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1、学习必备欢迎下载【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行
2、和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载3.空间元素间的数量关系（1）角相交直线所成的角；异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角；二面角用二面角的平面角来度量。（2）距离两点之间的距离连接两点的线段长；点线距离点到垂足的距离；点面距离点到垂足的距离；平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离；异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长；线面距离平行线上一点到平面的距离；面面距离平面上一点到另一平面的距离；球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面
4、的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系：4.在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另精选学习资料 - - - - - - -
5、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含 的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。（4）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（5）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的
6、平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面上的图形面积为S，它在另一个平面上的投影面积为S，这两个平面的夹角为，则 S=Scos 。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析 】例 1 如图 7-1，已知正方体ABCD A1B1C1D
7、1中， E、F、G、H、L、M、N 分别为 A1D1，A1B1，BC，CD，DA ，DE，CL 的中点。（1）求证： EFGF；（2）求证： MN 平面 EFGH；（3）若 AB=2 ，求 MN 到平面 EFGH 的距离。解（1）如图 7-2，作 GQB1C1于 Q，连接 FQ，则 GQ平面 A1B1C1D1，且 Q 为 B1C1的中点。在正方形A1B1C1D1中，由 E、F、Q 分别为 A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF FQ，由三垂线定理得EF GF。（2）连 DG 和 EG。N 为 CL 的中点， 由正方形的对称性，N 也为 DG 的中点。 在 DEG 中，由三角形中位线性质得
8、MN EG，又 EG平面 EFGH，MN平面 EFGH，MN 平面 EFGH。（3）图 7-3 为图 7-2 的顶视图。连NH 和 NE。设 N 到平面 EFGH 的距离为h，VENGH=VNHEG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载31AA1SNHG=31hSHEG21622=h21EHHG 又 EH=222121=6,HG=221=h2162h=63例 2 如图 7-4，已知 ABC 中， ACB=90 ，CDAB，且 AD=1 ，BD=2 ， ACD 绕 CD 旋转至 ACD，使点 A与点 B
9、之间的距离AB=3。（1）求证： BA 平面 ACD；（2）求二面角A CDB 的大小；（3）求异面直线A C 与 BD 所成的角的余弦值。解（1） CDAB，CD A D，CDDB ，CD平面 ABD，CD BA。又在 ADB 中， AD=1 ，DB=2 ，AB=3， BA D=90，即 BA AD，BA平面ACD。（2） CDDB ，CDAD， BDA 是二面角A CDB 的平面角。又 RtABD 中， A D=1，BD=2 ， ADB=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载即二面角 A C
10、D B 为 60。（3）过 A作 AEBD ，在平面ABD 中作 DEAE 于 E，连 CE，则 CAE 为 AC 与 BD 所成角。CD平面 ABD，DE A E，AECE。EA AB， ADB=60 ， DA E=60，又 AD=1 ， DEA =90，AE=21又在 RtACB 中， AC=ABAD=3AC=AC=3RtCEA中， cos CAE=CAEA=321=63, 即异面直线AC 与 BD 所成角的余弦值为63。例 3 已知三棱锥P ABC 中， PA平面 ABC ，PA=3，AC=4 ，PB=PC=BC。（1）求三棱锥PABC 的体积 V；（2）作出点A 到平面 PBC 的垂线
11、段 AE，并求 AE 的长；（3）求二面角APCB 的大小。解（1） PA平面 ABC ，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4 。PA平面 ABC ， PAAC 。在 RtPAC 中，可求出PC=5。则 PB=BC=5 。取 BC 中点 D，连 AD 。在等腰 ABC 中，求出底边上的高AD=239。V=312152393=4395。（2）连 PD，则 PD BC，又 AD BC，BC平面 PAD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载又 BC平面 PBC，平面PAD平面 PBC。作 AEPD 于
12、E，则 AE平面 PBC，AE 为点 A 到平面 PBC 的垂线段。在 RtPAD 中，由 PAAD=AE PD，23522PDPAPD得 3239=AE 235，求出 AE=5133。（3）作 AFPC 于 F，连 EF，由三垂线定理逆定理，得EFPC， AFE 为二面角APCB 的平面角。在 RtPAC 中，由 PAAC=PC AF，即 3 4=5AF，求出 AF=512，sinAFE=AFAE=5133125=413，则 AFE=arcsin413。例 4 如图 7-7，已知三棱柱A1B1C1ABC 的底面是边长为2 的正三角形，侧棱A1A 与 AB， AC 均成 45角，且 A1EB1
13、B 于 E，A1FCC1于 F。（1）求证：平面A1EF平面 B1BCC1；（2）求点 A 到平面 B1BCC1的距离；（3）当 AA1多长时，点A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等？解（1）已知 A1EB1B 于 E，A1FC1C 于 F，且 B1BC1C，B1BA1F。又 A1EA1F=A1， B1B平面 A1EF。平面 A1EF平面 B1BCC1。（2）因为 A1B1B=A1AB= A1AC=A1C1C=45，A1B1=A1C1， A1EB1=A1FC1=90， A1B1=2，RtA1B1ERtA1C1F， A1E=A1F=2，B1EC1F， EF=B1C1=2，A1E2+
14、A1F2=EF2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载 A1EF 为等腰直角三角形，取 EF 的中点 N，连 A1N，则 A1NEF，A1N平面 B1BCC1，A1N 为点 A1到平面 B1BCC1的距离。又有 A1N=21EF=1，所以点 A1到平面 B1BCC1的距离为 1。（3）如图 7-8，设 BC、B1C1的中点分别为D、D1，连 AD ，DD1和 A1D1，则 NDD1。DD1BB1AA1， A，A1，D，D1四点共面， AD A1D1，A1ADD1为平行四边形。B1C1A1D1，A1N平
15、面 BCC1B1，B1C1D1D，又 B1C1A1N，B1C1平面 ADD1A1，BC平面 ADD1A1，平面 A1ADD1平面 ABC 。作 A1M平面 ABC 于 M，则点 M 在 AD 上。若 A1M=A1N，又 A1AD= A1D1D， A1MA= A1ND1=90, 则有 Rt A1MA RtA1ND1，于是 A1A=A1D1=3。即当 A1A=3时，点 A1到平面 ABC 和平面 B1BCC1的距离相等。例 5 如图 7-9，已知： PD平面 ABCD ，AD DC， AD BC，PDDCBC=1 12。（1）求 PB 与平面 PDC 所成角的大小；（2）求二面角DPBC 的正切值
16、；（3）若 AD=21BC，求证平面PAB平面 PBC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载解（1）由 PD平面 ABCD ，BC平面 ABCD ，得 PDBC。由 AD DC，AD BC，得 BCDC。又 PDDC=D ，则 BC平面 PDC。所以 BPC 为直线 PB 与平面 PDC 所成的角。令 PD=1，则 DC=1，BC=2，可求出 PC=2。由 BC平面 PDC，PC平面 PDC，得 BCPC。在 RtPBC 中，由 PC=BC 得 BPC=45，即直线 PB 与平面 PDC 所成的角为4
17、5。（2）法一：如图 7-10，取 PC 中点 E，连 DE， 则 DEPC。由 BC平面 PDC，BC平面 PBC，得平面 PDC平面 PBC。则 DE平面 PBC。作 EFPB 于 F，连 DF，由三垂线定理，得DFPB。则 DFE 为二面角DPBC 的平面角。在 RtPDC 中，求得DE=22。在 RtPFE 中，求得 EF=21。在 RtDEF 中， tan DFE=EFDE=2。即二面角 D PBC 的正切值为2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载法二：由 PD平面 ABCD ， PD平面
18、 PDB，得平面 PDB平面 ABCD 。如图 7-11，作 CHBD 于 H，则 CH平面 PDB。作 HFPB 于 F，连 CF，由三垂线定理得CF PB。则 CFH 为二面角 DPBC 的平面角。在等腰 RtPBC 中，求出斜边上的中线CF=1。在 RtDBC 中，求出DB=21=3，可进一步求出斜边上的高CH=32。在 RtFHC 中，求出HF=31， tanHFC=HFHC=2，即二面角 D PBC 的正切值是2。（3）如图 7-12，取 PB 中点 G，连 AG 和 EG。由三角形中位线定理得GEBC，GE=21BC。由已知， AD BC，AD=21BC 。 AD=GE ，AD G
19、E。则四边形 AGED 为平行四边形，AG DE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载由（ 2）的解法（一） ，已证出 DE平面 PBC， AG平面 PBC。又 AG平面 PAB，平面 PAB平面 PBC。例 6 如图 7-13， PA平面 ABCD ，四边形ABCD 是矩形， PA=AD=a ，M，N 分别是 AB，PC 的中点，（1）求平面PCD 与平面 ABCD 所成二面角的大小；（2）求证： MN 平面 PCD；（3）当 AB 的长度变化时，求异面直线PC 与 AD 所成角的可能范围。解（1）
20、PA平面 ABCD ，CDAD ， PD CD。故 PDA 是平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角。在 RtPAD 中， PA AD ，PA=AD ， PDA=45 。（2）如图 7-14，取 PD 中点 E，连结 AE，EN，又 M， N 分别是 AB，PC 的中点，EN21CD21AB AMNE 是平行四边形MN AE。在等腰 RtPAD 中， AE 是斜边的中线。AEPD。又 CDAD ，CDPD CD平面 PAD，CD AE，又 PDCD=D ， AE平面 PCD。MN 平面 PCD。（3） ADBC，所以 PCB 为异面直线PC，AD 所成的角。由三垂线定理知PB BC
21、，设 AB=x(x0) 。tanPCB=axa22=2)(1ax。又ax（ 0，）， tanPCB（ 1，+） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载又 PCB 为锐角， PCB（4，2） ，即异面直线PC，AD 所成的角的范围为（4，2） 。例 7 如图 7-15，在正三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长都等于a,D、E 分别是 AC1、BB1的中点，（1）求证： DE 是异面直线AC1与 BB1的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角EAC1C 的大小；（3）求点 C1到平面 AEC 的距离。解（
22、1）过 D 在面 AC1内作 FGA1C1分别交 AA1、CC1于 F、G，则面 EFG面 ABC 面 A1B1C1， EFG 为正三角形， D 为 FG 的中点， EDFG。连 AE，EC1D、E 分别为11BB、AC的中点，1ECAE1ACDE。又面EFGBB1，EDBB1，故 DE 为 AC1和 BB1的公垂线，计算得DE=23a。（2） AC=CC1，D 为 AC1的中点， CDAC1，又由（ 1）可知， EDAC1， CDE 为二面角EAC1 C 的平面角， 计算得 CDE=90。或由（1）可得 DE平面 AC1，平面 AEC1平面 AC1，二面角EAC1 C 为 90。（3）用体积
23、法得点C1到平面 ACE 的距离为23a。例 8 如图 7-16，已知斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都是2，侧棱与底面成60的角，且侧面ABB1A1底面 ABC ，（1）求证： B1CC1A；（2）求二面角C1ABC 的大小；（3）求三棱锥B1ABC1的体积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载解（1）作 B1DAB 于 D，侧面 ABB1A1底面 ABC ，又 B1D面 ABB1A1，B1D底面 ABC 。 B1BA=60 。故 ABB1是正角形。D 是 AB 的中点。连 CD，又
24、ABC 是正三角形，CD AB。又 CD 是 B1C 在平面 ABC 上的射影，B1CAB。又 BB1C1C 是菱形， B1CBC1。又 AB BC1=B， B1C面 ABC1。又 AC1面 ABC1， B1C C1A。（2） 2ACC1A1是菱形，C1AA1C。又 B1CA1C=C，且由（ 1）知CBAC11， C1A面 A1B1C。C1AA1B1。又 AB A1B1。C1AAB 。连 DE，则 DEC1A， DEAB。又 CDAB， CDE 是二面角 C1 ABC 的平面角。在 CDB1中， CD=B1D=3， CDB1是直角，且 DE 平分 CDB1， CDE=45。（3）由（ 1）已证
25、 B1C面 ABC1，B1E 是三棱锥B1ABC1的高，且B1E=21CB=26，又 DE=B1E=26，SABC1=21AB AC1=AB DE=226=6，V11ABCB 锥=31SABC1B1E=31626=1。例 9 如图 7-17，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱， D 是 AC 的中点。（1）证明 AB1DBC1；（2）假设 AB1BC1，BC=2 。求线段 AB1在侧面 B1BCC1上的射影长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载解（1）如图 7-18， A1B1C1ABC 是正三
26、棱柱，四边形 B1BCC1是矩形。连结 B1C，交 BC1于 E，则 BE=EC。连结 DE。在 AB1C 中， AD=DC ，DEAB1，又 AB1平面 DBC1，DE平面 DBC1， AB1平面 DBC1。（2）作 AFBC，垂足为 F。因为面 ABC 面 B1BCC1，AF平面 B1BCC1。连结 B1F，则 B1F 是 AB1在平面 B1BCC1内的射影。 BC1AB1，BC1B1F。四边形 B1BCC1是矩形， B1BF=BCC1=90，又 FB1B= C1BC， B1BF BCC1，则BCBB1=1CCBF=BBBF1。又F 为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF BC=
27、1 2=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3， B1F=3，即线段AB1在平面 B1BCC1内的射影长为3。例 10 如图 7-19（a） ，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且C1CB= BCD=60 。（1）证明： C1CBD ；（2）假定 CD=2 ，C1C=23，记面 C1BD 为，面 CBD 为 ，求二面角 BD的平面角的余弦值；（3）当1CCCD的值为多少时，能使A1C平面 C1BD ？请给出证明。 （2000 年全国高考题） 。解如图 7-19(b),(1) 连结 A1C1、AC，设 AC 和 BD 交于 O，连C1O。四边形 ABCD 是菱形，
28、 AC BD，BC=CD 。又 BCC1=DCC1， C1C=C1C， C1BC C1DC，C1B=C1D， DO=OB ， C1OBD ，又 AC BD，ACC1O=O， BD 平面 AC1，又 C1C平面 AC1，C1CBD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2） 由 （1） 知 ACBD ， C1OBD， C1OC 是二面角 BD 的平面角。在 C1BC 中， BC=2 ， C1C=23， BCC1=60， C1B2=22+（23）2 2223 cos60=413。 OCB=30 ， OB
29、=21BC=1 ， C1O2=C1B2-OB2=413-1=49， C1O=23，即C1O=C1C。作C1HOC，垂足为 H，则点 H 是 OC 的中点，且OH=23，所以 cosC1OC=OCOH1=33。（3）当1CCCD=1 时，能使 A1C平面 C1BD。证明一：1CCCD=1， BC=CD=C1C，又 BCD= C1CB=C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D。三棱锥 CC1BD 是正三棱锥。设 A1C 与 C1O 相交于 G。 A1C1AC ， 且 A1C1OC=21， C1GGO=21。又 C1O 是正三角形C1BD 的 BD 边上的高和中线，点G 是正三角形C1BD 的中心， CG平面 C1BD，即A1C平面 C1BD 。证明二：由（ 1）知， BD 平面 AC1，又 A1C平面 A1C1， BDA1C。当1CCCD=1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD A1C 的证法可得BC1A1C。又 BDBC1=B， A1C平面 C1BD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
