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1、学习必备欢迎下载【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质,空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系(特别是平行
2、和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定,进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形)的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路,会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页学习必备欢迎下载3.空间元素间的数量关系(1)角相交直线所成的角;异面直线所成的角转化为相交直线所成的角;直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角;二面角用二面角的平面角来度量。(2)距离两点之间的距离连接两点的线段长;点线距离点到垂足的距离;点面距离点到垂足的距离;平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离;异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长;线面距离平行线上一点到平面的距离;面面距离平面上一点到另一平面的距离;球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面
4、的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系:4.在直接证明有困难时,可考虑间接证法,如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归,各种具体方法如下:(1)求空间中两点间的距离,一般转化为解直角三角形或斜三角形。(2)求点到直线的距离和点到平面的距离,一般转化为求直角三角形斜边上的高;或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高,即用体积法。(3)求异面直线所成的角,一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另精选学习资料 - - - - - - -
5、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页学习必备欢迎下载一条直线的平行线;或过空间任一点分别作两异面直线的平行线,这样就作出了两异面直线所成的角,构造一个含 的三角形,解三角形即可。方法二是补形法:将空间图形补成熟悉的、完整的几何体,这样有利于找到两条异面直线所成的角。(4)求直线与平面所成的角,一般先确定直线与平面的交点(斜足),然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线,再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影),最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形,求出直线与平面所成的角。(5)求二面角,一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角,就是作出二面角的
6、平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有:根据定义作二面角的平面角;垂面法作二面角的平面角;利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角;无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法:即在一个平面上的图形面积为S,它在另一个平面上的投影面积为S,这两个平面的夹角为,则 S=Scos 。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程,推理是运算的基础,运算只是推理过程的延续。如求二面角,只有根据推理过程找到二面角后,进行简单的运算,才能求出。因此,求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析 】例 1 如图 7-1,已知正方体ABCD A1B1C1D
7、1中, E、F、G、H、L、M、N 分别为 A1D1,A1B1,BC,CD,DA ,DE,CL 的中点。(1)求证: EFGF;(2)求证: MN 平面 EFGH;(3)若 AB=2 ,求 MN 到平面 EFGH 的距离。解(1)如图 7-2,作 GQB1C1于 Q,连接 FQ,则 GQ平面 A1B1C1D1,且 Q 为 B1C1的中点。在正方形A1B1C1D1中,由 E、F、Q 分别为 A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF FQ,由三垂线定理得EF GF。(2)连 DG 和 EG。N 为 CL 的中点, 由正方形的对称性,N 也为 DG 的中点。 在 DEG 中,由三角形中位线性质得
8、MN EG,又 EG平面 EFGH,MN平面 EFGH,MN 平面 EFGH。(3)图 7-3 为图 7-2 的顶视图。连NH 和 NE。设 N 到平面 EFGH 的距离为h,VENGH=VNHEG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页学习必备欢迎下载31AA1SNHG=31hSHEG21622=h21EHHG 又 EH=222121=6,HG=221=h2162h=63例 2 如图 7-4,已知 ABC 中, ACB=90 ,CDAB,且 AD=1 ,BD=2 , ACD 绕 CD 旋转至 ACD,使点 A与点 B
9、之间的距离AB=3。(1)求证: BA 平面 ACD;(2)求二面角A CDB 的大小;(3)求异面直线A C 与 BD 所成的角的余弦值。解(1) CDAB,CD A D,CDDB ,CD平面 ABD,CD BA。又在 ADB 中, AD=1 ,DB=2 ,AB=3, BA D=90,即 BA AD,BA平面ACD。(2) CDDB ,CDAD, BDA 是二面角A CDB 的平面角。又 RtABD 中, A D=1,BD=2 , ADB=60 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页学习必备欢迎下载即二面角 A C
10、D B 为 60。(3)过 A作 AEBD ,在平面ABD 中作 DEAE 于 E,连 CE,则 CAE 为 AC 与 BD 所成角。CD平面 ABD,DE A E,AECE。EA AB, ADB=60 , DA E=60,又 AD=1 , DEA =90,AE=21又在 RtACB 中, AC=ABAD=3AC=AC=3RtCEA中, cos CAE=CAEA=321=63, 即异面直线AC 与 BD 所成角的余弦值为63。例 3 已知三棱锥P ABC 中, PA平面 ABC ,PA=3,AC=4 ,PB=PC=BC。(1)求三棱锥PABC 的体积 V;(2)作出点A 到平面 PBC 的垂线
11、段 AE,并求 AE 的长;(3)求二面角APCB 的大小。解(1) PA平面 ABC ,PB=PC,由射影定理得,AB=AC=4 。PA平面 ABC , PAAC 。在 RtPAC 中,可求出PC=5。则 PB=BC=5 。取 BC 中点 D,连 AD 。在等腰 ABC 中,求出底边上的高AD=239。V=312152393=4395。(2)连 PD,则 PD BC,又 AD BC,BC平面 PAD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页学习必备欢迎下载又 BC平面 PBC,平面PAD平面 PBC。作 AEPD 于
12、E,则 AE平面 PBC,AE 为点 A 到平面 PBC 的垂线段。在 RtPAD 中,由 PAAD=AE PD,23522PDPAPD得 3239=AE 235,求出 AE=5133。(3)作 AFPC 于 F,连 EF,由三垂线定理逆定理,得EFPC, AFE 为二面角APCB 的平面角。在 RtPAC 中,由 PAAC=PC AF,即 3 4=5AF,求出 AF=512,sinAFE=AFAE=5133125=413,则 AFE=arcsin413。例 4 如图 7-7,已知三棱柱A1B1C1ABC 的底面是边长为2 的正三角形,侧棱A1A 与 AB, AC 均成 45角,且 A1EB1
13、B 于 E,A1FCC1于 F。(1)求证:平面A1EF平面 B1BCC1;(2)求点 A 到平面 B1BCC1的距离;(3)当 AA1多长时,点A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等?解(1)已知 A1EB1B 于 E,A1FC1C 于 F,且 B1BC1C,B1BA1F。又 A1EA1F=A1, B1B平面 A1EF。平面 A1EF平面 B1BCC1。(2)因为 A1B1B=A1AB= A1AC=A1C1C=45,A1B1=A1C1, A1EB1=A1FC1=90, A1B1=2,RtA1B1ERtA1C1F, A1E=A1F=2,B1EC1F, EF=B1C1=2,A1E2+
14、A1F2=EF2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页学习必备欢迎下载 A1EF 为等腰直角三角形,取 EF 的中点 N,连 A1N,则 A1NEF,A1N平面 B1BCC1,A1N 为点 A1到平面 B1BCC1的距离。又有 A1N=21EF=1,所以点 A1到平面 B1BCC1的距离为 1。(3)如图 7-8,设 BC、B1C1的中点分别为D、D1,连 AD ,DD1和 A1D1,则 NDD1。DD1BB1AA1, A,A1,D,D1四点共面, AD A1D1,A1ADD1为平行四边形。B1C1A1D1,A1N平
15、面 BCC1B1,B1C1D1D,又 B1C1A1N,B1C1平面 ADD1A1,BC平面 ADD1A1,平面 A1ADD1平面 ABC 。作 A1M平面 ABC 于 M,则点 M 在 AD 上。若 A1M=A1N,又 A1AD= A1D1D, A1MA= A1ND1=90, 则有 Rt A1MA RtA1ND1,于是 A1A=A1D1=3。即当 A1A=3时,点 A1到平面 ABC 和平面 B1BCC1的距离相等。例 5 如图 7-9,已知: PD平面 ABCD ,AD DC, AD BC,PDDCBC=1 12。(1)求 PB 与平面 PDC 所成角的大小;(2)求二面角DPBC 的正切值
16、;(3)若 AD=21BC,求证平面PAB平面 PBC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页学习必备欢迎下载解(1)由 PD平面 ABCD ,BC平面 ABCD ,得 PDBC。由 AD DC,AD BC,得 BCDC。又 PDDC=D ,则 BC平面 PDC。所以 BPC 为直线 PB 与平面 PDC 所成的角。令 PD=1,则 DC=1,BC=2,可求出 PC=2。由 BC平面 PDC,PC平面 PDC,得 BCPC。在 RtPBC 中,由 PC=BC 得 BPC=45,即直线 PB 与平面 PDC 所成的角为4
17、5。(2)法一:如图 7-10,取 PC 中点 E,连 DE, 则 DEPC。由 BC平面 PDC,BC平面 PBC,得平面 PDC平面 PBC。则 DE平面 PBC。作 EFPB 于 F,连 DF,由三垂线定理,得DFPB。则 DFE 为二面角DPBC 的平面角。在 RtPDC 中,求得DE=22。在 RtPFE 中,求得 EF=21。在 RtDEF 中, tan DFE=EFDE=2。即二面角 D PBC 的正切值为2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页学习必备欢迎下载法二:由 PD平面 ABCD , PD平面
18、 PDB,得平面 PDB平面 ABCD 。如图 7-11,作 CHBD 于 H,则 CH平面 PDB。作 HFPB 于 F,连 CF,由三垂线定理得CF PB。则 CFH 为二面角 DPBC 的平面角。在等腰 RtPBC 中,求出斜边上的中线CF=1。在 RtDBC 中,求出DB=21=3,可进一步求出斜边上的高CH=32。在 RtFHC 中,求出HF=31, tanHFC=HFHC=2,即二面角 D PBC 的正切值是2。(3)如图 7-12,取 PB 中点 G,连 AG 和 EG。由三角形中位线定理得GEBC,GE=21BC。由已知, AD BC,AD=21BC 。 AD=GE ,AD G
19、E。则四边形 AGED 为平行四边形,AG DE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页学习必备欢迎下载由( 2)的解法(一) ,已证出 DE平面 PBC, AG平面 PBC。又 AG平面 PAB,平面 PAB平面 PBC。例 6 如图 7-13, PA平面 ABCD ,四边形ABCD 是矩形, PA=AD=a ,M,N 分别是 AB,PC 的中点,(1)求平面PCD 与平面 ABCD 所成二面角的大小;(2)求证: MN 平面 PCD;(3)当 AB 的长度变化时,求异面直线PC 与 AD 所成角的可能范围。解(1)
20、PA平面 ABCD ,CDAD , PD CD。故 PDA 是平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角。在 RtPAD 中, PA AD ,PA=AD , PDA=45 。(2)如图 7-14,取 PD 中点 E,连结 AE,EN,又 M, N 分别是 AB,PC 的中点,EN21CD21AB AMNE 是平行四边形MN AE。在等腰 RtPAD 中, AE 是斜边的中线。AEPD。又 CDAD ,CDPD CD平面 PAD,CD AE,又 PDCD=D , AE平面 PCD。MN 平面 PCD。(3) ADBC,所以 PCB 为异面直线PC,AD 所成的角。由三垂线定理知PB BC
21、,设 AB=x(x0) 。tanPCB=axa22=2)(1ax。又ax( 0,), tanPCB( 1,+) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页学习必备欢迎下载又 PCB 为锐角, PCB(4,2) ,即异面直线PC,AD 所成的角的范围为(4,2) 。例 7 如图 7-15,在正三棱柱ABC A1B1C1中,各棱长都等于a,D、E 分别是 AC1、BB1的中点,(1)求证: DE 是异面直线AC1与 BB1的公垂线段,并求其长度;(2)求二面角EAC1C 的大小;(3)求点 C1到平面 AEC 的距离。解(
22、1)过 D 在面 AC1内作 FGA1C1分别交 AA1、CC1于 F、G,则面 EFG面 ABC 面 A1B1C1, EFG 为正三角形, D 为 FG 的中点, EDFG。连 AE,EC1D、E 分别为11BB、AC的中点,1ECAE1ACDE。又面EFGBB1,EDBB1,故 DE 为 AC1和 BB1的公垂线,计算得DE=23a。(2) AC=CC1,D 为 AC1的中点, CDAC1,又由( 1)可知, EDAC1, CDE 为二面角EAC1 C 的平面角, 计算得 CDE=90。或由(1)可得 DE平面 AC1,平面 AEC1平面 AC1,二面角EAC1 C 为 90。(3)用体积
23、法得点C1到平面 ACE 的距离为23a。例 8 如图 7-16,已知斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60的角,且侧面ABB1A1底面 ABC ,(1)求证: B1CC1A;(2)求二面角C1ABC 的大小;(3)求三棱锥B1ABC1的体积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页学习必备欢迎下载解(1)作 B1DAB 于 D,侧面 ABB1A1底面 ABC ,又 B1D面 ABB1A1,B1D底面 ABC 。 B1BA=60 。故 ABB1是正角形。D 是 AB 的中点。连 CD,又
24、ABC 是正三角形,CD AB。又 CD 是 B1C 在平面 ABC 上的射影,B1CAB。又 BB1C1C 是菱形, B1CBC1。又 AB BC1=B, B1C面 ABC1。又 AC1面 ABC1, B1C C1A。(2) 2ACC1A1是菱形,C1AA1C。又 B1CA1C=C,且由( 1)知CBAC11, C1A面 A1B1C。C1AA1B1。又 AB A1B1。C1AAB 。连 DE,则 DEC1A, DEAB。又 CDAB, CDE 是二面角 C1 ABC 的平面角。在 CDB1中, CD=B1D=3, CDB1是直角,且 DE 平分 CDB1, CDE=45。(3)由( 1)已证
25、 B1C面 ABC1,B1E 是三棱锥B1ABC1的高,且B1E=21CB=26,又 DE=B1E=26,SABC1=21AB AC1=AB DE=226=6,V11ABCB 锥=31SABC1B1E=31626=1。例 9 如图 7-17,已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱, D 是 AC 的中点。(1)证明 AB1DBC1;(2)假设 AB1BC1,BC=2 。求线段 AB1在侧面 B1BCC1上的射影长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页学习必备欢迎下载解(1)如图 7-18, A1B1C1ABC 是正三
26、棱柱,四边形 B1BCC1是矩形。连结 B1C,交 BC1于 E,则 BE=EC。连结 DE。在 AB1C 中, AD=DC ,DEAB1,又 AB1平面 DBC1,DE平面 DBC1, AB1平面 DBC1。(2)作 AFBC,垂足为 F。因为面 ABC 面 B1BCC1,AF平面 B1BCC1。连结 B1F,则 B1F 是 AB1在平面 B1BCC1内的射影。 BC1AB1,BC1B1F。四边形 B1BCC1是矩形, B1BF=BCC1=90,又 FB1B= C1BC, B1BF BCC1,则BCBB1=1CCBF=BBBF1。又F 为正三角形ABC的BC边中点,因而B1B2=BF BC=
27、1 2=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3, B1F=3,即线段AB1在平面 B1BCC1内的射影长为3。例 10 如图 7-19(a) ,已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,且C1CB= BCD=60 。(1)证明: C1CBD ;(2)假定 CD=2 ,C1C=23,记面 C1BD 为,面 CBD 为 ,求二面角 BD的平面角的余弦值;(3)当1CCCD的值为多少时,能使A1C平面 C1BD ?请给出证明。 (2000 年全国高考题) 。解如图 7-19(b),(1) 连结 A1C1、AC,设 AC 和 BD 交于 O,连C1O。四边形 ABCD 是菱形,
28、 AC BD,BC=CD 。又 BCC1=DCC1, C1C=C1C, C1BC C1DC,C1B=C1D, DO=OB , C1OBD ,又 AC BD,ACC1O=O, BD 平面 AC1,又 C1C平面 AC1,C1CBD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页学习必备欢迎下载(2) 由 (1) 知 ACBD , C1OBD, C1OC 是二面角 BD 的平面角。在 C1BC 中, BC=2 , C1C=23, BCC1=60, C1B2=22+(23)2 2223 cos60=413。 OCB=30 , OB
29、=21BC=1 , C1O2=C1B2-OB2=413-1=49, C1O=23,即C1O=C1C。作C1HOC,垂足为 H,则点 H 是 OC 的中点,且OH=23,所以 cosC1OC=OCOH1=33。(3)当1CCCD=1 时,能使 A1C平面 C1BD。证明一:1CCCD=1, BC=CD=C1C,又 BCD= C1CB=C1CD,由此可推得BD=C1B=C1D。三棱锥 CC1BD 是正三棱锥。设 A1C 与 C1O 相交于 G。 A1C1AC , 且 A1C1OC=21, C1GGO=21。又 C1O 是正三角形C1BD 的 BD 边上的高和中线,点G 是正三角形C1BD 的中心, CG平面 C1BD,即A1C平面 C1BD 。证明二:由( 1)知, BD 平面 AC1,又 A1C平面 A1C1, BDA1C。当1CCCD=1 时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同BD A1C 的证法可得BC1A1C。又 BDBC1=B, A1C平面 C1BD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页