回家。哥哥出发后， 经过几分可以追上弟弟？（假定从学校到家和路程足够远，哥哥追上弟弟时仍没有到家。）例 6幸福村小学有一条200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒跑 6 米，晶晶每秒跑4 米。问：冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？第二次追上晶晶时两人各跑了多少圈？练习与思考1甲、乙两艘轮船分别从两港同时出发相向而行，甲船每小时
100、行驶19 千米，乙船每小时行驶13 千米，经过8 小时两艘轮船在途中相遇。两港间的水路长多少千米？2甲、乙两车分别从相距240 千米的 A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需 3 小时，乙车到达A城需 6小时，两车出发后多少时间相遇？3东、西两镇相距45 千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相向而行，甲每小时行的路程是乙的2 倍， 5 小时后两人相遇。两面三刀的速度各是多少？4两地相距6600 千米，甲、乙两列火车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行驶 100 千米，乙车每小时行驶120 千米， 两车在途中相遇后继续前进。从相遇时算起， 两车开到对方的出发点各需多少小时？5甲每小时行
101、9 千米，乙每小时比甲少行3 千米，两人于相隔20 千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔80 千米？6甲每小时行12 千米，乙每小时行8 千米，甲自南庄向南行，同时乙自北庄向北行，经过 5 小时后，两人相隔103 千米。南北两庄相距多少千米？7解放军某部从营地出发，以每小时6 千米的速度向目的地前进，6 小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78 千米的速度前去联络。多少时间后，通讯员能赶上队伍？8一条环形跑道长400 米，甲骑车每分行450 米，乙跑步每分跑250 米，两人同时同地同向出发，经过多少分两相遇？9育才小学有条300 米长的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒
102、跑6米，宁宁每秒跑4 米。问：（1）扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？（2）扬扬第二次追上宁宁时两人各跑了几圈？第 26 讲行程问题（二）“火车过桥“问题是行程问题中的一种情况。桥是静的，火车是动的，火车通过大桥，是指从车头上桥到车尾离桥。如下图，假设某站在火车头的A点处，当火车通过桥时，A点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 45 页学习必备欢迎下载实际运动的路程就是火车运动的总路程，即车长与桥产的和。例 1一列火车车长180 米，每秒行20 米，这列火车通过320 米长的大桥，需要多少时间？例 2小明站在铁路边，一
103、列火车从他身边开过用了2 分。已知这列火车长900 米， 以同样的速度通过一座大桥，用了5 分。这座大桥长多少米？例 3一列火车通过一座长456 米的桥需要80 秒，用同样的速度通过一条长399 米的隧道要 77 秒。求这列火车的速度和长度。例 4少先队员346 人排成两路纵队去参观科技成果展览。队伍行进的速度是每分23米，前后两人都相距1 米。现在队伍要通过一座长702米的桥， 整个队伍从上桥到离桥共需几分？例 5一列火车，从车头到达山洞的洞口算起，用16 秒全部驶进山洞，45 秒后车尾驶离山洞。已知山洞长638 米，火车全长多少米？例 6公路两边的电线杆间隔都是30 米，一位乘客坐在运行的
104、汽车中，他从看到第1根电线杆到看到第26 根电线杆正好是3 分。这辆汽车每小时行多少千米？练习与思考 1一列火车长360 米，每秒行 15 米，全车通过一个山洞需40 秒。这个山洞长多少米？2一列火车长400 米，以每分800 米的速度通过一条长2800 米的隧道，共需多少时间？3一辆汽车通过一座长446 米的桥需要57 秒，用同样的速度通过一条长1654 米隧道要 208 秒。求这辆汽车的速度的长度。4一列火车以同一速度驶过两座大桥，第一座桥长360 米，用了24 秒，第二座桥长480 米，用了28 秒。这列火车长多少米？5一列火车经过一根有信号灯的电线杆用了9 秒，通过一座468 米长的铁
105、桥用了35秒。这列火车长多少米？6小明和小兰为了测量飞驰而过的火车的长度和速度，他们拿了两块秒表，小明用一块记下了火车从他面前通过的时间是15 秒，小兰用另一块记下了从车头到第一根电线杆至车尾过第二根电线杆所花的时间是20 秒。已知两根电线杆之间的距离是100 米，火车先经过第一根电线杆，再经过第二根电线杆。这列火车的长度和速度各是多少？7某小学三、四年级学生528 人排成四路纵队去看电影，队伍行进的速度是每分25米，前后两人都相距1 米。现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16 分。这座桥长多少米？8一列火车， 从车头到达桥头算起，用 8 秒全部驶上一座大桥，29 秒后全部驶离大桥
106、。已知大桥长546 米，火车全长是多少米？9铁路沿线的电线杆间隔都是40 米，一位旅客坐在运行的火车中，他从看到第1 根电线杆到看到第51 根电线杆正好是2 分。火车每小时行多少千米？10 一列火车长400 米，铁路沿线的电线杆间隔都是40 米，这列火车从车头到第1 根电线杆到车尾离开第51 根电线杆用了2 分。这列火车每小时行多少千米？第 27 讲平均数问题我们经常用各科成绩的平均分数来比较同学之间、班级之间成绩的高低。求各科成绩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 45 页学习必备欢迎下载的平均分数就是求平均数。平均数在
107、很我方面都有应用，例如， 求平均身高、 平均体重等等。平均数问题的基本特点是，把几个大小不等的数量，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中一份是多少。解题时关键要确定“总数量” 以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数例 1六（ 3）班数学第一单元测验，第二组同学中有1 人得 95 分， 3 人得 91 分， 4人得 86 分， 2 人得 74 分。这个小组的平均成绩是多少？例 2四（ 1）班共有学生41 人，数学期中考试时有三位同学因病缺考，平均成绩是80 分。后来这三位同学补考，成绩分别
108、为：100 分、96 分和 85 分。灾时全班的平均成绩是多少？例 3李华期中考试语文、外语、自然的平均成绩是80 分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了2 分。李华数学考了多少分？例 4有三个数和，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86。甲、乙、丙这三个数各是多少？例 5有 6 个数排成一行，它们的平均数是27。已知前4 个数的平均数是23，后 3 个数的平均数是34。第 4 个数是多少？练习与思考 1四（ 1）班学生年龄分布的情况是：13 岁的有 3 人， 12 岁的有 15 人， 11 岁的有 11人， 10 岁的有 21 人。这个班的平均年龄是多少
109、岁？2小林用9 天时间读完一本书，他前6 天每天读25 页，后 3 天每天读40 页。小林平均每天读多少页？3四（ 1）班原有男同学22 人，他们的平均体重为39 千克，后来转走了两个男同学，这两个男同学的体重分别是42 千克、36千克。现在这个班的男同学的平均体重是多少千克？4本学期，小平数学前四个单元测验的平均成绩是85 分，他想使前五个单元的平均成绩单上升到87 分，那么，他第五单元必须要考多少分？5王新同学期末考试的成绩是：语文和数学平均94 分，数学和外语平均88 分，外语和语文平均86 分。王新这三科各得多少分？6甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10，甲、乙两数的平均数是8，求丙、丁
110、两数的平均数。7有甲、乙、丙三个数，甲比乙大2，乙比丙大11，这三个数的平均数是70，求这三个数。8三年级课外美术班分为甲、乙、丙、丁四个小组，甲、乙、丙三组的平均人数是24人，乙、丙、丁三组的平均人数是26 人。已知丁组有28 人，甲组有多少人？9有五个数，平均数是138，把它们从小到大排列起来，前三个数的平均数是127，后三个数的平均数是148。中间的那个数是多少？第 28 讲推理问题（一）在日常生活中，我们常常要进行推理。例如，清晨，你推开门，看见房屋、树木、地面、都是湿漉漉的，你就会得出一个结论：夜里下雨了。这就是推理。解决推理问题，要求我们从已知条件中找出与问题之间的联系，通过分析推
111、理，得出正确的结论。例 1有三个小朋友在谈论谁做的好事多。王湖说：“王海做的比王江多。 ”王海说：“王湖做的比王江多。 ”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 45 页学习必备欢迎下载王江说：“王湖做的比王海少。 ”例 2张老师、刘老师、李老师三人在语文、数学、美术三门课中，每人都一门课。张老师说：“我不教数学。 ”刘老师说：“我既不教语文，也不教数学。”请你说出这三位老师各教什么课？例 3 有一座四层楼房 （如下图），每层楼有3 个窗户， 每个窗户有4块玻璃， 分别是白色和蓝色（用阴影图表示） 。每个窗户代表一个数字，从左
112、到右表示一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是791，275，612。那么，第三层楼代表哪个三位数？例 4有 8 个球，编号是至，其中有6 个球一样重，另外两个球都轻1 克。为了找出这两个轻球，用天平称了3 次，结果如下：第一次+比 +重；第二次+比 +轻；第三次+与 +一样重。例 5王老师为表扬好人好事，要调查一件好事是谁做的。他找来小红、小黄、小兰三人, 进行询问。小红说 : “小黄做的。”小黄说：“不是我做的。 ”小兰说：“不是我做的。 ”已知这三人中只有一个说了实话，问：这件好事是谁做的？练习与思考 1桌上有排球、足球、篮球、乒乓球各1 个。排球在足球的右边，篮球在足球的左边，乒乓球
113、在篮球的左边。请你按从左到右的顺序写出这些球的名称。2明明找不到铅笔盒，妈妈对他讲：“我把铅笔盒放到三个抽屉中的一个抽屉里了，每个抽屉上都写了一句话。不过，其中只有一句话是真的。”明明看到的三句话是：左边抽屉上写着： “铅笔盒不在这里。 ”中间抽屉上写着： “铅笔盒不在这里。 ”右边抽屉上写着： “铅笔盒在左边抽屉里。”3 1 号， 2 号， 3 号， 4 号运动员取得了学校运动会1500 米赛跑的前四名。一位老师问他们各自的名次。1号说： “3 号在我前面冲向终点。 ”得第三名的运动员说： “1 号运动员不是第 4 名。 一位运动员说： ”我们的号码与我拉所得的名次都不相同。“你能说出他们的
114、名次吗？4有三个小姑娘穿着崭新的连衣裙的颜色分别是：花的、白的、红的。已知姓刘的小朋友不喜欢穿红裙子，姓王的小朋友穿的既不是红裙子，也不是花裙子。 你知道穿花裙带子的小朋友姓什么吗？5小冬和芳芳都想买雷锋的故事这本书，小冬缺1 分钱，芳芳缺2 元 7 角钱，用他们两人的钱合买一本，钱还是不够。这本书的价钱是多少？6某商品的编号是一个三位数。现在五个三位数：874，765，123， 364， 925，其中每一个数与商品的编号恰好在同一个数位上有一个相同的数字。这件商品的编号是多少？第 29 讲推理问题（二）这一讲，我们主要介绍推理问题中两中最基本的解题方法假设法和排除法。精选学习资料 - - -
115、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 45 页学习必备欢迎下载例 1四（ 1）班第一小队有12 人，放学排路队时发现有人穿校服，有人没穿校服，并且任意两人站在一起时，都至少有1 个穿校服。问：穿校服的有几人？例 2有四个方木块，六个面上都按同样的顺序写着1，2，3，4，5，6 六个数字。请你根据下面的图说出1 的对面是几？2 的对面是几？ 3 的对面是几？例 3某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F， G ，H 八位同学获得前八名，老师让他们猜一下谁是第一名。A ：或者 F是第一名，或者H是第一名。B ：我是第一名。C ： G是第一名。D ： B不是
116、第一名。E ： A说的不对。F：我不是第一名，H也不是第一名。G ： C不是第一名。H ：我同意A的意见。老师说，八个人中只有三个人猜对了。那么，谁是第一名？例 4在某中学高一年级里，甲、乙、丙三位老师分别教数学、物理、化学、生物、语文、历史这六门课，每位老师教两门课，现知道：（1）化学老师和数学老师住在一起；（2）甲老师是三位老师中最年轻的；（3）数学老师和丙老师经常在一起下象棋；（4）物理老师经生物老师年长，比乙老师年轻；（5）三位老师中最年长的老师的家比其他两位老师的家离学校远。问：甲、乙、丙三位老师每人各教哪两门课？例 5A、B二人对话如下：A问：您有几个孩子？B答：有三个。A问：他们
117、的年龄各是多少岁？B答：他们年龄之积是36。A问：您的孩子上学了吗？B答：老大是个女孩， 现在上小学， 还有两个孩子是一对孪生兄弟，他们还没到上小学的年龄。根据以上对话，请你判断B的三个孩子的年龄各是多少岁？练习与思考 1有 100 个人，其中至少有一人说假话，这100 个人中任意两个人中总有一个人说真话。问：说真话的有多少人？说假话的有多少人？2一个正方体，六个面分别涂有红、黄、蓝、绿、白、紫六种颜色，你能根据下图说出相对两个面涂的各是什么颜色吗？3在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了前五名（名次没有并列的）。小明问他们各是第几名？A说： “第二名是D，第三名是B。 ”B说：
118、 “第二名是C，第四名是E。 ”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 45 页学习必备欢迎下载C说： “第一名是E，第五名是A。 ”D说： “第三名是C，第四名是A。 ”E说： “第二名是B，第五名是D。 ”已知这五位同学每人只说对了一半，请你帮小明猜一猜这五位同学的名次。4某人手中有13 张扑克牌，这些牌有如下情况：（1）没有大王、小王，但红桃、黑桃、方块、梅花四种花色都有；（2）各种花色牌的张数不同；（3）红桃和黑桃合起来共有6 张；（4）红桃和方块合起来共有5 张；（5）有一种花色只有两张牌。问：这人手中的牌什么花色最
119、多，有几张？5某同学在校外做了一件好事，老师找与这件事有关的甲、乙、丁四人询问。甲说：是乙做的。乙说：是丁做的。丙说：不是我做的。丁说：乙说得不对。已知做好事的同学就在这四个人中，并且只有一个人说了实话。问：这件好事是谁做的？第 30 讲巧算（一）巧算是四则计算中的一个重要组成部分，学会一些巧算的方法，对提高计算能力有很大的帮助。 加、减法的巧算方法很多，主要是利用加法、减法的运算定律和运算性质使计算简便。例 1计算 63+294+37+54+6 例 2 （ 1）673+288 （2）9898+203 （3）352-96 （4）786-109 例 3计算 718-162-238 例 4计算 1
120、85- （85+17）例 5计算（ 1）296+31-196 （2）521-136-221 例 6 （ 1）88- （47-12 ）（2）376-（176-97 ）（3）347+（153-129 ）（4）268+(317-168) 练习与思考用简便方法计算下面各题。1 27+42+63 2.33+87+67+13 3 527+439+173+261 4 2365+6807+7635+3193 5 471+91 6.986+97 7 9874+987 8.986+62 9 136-96 10.2748-993 11659-487-113 12.908-296-304 13.5498-1928-3
121、87-1072-1613 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 45 页学习必备欢迎下载14.8709-1473-295-527-391-105-409 15.761+299-561 16.249-97-49 17.437-(37+186) 18.351-(88+151) 19.74-(35-16) 20.669+(231-176) 21.326+(187-126) 22.516-56-44-43-57 23.5723-(723-189)+576-(276-211) 24.756+478+2346-(356+178)-146
122、 25.9+99+999+9999 第 31 讲巧算（二）这一讲我们学习乘法、除法的巧算方法，这些方法主要根据乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将因数（或被除数、除数）转化成整百、整千的数，或者使算式中的一些数变得易于心算，从而简化计算。例 1 （ 1）25564125 （2） 7516 例 2 （ 1）125(10+8) （2） （20-4） 25 （3）4004 25 （ 4）125798 例 3 （ 1）146317375 （2）12489624 （3）1000（ 125 4）例 4 （ 1）62525 （ 2）58500900 例 5 （ 1） （3
123、50+165） 5 （2） （702-213-414 ） 3 练习与思考用简便方法计算下面各题。1 184 17+18483 2 981+59810+49981 3 496 837-796 637 4 248 68-17 248+24848 5 304 28+489648 6 （12599+125） 16 7 2564125 8 301 467 9 （36+66）（ 1724）+14 10.1111111111 9999999999 11.56000 （ 1400016）12.45000 (25 90) 13.37500 425 14.9600 25 15.125 9125 16.871 36
124、4182 17.204 312197312197204 18.(10000-1000-100-10) 10 19.(30+32+34+36+38+40) 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 45 页学习必备欢迎下载20.8 7+97+117 第 32 讲巧算（三）这一讲，我们主要介绍一些有一定难度的用凑整和分解等方法进行、除法的速算。例 1计算 999998888811111 例 2计算 864 3727 例 3计算 876543219 例 4计算 111111111111 例 5计算 999999999996 练习与
125、思考 1计算下面各题。（1）57 911 13 （2）454500（ 2545）（3）2732374 （4）671224 （5）4444 77771111 （6）333322226666 2找出下面各题积的排列规律，直接写出得数。（1）222222555555 （2）33333333333334 （3）66666667 66666667 第 33 讲等量代换同学们都知道曹冲称象的故事吧。曹冲让大象上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。 再把大象赶上岸，把这条船装上石块，当水面淹没到记号的位置时，就可以知道，船上的石块菜有多重，大象就有多重。曹冲称象就是运用了“等量代换”的方法：两个
126、相等的量，可以互相代换。解数学题，经常要用到这种思考方法。例 1下面的四只天平都保持平衡。想一想：一个西瓜和几根香蕉的重量相等？例 2已知一只狗重8 千克，请你根据下图推出一只小猴和一只小兔共重多少千克。？根香蕉精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 45 页学习必备欢迎下载例 3一头猪可以换3 只羊， 1 只羊可以换2 只狗， 1 只狗可以换4 只兔子， 1 头猪可以换几只兔子？例 4百货商店运来300 双球鞋，分别装在2 个木箱和6 个纸箱里。如果2 个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想；每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋
127、？例5 如右图，阴影部分BDFE是正方形，求长方形ACGH 的周长。练习与思考1 +=+ +=（）个2下面图中每只梨重500 克，那么， 1 根香蕉比1个苹果轻多少千克？3已知 1 头猪 =2 只羊， 1 只羊 =8 只兔子。 1头猪 =（）只兔子； 2头猪 =（）只兔子； 3只羊 =（）只兔子； 24只兔子 =（）只羊；32 只兔子 =（）头猪。4已知 20 只鸡可以换2 条狗， 6 条狗可以换2 头猪， 10 头猪可以换2 头牛。那么， 5头牛可以换多少只鸡？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 45 页学习必备欢迎下载
128、5已知 3 个苹果和重量加上一个梨子的重量等于14 个桔子的重量， 6 个桔子的重量加上 1 个苹果的重量等于1 个梨子的重量。问：1 个梨子的重量等于多少个桔子的重量？6已知 1 筐梨 +2 筐桔子 =130 千克；2 筐苹果 +2 筐桔子 =160 千克；3 筐梨 +2 筐苹果 =310 千克。求 1筐梨 =（）千克； 1筐苹果 =（）千克； 1筐桔子 =（）千克。7买 6 千克荔枝和8 千克桂圆，共付312 元。已知5 千克荔枝的价钱等于2 千克桂圆的价钱。荔枝的单价是多少元？桂圆的单价是多少元？8甲、乙二人共同生产一种零件，甲生产了 8 小时， 乙生产了6 小时， 一共生产了312个零
129、件。 已知乙 5 小时的工作量等于甲2 小时的工作量。 甲生产了多少个零件？乙生产了多少个零件？9甲、乙两数之差是180，如果将乙数的小数眯向右移动一位就与甲数相等。甲、乙两数各是多少？10如右图，阴影部分是正方形，求长方形ABCD 的周长。第 34 讲拼拼算算近代伟大的数学家希尔伯证明了一条有趣的定理：两个面积相等的多边形，可以将其中任意一个割成有限块，然后拼成另一个。割拼图形作为几何学上有趣的课题，引起很多数学爱好者的广泛兴趣。研究这类问题，要抓住“割、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定割拼的具体方法。例 1 下图是由三个正方形组成的图
130、形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。例2一个长方形的长是9厘米，宽是 4 厘米，请把它剪成大小、形状 都 相同的两块，使这两块能拼成一个正方形。例 3把一个正方形剪成8 块，再把它们拼成 一 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页，共 45 页学习必备欢迎下载方形和一个正方形，并使拼成的长方形和正方形的面积在先。应该怎样剪拼？例 4 把下图中两个图形的某一个分成三块，最后都拼在一起， 使它们变为一个正方形。例6将下面的图形 剪 成 两块，然后拼成 一 个 正方形。练习与思考1 下图是同五个正方形组成的图形，请把它分成大小、
131、形状都相同的四块。2把一个等边三角形分别分成8 个和 9 个形状、大小都一样的三角形。3在上右图中画5 条线， 把小圆圈分开， 并使每块的大小相等，形状相同。4右图是一块长方形铁皮，现在要把它剪成形状、大小都相同的两面三刀块，然后拼成一个正方形。拼成的正方形的边长应该是多少？请画出剪拼的方法。5如图， 把两个图形中的某一个分成三块，使它们合起来能 拼成一个正方形。6把上右图分成形状相同，大小相等，但都不是长方形的 6 块图形。能力测试（四）（满分 100 分， 90 分钟完成）一、直接写出下面各题的得数（每题1 分，共 24 分） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
132、结 - - - - - - -第 43 页，共 45 页学习必备欢迎下载 94 128= 489689= 136-98= 25 24= 1512= 3845= 27856= 666444= 98921= 2748993= 12516= 45 8= 194-27-73= 728493= 8943= 47197= 5254888= 75 12= 161255= 19955= 2532= 25 98252= 9628= 12588125112= 二、用简便方法计算下面各题（每题3 分，共 30 分） 。 1 7616572418735 2 87091473295 527391105409 3 756
133、478 2346（ 356178） 146 4999999999999999999999 5625 3640125 612597375 724999 8297525 9333322226666 103333333334 三、应用题第1、2 题，每题7 分，其余每题8 分，共 46 分） 。1小磊前四次数学测验的平均成绩是89 分，第五次测验得99 分。这五次测验的平均成绩是多少分？2 一辆汽车7 小时行了 196 千米。 另一辆汽车用同样的速度从甲地到乙地用了14 小时。甲、乙两地相距多少千米？36 筐桔子和5 筐苹果共重135 千克，已知3 筐桔子的重量与3 筐苹果的重量相等。1筐苹果和1
134、筐桔子各重多少千克？4一个工厂男职工的人数是女职工的一半，男职工的平均体重是65 千克， 女职工的平均体重是50 千克。全厂职工的平均体重是多少？5有一块长16 厘米，宽9 厘米的长方形铁皮（如下图），现在要把它剪成形状、大小相同的两块， 再拼成一个正方形。拼成的正方形的边长应该是多少？请把剪拼的方法在图上出来。6甲、乙、丙、丁9 厘米16 厘米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 45 页学习必备欢迎下载四个孩子在李先生家的后院玩球，忽然， 李先生家一扇窗户上的玻璃被打破了。李先生急忙跑出来查看。李先生问“是谁打破了上玻璃？”甲说： “是乙打破的。 ”乙说： “是丁打破的。 ”丙说： “锁有打破玻璃。 ”丁说： “乙说谎。”后来知道，四个孩子中只有一人说了实话。请问：是谁打破了玻璃？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 45 页，共 45 页
