《2022年高一数学必修1函数知识总结及例题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年高一数学必修1函数知识总结及例题(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义:设 y=f(u)的定义域为A,u=g(x) 的值域为 B,若 AB,则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数f 与 g 的复合函数,u 叫中间量 .二、复合函数定义域问题:(一)例题剖析:(1)、已知f x( )的定义域,求f g x( )的定义域思路:设函数fx( )的定义域为D,即xD,所以f的作用范围为D,又 f 对g x( )作用,作用范围不变,所以Dxg)(,解得xE,E为f g x( )的定义域。例 1. 设函数f u( )的定义域为(0,1) ,则函数fx(ln)的定义域为 _。解析:函数f u( )的定义域为( 0, 1)即u(
2、)01,所以f的作用范围为(0,1)又 f 对 lnx 作用,作用范围不变,所以01ln x解得xe()1,故函数fx(ln)的定义域为(1,e)例 2. 若函数fxx( )11,则函数f f x( )的定义域为 _。解析:先求f 的作用范围,由fxx( )11,知x1即 f 的作用范围为xR x|1,又 f 对 f(x)作用所以f xRf x( )( )且1,即ff x( )中 x 应满足xf x11( )即xx1111,解得xx12且故函数ff x( )的定义域为xR xx|12且(2) 、已知f g x( )的定义域,求fx( )的定义域思路:设f g x( )的定义域为D,即xD,由此
3、得g xE( ),所以 f 的作用范围为E,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以xEE,为f x( )的定义域。例 3. 已知fx()32的定义域为x12,则函数f x( )的定义域为 _。解析:fx()32的定义域为12,即x12,由此得3215x,所以 f 的作用范围为15,又 f 对 x作用,作用范围不变,所以x15,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页即函数fx( )的定义域为15,例 4. 已知fxxx()lg22248,则函数fx( )的定义域为 _。解析:先求f 的作用范围,由f xxx()lg22
4、248,知xx2280解得x244,f 的作用范围为()4,又 f 对 x作用,作用范围不变,所以x()4,即fx( )的定义域为()4,(3) 、已知f g x( )的定义域,求f h x( )的定义域思路:设f g x( )的定义域为D,即xD,由此得g xE( ),f的作用范围为E,又 f 对h x( )作用,作用范围不变,所以h xE( ),解得xF,F为f h x( )的定义域。例 5. 若函数fx()2的定义域为11,则fx(log)2的定义域为 _。解析:fx()2的定义域为11,即x11,由此得2122x,f的作用范围为122,又 f 对log2x作用,所以log2122x,解
5、得x24,即fx(log)2的定义域为24,评注:函数定义域是自变量x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围是 f 的作用范围, f 的作用对象可以变,但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。(二)同步练习:1、 已知函数)x(f的定义域为 1,0,求函数)x(f2的定义域。答案: 1, 12、 已知函数)x23(f的定义域为 3,3,求)x(f的定义域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页答案:9, 33、 已知函数)2x(fy的定义域为)0
6、, 1(,求|)1x2(|f的定义域。答案:)23, 1()0,21(4、设xxxf22lg,则xfxf22的定义域为() A.4, 00 ,4B. 4, 11, 4C. 2, 11, 2D.4,22, 4解:选 C.由202xx得,( )f x的定义域为| 22xx。故22,2222.xx,解得4, 11,4x。故xfxf22的定义域为4, 11,45、已知函数)(xf的定义域为)23,21(x,求)0)()()(aaxfaxfxg的定义域。解析由已知,有.232,2321,2321,2321axaaxaaxax(1)当1a时,定义域为2321|xx;(2)当aa2323,即10a时,有22
7、1aa,定义域为232|axax;(3)当aa2323,即1a时,有221aa,定义域为2321|axax. 故当1a时,定义域为2321|axax;当10a时,定义域为.232|axax点评对于含有参数的函数,求其定义域, 必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页(1)引理证明已知函数)(xgfy. 若)(xgu在区间ba,()上是减函数,其值域为(c ,d),又函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数,那么,原复合函数)(xgfy在区间ba,()上
8、是增函数 . 证明:在区间ba,()内任取两个数21, xx,使bxxa21因为)(xgu在区间ba,()上是减函数,所以)()(21xgxg, 记)(11xgu, )(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数,所以)()(21ufuf, 即)()(21xgfxgf,故函数)(xgfy在区间ba,()上是增函数 . (2) 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便, 我们把它们总结成一个图表:)(ufy增 减 )(xgu增 减 增 减 )(xgfy增 减 减 增 以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增
9、异减”. (3)、复合函数)(xgfy的单调性判断步骤:确定函数的定义域;将复合函数分解成两个简单函数:)(ufy与)(xgu。分别确定分解成的两个函数的单调性;若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数)(xgfy为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数)(xgfy为减函数。(4)例题演练例 1、 求函数)32(log221xxy的单调区间,并用单调定义给予证明解:定义域130322xxxx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共
10、 12 页单调减区间是),3(设2121), 3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx) 32(222xx=)2)(1212xxxx312xx012xx0212xx)32(121xx)32(222xx又底数1210012yy即12yyy在), 3(上是减函数同理可证:y在)1,(上是增函数例 2、讨论函数) 123(log)(2xxxfa的单调性 . 解由01232xx得函数的定义域为.31, 1|xxx或则当1a时,若1x,1232xxu为增函数, ) 123(log)(2xxxfa为增函数 . 若31x,1232xxu为减函数 .
11、 ) 123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时 , 若1x, 则) 123(lo g)(2xxxfa为 减 函 数 , 若31x, 则) 123(lo g)(2xxxfa为增函数 . 例 3、. 已知 y=alog(2-xa) 在 0, 1上是 x 的减函数,求a 的取值范围 . 解: a0 且 a1 当 a1 时,函数 t=2-xa0 是减函数由 y=alog (2-xa)在 0,1上 x 的减函数,知y=alogt 是增函数,a1 由 x0, 1时, 2-xa2-a 0, 得 a 2, 1a2 当 0a0 是增函数由 y=alog (2-xa)在 0,1上 x 的减函数,知y=a
12、logt 是减函数,0a1由 x0, 1时, 2-xa2-1 0, 0a1 综上述, 0a1 或 1 a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页例4、已 知 函 数2)3()2(2axaaxxf(a为 负 整 数 ) 的 图 象 经 过 点Rmm),0,2(,设)()()(),()(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)2(,(f上是减函数,且在区间)0),2( f上是减函数?并证明你的结论。解析由已知0)2(mf,得02)3(2amaam,其中.0,aRm0 即09232aa,解得.3
13、7213721aa为负整数,.1a1)2(34)2(2xxxxf,即.1)(2xxf242221)1()()(xxxxffxg,.1) 12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数)0( pp,使得)(xF满足条件,设21xx,.12)()()()(2221222121pxxpxxxFxF3)2(f,当)3,(,21xx时,)(xF为减函数,0)()(21xFxF,.012)(, 022212221pxxpxx3, 321xx,182221xx, 11612)(2221ppxxp, .0116p当)0, 3(,21xx时,)(xF增函数 ,.0)()(21xFxF02221xx,1
14、1612)(2221ppxxp, 0116p. 由、可知161p,故存在.161p(5)同步练习:1函数y21log(x2 3x2)的单调递减区间是()A (, 1)B (2,)C (,23)D (23,)解析: 先求函数定义域为(o,1)( 2,),令t(x)x23x2,函数t(x)在(, 1)上单调递减,在(2,)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y21log(x23x2)在( 2,)上单调递减答案: B 2 找出下列函数的单调区间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页(1)) 1(232aayxx;
15、(2).2322xxy答案: (1)在23,(上是增函数,在),23上是减函数。(2)单调增区间是 1 , 1,减区间是3 , 1 。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案:,1a时),0(为增函数,01a时,)0,(为增函数。4求函数y31log(x25x4)的定义域、值域和单调区间解:由(x)x25x40,解得x4 或x1,所以x(, 1)( 4,),当x(, 1)( 4,), x25x4 R,所以函数的值域是R因为函数y31log(x25x4)是由y31log(x)与(x)x25x4 复合而成,函数y31log(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)x25x4 在
16、(,25)上为减函数, 在25,上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y31log(x2 5x4)的增区间是定义域内使y31log(x)为减函数、(x)x25x4 也为减函数的区间,即(, 1) ;y31log(x25x4)的减区间是定义域内使y31log(x)为减函数、(x)x25x 4 为增函数的区间,即(4,)变式练习一、选择题1函数f(x))1(log21x的定义域是()A (1,)B ( 2,)C (, 2)D21( ,解析: 要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
17、7 页,共 12 页所以0)1(log0121xx解得 1x2答案: D 2函数y21log(x2 3x2)的单调递减区间是()A (, 1)B ( 2,)C (,23)D (23,)解析: 先求函数定义域为(o,1)( 2,),令t(x)x23x2,函数t(x)在(, 1)上单调递减,在(2,)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y21log(x23x2)在( 2,)上单调递减答案: B 3若 2lg(x2y)lgxlgy,则xy的值为()A4 B1 或41C 1 或 4 D41错解: 由 2lg(x2y)lgxlgy,得(x2y)2xy,解得x4y或xy,则有xy41或yx1答案:
18、 选 B 正解: 上述解法忽略了真数大于0 这个条件,即x2y0,所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案: D 4若定义在区间(1,0)内的函数f(x)a2log(x 1)满足f(x) 0,则a的取值范围为()A (0,21)B ( 0,21)C (21,)D ( 0,)解析: 因为x( 1,0) ,所以x1( 0, 1) 当f(x) 0 时,根据图象只有0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页2al,解得 0a21(根据本节思维过程中第四条提到的性质)答案: A 5函数ylg(x121)的图象关于()Ay轴对称Bx轴对
19、称C原点对称D直线yx对称解析:ylg(x121)xx11lg,所以为奇函数形如yxx11lg或yxx11lg的函数都为奇函数答案: C 二、填空题已知yalog(2ax)在 0,1上是x的减函数,则a的取值范围是_解析:a0 且a1(x) 2ax是减函数,要使yalog(2ax)是减函数,则a1,又 2ax0a32(0x1)a2,所以a( 1,2) 答案:a( 1,2)7函数f(x)的图象与g(x)(31)x的图象关于直线yx对称,则f(2xx2)的单调递减区间为_解析: 因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)31log x则f(2xx2)31log(2xx2) ,令(x) 2xx2
20、0,解得 0x2(x) 2xx2在( 0,1)上单调递增,则f(x) 在( 0,1)上单调递减;(x) 2xx2在( 1,2)上单调递减,则f(x) 在 1,2)上单调递增所以f(2xx2)的单调递减区间为(0,1) 答案: (0,1)8已知定义域为R 的偶函数f(x)在 0,上是增函数,且f(21) 0,则不等式f(log4x)的解集是 _解析: 因为f(x)是偶函数,所以f(21)f(21) 0又f(x)在 0,上是增函数, 所以f(x)在(, 0)上是减函数 所以f( log4x)0log4x21或 log4x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
21、 - - -第 9 页,共 12 页21解得x2 或 0x21答案:x2 或 0x21三、解答题9求函数y31log(x25x4)的定义域、值域和单调区间解: 由(x)x25x40,解得x4 或x1,所以x(, 1)( 4,) ,当x(, 1)( 4,), x25x4 R,所以函数的值域是R因为函数y31log(x25x 4)是由y31log(x)与(x)x25x 4 复合而成,函数y31log(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)x25x 4 在(,25)上为减函数, 在25,上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y31log(x2 5x4)的增区间是定义域内使y31log(x
22、)为减函数、(x)x25x4 也为减函数的区间,即(, 1) ;y31log(x25x4)的减区间是定义域内使y31log(x)为减函数、(x)x25x 4 为增函数的区间,即(4,)10设函数f(x)532xxx2323lg,(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;(3)已知函数f(x)的反函数f1(x) ,问函数yf1(x)的图象与x轴有交点吗 ?若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由解: (1)由 3x50 且xx2323 0,解得x35且23x23取交集得23x23(2)令(x) 3x5,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;xx2323 1
23、x236随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页又ylgx在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,yxx2323lg是减函数,所以f(x)532xxx2323lg是减函数(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数f(x)的反函数f1(x)与工轴的交点为(x0,0) 根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是( 0,x0) ,将( 0,x0)代入f(x) ,解得x052所以函数yf1(x)
24、的图象与x轴有交点,交点为(52,0) 。一指数函数与对数函数同底的指数函数xya与对数函数logayx互为反函数;(二)主要方法:1解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于1,要注意对底数的讨论;3比较几个数的大小的常用方法有:以0和1为桥梁;利用函数的单调性;作差(三)例题分析:例 1 (1)若21aba,则logbba,logba,logab从小到大依次为;(2) 若235xyz, 且x,y,z都是正数,则2x,3y,5z从小到大依次为;(3)设0x,且1xxab(0a,0b) ,则a与b的大小关系是()(A)1ba(B)1ab(
25、C)1ba(D)1ab解: (1)由21aba得baa,故logbbalogba1logab( 2)令235xyzt,则1t,lglg 2tx,lglg 3ty,lglg5tz,2lg3lglg(lg9lg8)230lg 2lg3lg 2 lg3tttxy,23xy;同理可得:250xz,25xz,325yxz (3)取1x,知选(B) 例 2已知函数2( )1xxfxax(1)a,求证: (1)函数( )f x在( 1,)上为增函数; ( 2)方程( )0f x没有负数根证明: (1)设121xx,则1212121222()()11xxxxf xf xaaxx121212121212223(
26、)11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx,121xx,110x,210x,120xx,12123()0(1)(1)xxxx;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页121xx,且1a,12xxaa,120xxaa,12()()0f xf x,即12()()f xf x,函数( )f x在( 1,)上为增函数;(2)假设0x是方程( )0f x的负数根,且01x,则000201xxax,即00000023(1)31111xxxaxxx,当010x时,0011x,0331x,03121x,而由1a知01xa,式不
27、成立;当01x时,010x,0301x,03111x,而00xa,式不成立综上所述,方程( )0f x没有负数根例 3已知函数( )log (1)xafxa(0a且1a) ( 高考A计划考点15,例 4) 求证: (1)函数( )f x的图象在y轴的一侧;(2)函数( )f x图象上任意两点连线的斜率都大于0证明: (1)由10xa得:1xa,当1a时,0x,即函数( )f x的定义域为(0,),此时函数( )f x的图象在y轴的右侧;当01a时,0x,即函数( )f x的定义域为(,0),此时函数( )f x的图象在y轴的左侧函数( )f x的图象在y轴的一侧;(2)设11(,)A xy、22(,)B xy是函数( )f x图象上任意两点,且12xx,则直线AB的斜率1212yykxx,1122121log (1)log (1)log1xxxaaaxayyaaa,当1a时,由( 1)知120xx,121xxaa,12011xxaa,121011xxaa,120yy,又120xx,0k;当01a时,由( 1)知120xx,121xxaa,12110xxaa,12111xxaa,120yy,又120xx,0k函数( )f x图象上任意两点连线的斜率都大于0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页