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1、1 2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量ab cos叫做a与b的数量积 (或内积 ),记作ab,即abab cos。注意:(1)两向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定;(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法不同, “”不能省略,也不能也成“”; (3)在运用数量积公式时,一定要注意两个向量夹角的范围:00180 0。(4)规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0b0; (5)当向量a与b的夹角为900时,叫a与b互相垂直,记作:ab
2、,此时:abab0。2、平面向量数量积的几何意义:(1)对于abab cos,其中b cos叫做b在a方向上的投影, 当为锐角时, 投影为正; 当为钝角时, 投影为负;当就直角时,投影为0; 当为 0 度时,投影是b;当为 180 度时,投影为b; (2)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的; (3) )a在b方向上的投影值可以写成bba。例 1:已知a2,b 5,当( 1)a与b夹角为 300时; (2)当ab时; (3)当当ab时;分别计算a与b的数量积。【解析】: (1)53; (2)0; (3)10 变式练习 1:已知a 3,b 5,且a与b的夹角为450,则a在b方向上的投
3、影是()A:223B:3 C:4 D:5 【解析】:A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 2 变式练习 2:已知a 6,b 3,且ab 12,则a在b方向上的投影是 ()A: 4 B: 2 C:4 D:2 【解析】:A 二、平面向量数量积的性质若a与b是非零向量,e是与a方向相同的单位向量,是e与a的夹角1、eaaeae cos2、abab0 3、若a与b同向,则abab ( 夹角为 0 度 );若反向,则abab
4、( 夹角为 180度 );特别地,aa(a)2a2或aaa4、若是a与b的夹角,则 cos baba5、abab(当a与b共线时取等号)三、平面向量数量积的运算律1、abba2、(a)b(ab)a(b) 3、(ab)cacbc4、(ab)(ab)(a)2(b)2a2b25、(ab)2a22abb2 注意: (1)没有(ab)ca(bc)这个运算定律;(2)acbc,则不能得到ab; (3)若ab0,则a0或b0或900。例 2:下列说法正确的个数_。(1)两个向量的数量积是一个向量;(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量;(3)若ab 0,则a与b的夹角为锐角, 若ab0,则a与b的夹角为
5、钝角;(4) (ab)ca(bc); (5)若ab0,则a0或b0。【解析】:0 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 3 例 3:已知a与b的夹角为1200,且a 4,b 2,则计算 (a2b)(ab)_,ab_。【解析】:12 23例 4:已知OAAB,OA4,则OAOB_。【解析】:16 变式练习 1:已知a 1,ab21,(ab)(ab)21,求( 1)a与b的夹角; (2)ab与ab的夹角的余弦值。【解析】
6、:450,ab221,ab225,cos25212155。变式练习 2:已知向量a、b的夹角为 600,且a 2,b 1,则向量a与向量a2b的夹角等于()A:1500B:900C:600D:300【解析】:cosbaabaa2)2(300 可用数形结合法,构成的四边形为菱形变式练习 3:已知向量a与向量b满足,a 6,b 4,且a与b的夹角为600,求ab与a3b。【解析】:ab 219,a3b 63变式练习 4:设四边形 ABCD 为平行四边形,AB 6,AD 4,若点 M,N 满足BM3MC,DN2NC,则AMNM()A:20 B:15 C:9 D:6 解析】这个地方四边形ABCD 为平
7、行四边形,可赋予此四边形为矩形,进而以A 为坐标原点建立坐标系。由0,06,34,4A(),M ()N(),进而(6,3)AM,(2,1)NM,9AMNM。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 4 变式练习 5:已知向量a与向量b是两个互相垂直的单位向量,若向量c满足 (ac)(bc)0,则c的最大值是()A:1 B:2 C:2D:22【解析】:(ac)(bc)abacbcc20,则c2c(ab),则c4c(ab)2c
8、2(a22abb2)2c2故c22。C 四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设i,j为 x 轴、y 轴方向的两个单位向量,即i(1,0),j(0,1),且a与b为两个非零向量,a(x1,y1),b(x2,y2) 1、ii1 jj1 ij0 abx1x2y1y22、若a(x,y),则a222yx或a22yx。若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB212212)()(yyxx3、若a(x1,y1),b(x2,y2),则abab0x1x2y1y20 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
9、 - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 5 4、若a(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角为,则 cos222221212121yxyxyyxx例 4:向量a(1, 1),b(1,2),则a(2ab)()A: 1 B:0 C:1 D:2 【解析】:C 变式练习:若向量a(x,2),b(2, 1),且ab,则ab()A:5B:10C:25D:10 【解析】:B 例 5:若平面向量a(4,3),2ab(3,18),则a与b夹角的余弦值等于()A:658B:658C:6516D:6516【解析】:C 变式练习 1:设 x、yR,向量a(x,1),b(1,y)
10、,c(2,4),且ac,bc,则ab()A:5B:10C:25D:10 【解析】:B 变式练习 2:已知a(,2),b(3,5),且a与b的夹角为锐角,则的取值范围是_。【解析】:由于 a 与 b 的夹角为锐角, a b0,且 a 与 b 不共线同向由a b0? 3 100,解得 103.当向量 a 与 b 共线时,得 5 6,得 65,因此 的取值范围是 103且 65.答案: | 103且 65 变式练习 3:已知 A(3 ,0),B(0,3),C(cos,sin),O 为坐标原点。(1)若OCAB,求 tan; (2)若ACBC,求 sin2; (3)若OAOC13,且(0,),求OB与
11、OC的夹角。【解析】: (1) 1 (2)98(3)6变式练习 4:已知a(53cosx,cosx),b(sinx,2cosx),设函数 f(x) ab2b23。 (1)当 x6,2时,求函数f(x) 的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 6 (2)当 x6,2时,若 f(x)8,求函数 f(x12)的值(3)将函数 f(x)的图象向右平移12个单位长度后,再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移 5 个单位长度
12、, 得到函数 yg(x) 的图象,求函数 yg(x)的表达式, 并判断其奇偶性。【解析】: (1)f(x) 5sin(2x6)5 (2)22x667sin2x53cos2x54f(x 12)5sin2x55sin(2x66)21433(3)g(x) 5sin2x 奇变式练习 5:a(3,1),b(21,23),且存在实数k 和 t,使ma(t23)b,n ka tb,且mn,试求ttk2的最大值。课 后 综 合 练 习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 9 页
13、 - - - - - - - - - 7 1、给出以下四个命题: (1)abab0; (2)若ab0,且a0,则b0;(3)若a0,b0,则abab; (4)当a与b反向时,abab。正确命题的个数是()A:1 B:2 C:3 D:4 【解析】:B (3)应小于2、已知a(0,1),b(1,1),且(ab)a,则实数的值是()A: 1 B:0 C:1 D:2 【解析】:A 3、若a 3,b3,且a、b的夹角为6,则ab为()A:6B:23C:32D:21【解析】:D 4、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则(1)(ab)c(ca)b0; (2)abab; (3)(bc)a(ca)
14、b与c不垂直;( 4)(3a2b) (3a2b)9a24b2中,是真命题的有()A: (1) (2)B: (2) (3)C: (3) (4)D: (2) (4)【解析】:D 5、如图所示, RtABC 中,A900,AB 1,则ABBC的值是 ()A:1 B: 1 C:2 D: 2 【解析】:B 6、ABC 中,ABa,BCb, 若ab0, 则 ABC 的形状为 ()A:直角三角形B:钝角三角形C:锐角三角形D:不能判断【解析】:B 7、已知a、b满足ab 2,ab0,若向量c与ab共线,则ac的最小值为()A:2B:1 C:22D:21【解析】:设a(2,0),b(0,2),cx(ab)(2
15、x, 2x),则ac224)22(xx4882xx2A CAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 8 8、已知a21,b22,(ab)a0,则a与b的夹角为()A:300B:450C:600D:900【解析】:B 9、已知ab 1,a与b的夹角是 900,c2a3b,dka4b,c与d垂直,则 k 的值为()A: 6 B:6 C:3 D:3 【解析】:B 10、a 1,b 2,且 (ab)a0,则a、b的夹角为 _。
16、【解析】:120011、已知向量a和b的夹角为 1200,且a 2,b 5,(2ab)b_。【解析】: 35 12、已知向量a和b的夹角为 450,且a 1, 2ab10,则b _。【解析】:3213、已知向量a(1,0),b(1,1),若向量b3a与向量a夹角的余弦值为_。【解析】:55214、向量1e,2e就夹角为 600的两个单位向量,若向量a1e32e与b21e,则向量a与b方向上的身影为_。【解析】:2515、已知向量a(2,2),b(5,k), (1)若ab,求 k 值; (2)若ab不超过5,求 k 的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -