2022年数学建模理论终稿

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1、第一章概述科学实验是人类认识社会和改造自然的基本活动和有效手段。科学实验的两条重要途径：1.在实际系统上进行实验实物实验（物理实验）2.利用模型完成实验研究模拟（仿真）模型实验研究系统建模与仿真模型充当着实际系统的替身，自然应该反映被研究系统的表征和内在特性。模型研究是一种最古老的工程方法和技术，其历史可追溯至我们祖先的仿鸟飞行、古代建筑及造船业中对比例模型（样板）的应用、三国时期的木牛流马（有两种说法：用轮和用腿。真实的模型还有待于考证，其中的原因，有句话说得比较好：在于搞历史的不通机械，而搞机械的又没有考证这些的习惯） 。随着科学技术和计算机的发展，这种模型实验研究才逐渐形成一门崭新的综合

2、性边缘科学技术，即系统建模与仿真技术。它以相似原理、模型理论、系统技术、信息技术以及仿真应用领域的有关专业技术为基础，以计算机系统、与应用有关的物理效应设备及仿真器为工具，利用模型对系统（设想或实际）进行研究的一门多学科的综合性技术。建模与仿真技术的核心内容是模型的建立、验证、试验和运行。系统建模与仿真技术是一门通用的支撑技术，具有学科面广、综合性强、应用领域宽、无破坏性、可多次重复、安全、经济、可控、不受气候条件和场地空间的限制等独特优点，同时也是一门不断发展的高新技术，已成为现代实验工程和科学研究的主要技术手段，被广泛应用于国防和国民经济的各个领域。它被称为继科学理论和实验研究之后的第三种

3、认识世界和改造世界的工具，能以其他方法无法替代的独特功能为决策者、设计师和工程技术人员在面对一些重大、复杂的棘手问题时，提供一个灵活的、适用的环境，以检验关键性见解、创造的新观点和所作决断的正确性和有效性，高效地帮助人们理解实际系统的本质，便于进行科学决策与推断。它对于科学技术的发展越来越发挥着巨大的推动作用，被认为是各个学科的“ 交汇点 ” 。1.1 系统1.1.1 系统的一般概念系统概念 ：具有特定的功能，按照某些规律结合起来，相互作用、 相互依存的所有物体的集合或总和（事物总体）。一个系统以特有的表征和内在特性区别于其他系统,主要由构成系统的四方面确定：实体 ：存在于系统中每一项确定的物

4、体，是系统的具体对象；确定了系统的构成、边界；属性 ：实体所具有的每一项有效的特征，是描述实体特性的信息（常以状态和参数表征）；也称为描述变量，描述每个实体的特征；活动 ：在系统内部发生的任何变化过程，是指随时间推移发生的状态变化；定义了系统内部实体之间的相互作用；环境 ：表示系统所处的界面状况（包括干扰、约束等），包括那些影响系统而不受系统直接控制的全部因素。系统是不断运动发展和变化的。由于组成系统的实体之间的相互作用而引起的属性变化，使得在不同时刻，系统中实体与属性都可能会发生变化，这种变化通常用状态的概念来描述。系统状态 ：任意时刻由存在于系统内部的实体、属性、活动的信息总和称为系统状态

5、，常用系统状态的变化研究系统的动态情况。用于表示系统状态的变量称为状态变量。下面是两个实际系统的例子：比较器调节器电炉温度计温度偏差控制电压扰动温度实际温度温度给定值电炉温度调节系统?实体：比较器、调节器、电炉、温度计?属性：温度、温度偏差、控制电压?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - 从商品销售系统图上可以看出：该系统的实体、属性、活动等。对一个系统进行分析时，必须考虑系统所处的环境，而首要的便是划分系统与其所处

6、的环境之间的界线，即系统的边界。系统的边界中包含系统的所有实体。在商品销售系统中，如果仅考虑商品库存量的变化情况，那么系统只需包含采购部门、仓库和销售部门即可。但如果要研究商品进货与销售的关系时，系统中还应包括市场调查部门，因为商品销售状况及对进货的影响这部分职能是由该部门完成的。这样，根据研究的对象与目的不同，系统可大可小，而且系统本身也可由一系列相互作用的子系统构成，子系统又可以有更低一级的子系统构成，并且系统和它的部分环境又构成一个更大的系统，这就是系统等级结构。研究系统，首先需要明确研究目的进而描述清楚所研究系统的三要素（实体、属性和活动）及环境。只有在对系统的三要素和环境作了描述之后

7、，系统才是确定的。1.1.2 系统的分类可以从不同角度对系统进行分类：按照系统特性：工程系统（物理） ：机械、电气、化工、武器(为满足某种需要或实现某预定功能采用某种构造形成) 非工程系统（非物理）：社会、管理、经济、交通、生物等(由自然和社会在发展过程中形成的，被人们在长期的生产劳动和社会实践中逐步认识) 按照对系统内部特性的了解程度：白色系统：（内部特性全部已知） ；黑色系统：（内部特性全部未知） ；灰色系统：（内部特性部分已知，部分未知）按照系统的物理结构和数学性质：a)线性系统与 非线性系统；b)定常系统与 时变系统； c)集中参数系统与 分布参数系统；d)单输入单输出系统与 多输入多

8、输出系统按系统内子系统的关联关系分类：简单系统：数 /模转换、稳压、简单控制系统等复杂系统：军事作战系统、国民经济系统、大型仿真系统等按子系统的数量：小系统；大系统；巨系统：又分为简单巨系统与复杂巨系统按照控制理论：开环系统：售票机、洗衣机；闭环系统：舵系统、天线随动系统、宏观经济系统按照自然属性：人造系统：工程系统、社会系统等；自然系统：太阳系、海洋系统、生态系统等按照物质属性：实物系统：建筑物、计算机、机床、兵器等；概念系统：思想体系、管理、规章制度等（实物系统可以是人造或自然系统。而概念系统必定是人造系统。）按照运动属性：静态系统：静态平衡力系统等；动态系统：人体系统、控制系统、经济系统

9、、动力学系统等按系统环境因素：任何一个系统都经常受到系统之外因素变化的影响，这种对系统的活动结果产生影响的外界因素成为系统的环境。考虑到系统环境因素，系统活动可分为：内生活动系统内部发生的活动；外生活动系统外部发生的活动，即在经理部市场部采购部仓储部销售部商品销售系统名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - 系统环境中发生，且对系统有影响的活动。因此系统可以分为按照系统中起主要作用的状态随时间的变化：连续系统：状态随时间

10、连续变化离散事件系统：状态的变化在离散的时间点上发生，且往往又是随机的混合系统从模型研究角度来讲，把系统分为连续系统、离散事件系统、混合系统是非常合理的，因为连续系统和离散事件系统在模型形式、建模方法和仿真技术上是截然不同的。1.1.3 连续、离散事件和混合系统连续系统： 系统状态随时间连续变化的系统，系统“ 事件 ” 所引起的效应大小和“ 事件时刻 ” 之间的区别，在数学上都是无穷小量。连续系统中发生的变化主要是平滑的变化，如：导弹飞行过程中的舵面变化、飞行位置的的变化，RLC 电路。离散事件系统：系统状态（或参数）只在一些特定时刻被观测并产生相应离散数据，即系统操作和状态只在离散时刻发生，

11、且这些时刻常常是随机的（不确定的）。离散事件系统中发生的变化主要是断续的变化，如：工厂系统中的产品数量、服务系统中的队列长度，电话系统、交通红绿灯等。混合系统： 一部分具有连续系统特性，另一部分具有离散事件系统特性，即连续-离散混合系统。实际系统往往是混合系统，例如：导弹的一、二级分离（质量变化），工厂中的机器运行等。1.1.4 系统研究的类型系统研究 可分三类：系统分析： 目的是为了了解现有系统或拟建系统的性能和潜力。分析的方法是可以用系统做试验，但实际上往往先建立一个系统模型，将研究该模型所得的结果，用来分析实际系统的性能。系统设计： 是为了得到具有所需要的某些性能的系统，利用建立模型中得

12、到的知识，对系统进行设计，是系统达到需要的性能。系统假设： 是用于建立社会、经济、政治、医学系统研究模型的特有方法。这些系统的某些特征是知道的，但是产生这些特征的规律是完全不知道的。根据有关规律并和已知的系统性能合理的、良好的相匹配的假设模型，可以更好地帮助了解和研究系统。系统工程 则是把系统分析和系统设计有机地结合起来，先了解现有系统的实际情况，后改进或自行设计新的系统。1.2 模型1.2.1 系统模型科学实验是人们改造自然和认识社会的主要基本活动。在实际系统上进行实验叫做实物试验或曰物理试验。除此之外，人们还常常希望在实际系统产生之前描述大型复杂系统，预测它们的功能和性能，或者由于某种原因

13、（如有毒、有害、有危险、太昂贵）不易在现实系统上完成实验时，借助“ 模型 ” 代替系统本身，在模型上进行实验。于是产生了模型及模型研究的概念。模型是相对于现实世界或实际系统而言的。模型： 一个系统（实体、现象、过程）的物理的、数学的或其他逻辑的表现形式，以某种确定的形式（如文字、符号、图表、实物、数学公式等）提供关于系统的知识。系统模型 ：是对实际系统的一种抽象，是系统本质的表述，是人们对客观世界反复认识、分析，经过多级转换、整合封闭系统 ：没有外生活动的系统；开放系统： 包含外生活动的系统实际系统模型结论实际结论模型实物实验模型实验多次修改模型建模名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

14、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - 等相似过程而形成的最终结果，它具有与系统相似的数学描述或物理属性，以各种可用的形式，给出研究系统的信息。系统模型可以各种可用的形式（数学的或实体的（物理的）给出被研究系统的信息，它具有与系统相似的数学描述或物理属性，通常用系统模型来指导对系统的研究。系统模型不应该比研究目的所要求的更复杂，模型的详细程度和精度必须与研究目的相匹配。用来表示一个系统的模型并不是唯一的，对于同一个系统当研究目的不同，所要求收集的与系统有关的信息

15、也是不同的；关心的方面不同，对同一个系统就可能建立不同的模型。对于多数研究目的，建立系统模型并不需要考虑系统全部细节，一个好的模型不仅是用来代替系统，而且是这个系统的合理简化，与此相联系的是要正确地确定模型的详细参数和精度。模型应能反映被替代系统的表征和特性，具有如下主要性质 ：1)等效性（普遍性） ：指同一个模型可以从各个角度反映不同的系统。（或者说一种模型与多个系统可能具有相似性。）2)相对精确性：近似度和精确性不可超出应有限度和许可条件。过于粗糙的模型将失去过多系统特性而无用，太精确的模型往往会非常复杂，甚至给模型研究带来困难。满意的模型应具有考虑诸种条件折衷下的适合精确性。3)可信性：

16、模型必须经过检验和确认，成为代表实际系统的有效模型，即具有良好的置信度。4)异构性：同一系统的模型可以具有不同的结构和形式，研究中将选择最方便、合理的。5)通过性：可以视为“黑箱”，通过向其输入信息并获取信息建立起模型的输入-输出概念。为什么要使用系统模型：为了研究、分析、设计和实现一个系统，需要进行试验，可以分为两大类：在真实系统上进行；构造模型并用模型试验来代替在系统上的实验。后者必不可少，原因有四：1)系统还处于设计阶段，真实系统尚未建立需要了解未来系统的性能，只能通过对模型的试验来了解；2)在真实系统上进行试验可能会引起破坏或发生故障，如运行状态的化工、电力、火箭系统；3)系统无法恢复

17、，如经济系统，新政策出台，经过一段时间才能看出效果，若造成损失已经无法挽回了；4)试验条件无法保证，如多次试验，难以保证每次试验条件相同，或试验时间太长、或费用昂贵。1.2.2 系统模型的分类对于系统模型，有许多分类方法：（1）按模型形式分：实体模型（物理效应）物理仿真静态模型 系统处于平衡状态时属性的取值动态模型 用来描述系统状态变化的过渡过程，表示系统活动随时间变化的结果数学模型 数学仿真（计算机仿真）静态模型动态模型概念模型 对真实世界及其活动进行概念抽象与描述，是运用语言、符号和图框形式，对从所研究的问题抽象出的概念进行有机的组合。实体模型根据一定的规则(如相似原理 )对系统简化或比例

18、缩放而得到的复制品，其外观与实际系统极为相似，描述的逼真感较强，例如用于风洞试验的飞行器外形，航模等。常用于水利工程、土木工程、船舶工程、飞机制造等方面。概念模型只用于抽象和常规设计，只是系统信息定义的规范描述，而不用于具体和专门的执行设计。比如军事行动概念模型，就是对某军事行动进行功能特征、行为特征等方面分析，不涉及到该军事行动的具体执行方案。（2）按基本的数学描述分：静态系统模型代数方程，如：系统稳态解动态系统模型连续集中参数：微分方程、传递函数、状态方程分布参数：偏微分方程离散时间离散：差分方程、Z 变换、离散状态方程离散事件：概率分布、排队论（3）按对模型求解的方法分：用解析法求解的数

19、学模型用数值法求解的数学模型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - 1.3 数学模型及其建立过程1.3.1 数学模型的概念定义 ：描述实际系统内、外部各变量间相互关系的数学表达式。主要包括数值表达式和逻辑表达式。数学模型更通俗的定义：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，通过对其研究可揭示系统的内在运动和系统的动态特性。1)

20、常量、变量、函数、方程、不等式、并、交、如果、那么 、图形、表格、曲线、序列、程序等都是数学模型的重要形式。2)合理的数学模型应是能够正确反映系统表征和特性的最简数学表达式。即被简化的近似数学模型。一般描述 ：1)系统S ：输入u，输出yS(u) 2)S 的数学模型为SM：输入uM，输出yM(uM) 3)(u)：模型描述误差理想化：)()(uyuyMs即理想情况下，对系统s和系统模型sm 输入同样的函数u，将获得相同的输出，但实际上任何理想化的数学模型都不可能无误差地描述实际系统。因此该式为一个近似式，于是有实际：)()()(uuyuyMs1.3.2 数学模型的分类数学模型的类型一方面与所研究

21、的系统特性有关，一方面与研究系统的方法有关。1)线性与非线性、静态与动态、确定性与随机性、微观与宏观、时不变与时变、集中参数与分布参数2)连续与离散、时域与频域、输入输出与状态空间数学模型表现形式 (方程特征 ) 数学模型表现形式 (方程特征 ) 线性线性方程非线性非线性方程静态联立方程、含空间变量的偏微分方程动态含时间变量的微分方程、差分方程、状态方程确定性不含随机量的各类方程式随机性含随机量的各类方程式微观微分方程、差分方程、状态方程宏观联立方程、积分方程集中参数常微分方程分布参数偏微分方程时不变不含对时间的系数项的各类方程式时变含时间系数的各类方程式连续微分方程离散差分方程参数数学表达式

22、 (各类方程 ) 非参数图、表时域状态方程、微分方程、差分方程频域频率特性输入输出传递函数、微分方程状态空间状态方程1.3.3 数学建模及其过程数学建模：确定系统的模型形式、结构和参数，以得到正确描述系统表征和性状的最简数学表达式。建模过程的信息源：1)目标和目的：数学模型事实上是对一个真实过程给出一个非常有限的映像，同一个实际系统可以有多个研究目的，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - 不同的研究目的将规定建模过程

23、不同的方向。2)先验知识：前人已经研究成果、类似的实际系统的试验可获得的合理的概念3)试验数据：关于系统的信息能通过对系统的试验与量测而获得。在三个信息源的支持下，建立的模型必须经过实际应用(模型应用 )的检验，最终要看目的是否达到，如果没有达到，那还必须再进行一次建模。一般建立数学模型的方法有三类：1)分析法 /演绎法 /理论建模 /机理建模；2)测试法 /归纳法 /实验建模 /系统辨识 ；3)综合法分析法是根据系统的工作原理，运用一些已知的定理、定律和原理推导出描述系统的数学模型。也可称之为白箱问题 。系统的动态特性必然表现在变化的输入输出数据中。通过测试系统在认为输入作用下的输出相应，或

24、正常进行时系统的输入输出记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出系统的数学模型。也称之为黑箱问题 。上述两种方法也存在一些问题：分析法是各门学科大量采用的，但只用于比较简单的系统(如一些电路、测试系统、过程监测、飞行控制等)；而在建立数学模型的过程中必须作一些假设与简化，否则模型过于复杂无法求解。测试法无需深入了解系统机理，但必须设计一个合理的实验，以获得系统的最大信息量。这点往往很困难。因而实际应用时，是上述两种方法的综合，也就是综合法。运用分析法列出系统的理论数学模型，运用系统辨识法来确定模型中参数。综合法也可称之为灰箱问题 。 这刚好与系统的一种分类方式对应。数学建模的基本原则1)必须

25、满足对数学模型的简明性、精确性、层次性、多用性、集合性、可靠性、标准化和可辨识性等一般要求。简明性 包括简单性和清晰性。简单性：从实用的观点看，由于在建模过程中忽略了一些次要因素和某些非可测变量的影响，因此，实际的模型是一个简化了的模型。一般而言，在实用的前提下，越简单越好。清晰性 ：一个复杂的系统是由多个子系统组成，因此对应的系统也是由许多子模型构成。在子模型间除为了研究目的所必须的信息联系外，互相耦合要尽可能少，结构要尽可能清晰。精确性 ：建立系统模型时，应该考虑所收集的、用以建立模型的信息的准确性，包括确认所对应的原理和理论的正确性和应用范围，以及检验建模过程中针对系统所做的假设的正确性

26、。在建立实际系统的模型时，精确性和复杂性是一对矛盾，找出这两者的折中解决方法往往是实际系统建模的关键。层次性 ：模型应当具有合理的层次。此外，模型中应该只包括与研究目的有关的那些信息。多用性和标准化可以放在一起理解：比如对防空导弹系统的研究，就需要考虑陆基的和海基两种环境下的情况，即多用性，除了研究单枚导弹的发射细节和飞行规律之外，还要综合计算多枚导弹发射时的作战效能，即集合性，同时也需要与其他系统进行联合，组成更大系统时，计算战场态势，这就需要对各系统进行标准化处理，即制定一个统一的规范标准，各子系统都适用，比如统一各子系统的输入输出格式，计算时的统一单位制都输入标准化内容。可靠性 ：简单理

27、解就是可靠性越高，实验中模型可以无故障工作的时间越长。可辨识性 ：模型结构必须具有可辨识的形式，即系统的模型必须有确定的描述或表示方式，而在这种描述方式下与系统性质有关的参数必须是唯一确定的解。若一个模型结构中具有无法估计的参数，该模型就无实用价值。2)必须考虑模型功能是否满足所研究问题的需要；满足需要条件下模型形式是否合理经济；模型是否易实现；模型运转是否稳定；是否可以达到预期的精度要求3)必须选择合理建模方法4)建立过程：观察和分析实际系统提出问题做出假设系统描述构筑形式化模型模型求解模型有效性分析(模型校核、验证与确认 ) 修改模型 (多次 ) 最终确认有效后验模型模型使用(必要时进一步

28、修改) 1.4 系统仿真系统仿真技术是建立在系统科学、系统辨识、控制理论、计算方法和计算机技术等学科上的一门综合性很强的技术科学。它以计算机和专用实验设备为工具，以物理系统的数学模型为基础，通过进行数值计算方法，对已经存在的或商不存在的系统进行分析、研究和设计。系统仿真经历了三次大的变革，即模拟仿真、混合仿真与全数字仿真，得到了高度发展和广泛应用。目前计算机仿真技术不但是科学研究的有力工具，也是分析、综合各类工程系统或非工程系统的一种研究方法和有力的手段。计算机仿真就是建立系统数学模型，并利用该模型在计算机上运行，进行系统科学实验研究的全过程。数学模型和仿真计算机是计算机仿真系统的核心。名师资

29、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - 第 2 章 连续系统的建模技术连续系统在概论中已经作了定义，它广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。描述连续系统的数学模型虽然很多，但大体上可以归为三类：即连续时间模型、离散时间模型、连续-离散混合模型。为方便起见，下面分线性连续系统和非线性连续系统进行讨论。2.1 连续系统的数学模型形式2.1.1 线性连续系统1)连续时间模型假定一个系统的输入量u(t)、输出量y(t) 及

30、内部状态变量x(t) 都是时间 t 的连续函数，常有如下四种模型形式：微分方程)()()()()()(221110111tucdttudcdttudctyadttydadttydnnnnnnnnnn传递函数nnnnnnasascscscsUsYsG1112110)()()(权函数零初始条件下，系统对理论脉冲函数(t)输入的响应g(t)称为权函数，也成为脉冲过渡函数。且有0,00,)(ttt，10)(dtt。且对任意函数u(t) 作用的系统响应 y(t) ，可用卷积描述，dttguty)(0)()(。可以证明，)()(1sGLtg。状态空间表达式由状态方程和输出方程构成，其矩阵形式为CxyBuA

31、xxA 为状态系数矩阵，B 为输入系数矩阵，C 为输出系数矩阵，x 为状态矩阵前三种模型仅描述系统的输入量与输出量之间的关系，并未涉及内部情况，故称为系统的外部模型。状态空间表达式是系统的内部模型。2)离散时间模型假定一个系统的输入量、输出量及内部状态变量都是时间的离散续函数，分别为时间序列u(k) , y(k) , x(k) ，亦有如下四种模型形式：差分方程)()1()()1()(11kubknubkyaknyaknyannnZ 传递函数 (脉冲传递函数 ) nnnnnzazaaczbzbzUzYzH110111)()()(权序列kiikhiukY0)()()(，可以证明：)()(zHkhZ

32、离散状态空间表达式)()()1(kGukFXkxnjnjjnjjjkxkxbnkxqbky111)()()()(3)连续-离散混合模型假定有一个系统，它的环节中有的状态变量是连续量，而有的环节状态变量是离散变量，即系统由离散和连续两部分组成，那么该系统自然要使用连续及离散时间两类模型来描述。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - 2.1.2 非线性连续系统所有系统都具有一定程度的非线性。非线性可以分为固有(自然 )非线

33、性和外加(人工 )非线性。若一个系统的工作范围较小，且包含的非线性较光滑，那么该系统可由某个线性化系统来适当逼近，它的数学模型形式可用前述任何一种线性系统模型形式描述。具有严重非线性不可线性化的系统称为本质非线性系统，必须引进系统非线性特性的数学描述，即建立系统的非线性模型。非线性的基本数学模型时非线性方程，可以是代数方程、微分方程和差分方程等。下表给出了这些模型形式与非线性系统类型的一般关系。非线性方程形式非线性系统类型代数方程具有静态非线性特性的系统常微分方程集中参数的非线性系统偏微分方程分布参数的非线性系统差分方程非线性离散时间系统此外，根据数学特性还可以把非线性分为连续非线性和断续非线

34、性 (强非线性 )。这里 “ 强” 非线性主要有：饱和特性、间隙特性、不灵敏区特性、继电特性、干摩擦或黏摩擦特性、变增益特性、多变量非线性等。这些特性的具体的描述函数，有兴趣的同学可以课外自己查阅资料。2.2 连续系统的建模方法2.2.1 微分方程的机理建模方法微分方程是系统最基本的数学模型。在自然界里，许多系统，不管是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的等都可以通过微分方程来描述。由微分方程可以导出系统的传递函数、差分方程和状态方程等多种数学模型。因此怎样建立系统的微分方程是建模技术中的重要内容。系统的微分方程可以通过反映具体系统内在运动规律的物理学定理来获得。如机械系统的牛顿定理、能

35、量守恒定律，电学系统中的欧姆定理、基尔霍夫定律，以及其他一些物理学基本定律等。这些物理学定律是建立系统微分方程的基础。微分方程建模法有机理建模法、拉普拉斯逆变换法、变分法和非线性方程的线性化等方法。机理建模法 也称为直接分析法或解析法，是应用最广泛的一种建模方法。一般是在若干简化假设条件下，以各学科专业知识为基础，通过分析系统变量之间的关系和规律，而获得解析型数学模型。其实质是应用自然科学和社会科学中被证明是正确的理论、原理和定律或推论，对被研究系统的有关要素（变量）进行理论分析、演绎归纳，从而构造出该系统的数学模型。机理分析法建模步骤如下：1) 分析系统功能、原理，对系统做出与建模目标相关的

36、描述；2) 找出系统的输入变量和输出变量；3) 按照系统（部件、元件）遵循的物化（或生态、经济）规律列写出各部分的微分方程或传递函数等；4) 消除中间变量，得到初步数学模型；5) 进行模型标准化；6) 进行验模（必要时需要修改模型）。元件和环节 ：在了解利用机理建模法建立系统微分方程的步骤之前，先来学习一下元件和环节。一个系统是由许多具有不同功用的元件所构成的。同时，这些元件的动态性能又各不相同。在对元件和系统进行研究时，由于研究的内容不同，出发点也不一样。例如，对控制系统的原件大都以下列两种观点加以讨论：第一种是根据元件的功用来研究元件。在这种情况下，可以分成测量、放大、执行等作用及其他作用

37、的元件。当研究系统的结构组成时，采用这种方法比较方便。利用这种划分方法，根据系统原理图可以很容易画出系统方块图。第二种观点是按照运动方程式将元件或系统划分成若干环节。在建立数学模型，研究系统的动态特性时，用这种方法可以使问题得以简化。所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一部分。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或几个元件。环节方程中的系数只取决于本环节中元件的参数，与其他环节无关。划分环节时应注意相邻两个元件间的相互影响。元件前后连接时，前一元件的输出信号就变成后一元件的输入信号，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

38、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - 后一元件就变成前一元件的负载了。元件承受负载后，其运动方程可能改变，即称后一元件对前一元件产生了负载效应。这样，前一元件就不能单独作为一个环节，必须与后一元件同时考虑。在环节划分时必须注意到这一点。利用机理建模法建立系统微分方程的一般步骤如下：1)将系统划分为若干环节，确定每一环节的输入及输出信号，此时应注意前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。2)根据物理学基本定律，写出每一环节输出量与输入量间的数学关系式，即环节的原始方程。3)对每一环节的原始方程进行一定的简化(如非

39、线性因素的线性化处理)及数学处理。4)消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的方程，这就是系统的微分方程。下面按上述步骤建立几个简单系统的常微分方程：1.机械平移系统设有一个弹簧质量阻尼器系统，阻尼器是一种产生粘性摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞，因为这时油液必须从活塞的一端经过活塞周围的间隙(或通过活塞上的专用小孔) 而流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸收系统的能量，被阻尼器吸收的能量转变为热量而散失掉，而阻尼器本身不储藏任何动能和热能。可以这样理解，有一个杯子，杯子面积比手掌略大，里面装上大半杯水，然后把手掌平着往杯子

40、里的水按下去，就会有水没过手背，同时手掌会感觉到有阻力。这就和阻尼器很类似。此外，洗脸时倒上半盆水，然后把手掌平着往下按，同样感觉也有阻力。机械平移系统如图所示：图中 k 为现性弹簧， B 为阻尼器， m 为物体。记外力u 为系统的输入量，输出量为质量m 的物体的位移x。目的是求系统输出量x 与输入量u 之间所满足的关系式，即系统的微分方程。取质量m，根据牛顿第二定律有2122uuudtxdm。式中， u1 为阻尼器的阻力，u2为弹力， u1 和 u2 为中间变量，必须找出它们与系统有关参数之间的关系，这样才能消去它们。设阻尼器的阻尼系数为B，弹簧弹性系数为k，则有如下两式：dtdxBu1和k

41、xu2在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼力的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，系数即运动阻尼。kxu2则是我们非常熟悉的弹簧弹力公式。将 u1 和 u2 代入前页的方程式式 1，整理后即可得出系统的微分方程：ukxdtdxBdtxdm22。这是一个现性常系数二阶微分方程。2.机械转动系统设有一机械转动系统，它由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成，如右图所示：T 作用到系统上的转矩(N m)；J 负载的转动惯量角速度 (rad/s)；?粘性摩擦系数将机械转动系统的牛顿第二定律TdtdwJ。应用到本系统。设输入量为转矩T，输出量为角速度，则有：1TTdtdwJ，式中fT1为

42、阻尼器产生的阻尼转矩，代入上式，即消去中间变量T1 得到本系统的微分方程：TfwdtdwJ。若设系统的转角为，则上式可表示为TdtdfdtdJ22。可见，以转角 为输出量时该系统亦为线性常系数二阶系统。3.电气系统图为由电阻R、电感 L 和电容 C 组成的 R-L-C 电路。试建立以电压ur(t)为输入量，电量q 为输出量的系统微分方程：根据基尔霍夫定律写出电路方程如下：)(1tuRiidtCdtdiLr和dtdqi。消去中间量i 便得到系统的微分方程式：ruqCdtdqRdtqdL122。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

43、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - 2.2.2 根据相似原理的连续物理系统规范化建模ukxdtdxBdtxdm22TdtdfdtdJ22ruqCdtdqRdtqdL122观察上一节的三个例子推出的各种系统的运动方程(数学模型 )，尽管它们的物理模型不同，但却可能具有相同的数学模型，这种具有相同的微分形式的系统称之为相似系统。在微分方程中占据相同位置的物理量称之为相似量，比较上面三个方程可以看出它们具有相同的数学模型，是相似系统。尽管各种物理系统的结构不一样，输入量、输出量以及中间变量可以是各种不同的物理量，但它们的运

44、动方程却有下列几点共同之处：1）常参量线性元件和线性控制系统的运动方程都是常系数线性微分方程。2）运动方程的系数由元件或系统本身的参量组合而成，因而都是实数。3）运动方程式的形式取决于元件或系统的结构及在其中进行的物理过程，即取决于元件或系统本身的特殊矛盾。因此运动方程是揭示系统内部特殊矛盾的工具，它的解反映了元件或系统的运动规律。4）对于统一元件或系统，由于所取的输出量不同，其运动方程式的形式也就不同。5）所有一维常系数线性系统的运动微分方程式都可以表示成下列普遍形式xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn0111101111。式中，x 和

45、 y 分别为输入量与输出量，nm A 下面来看连续物理系统的规范化建模方法。物理系统大都是连续系统。各类物理信息系统在信息传递规律上是相似的。它们都遵守基本的守恒原理(质量守恒、能量守恒和动量守恒等)和连续性原理。这就给数学建模带来了极大方便，并提供了规范化建模方法。这种规范化的建模方法和步骤可归纳如下：1 确定系统基本物理变量设 x 代表该物理系统的基本物理变量，则任意时刻守恒原理可表达成下列模式统 的 速 率流出系统的速率流入系的净变化率在系统内xxx。式中，为 x 各分量之代数和。2 选择独立的特征变量特征变量指一类物理系统的独有变量，即上述基本物理变量在特定物理系统下的表征，如电流、电

46、压、质量、作用力、刚度等 (见下页表格 )。通常，基本物理量需要用一个或多个特征变量来表示。如能量可用电流和电压来表示。3 推导数学模型：推导是以1 和 2 为基础进行的。物理系统特征变量基本守恒变量功率对偶纵向的横向的电气的电流 i 电压 e 能量i? e 机械的 (直线 ) 作用力 f 速度 v 动量f?v 机械的 (旋转 ) 扭力矩 T 角速度 w 动量T?w 流体的流量 Q 压力 p 质量Q? p 热力的热流量 Q 温度 T 能量Q?T 化学的质量流 Q 浓度 C 质量Q?C 结构的形变负载 R 能量?R 模型类型相似参数模型机械平移质量M 阻尼N 刚度K 位移y 速度V 力 F FK

47、ydtdyNdtydM22机械转动惯性矩 J 阻尼刚度K 角位移角速度力矩 T TKdtddtdJ22R-L-C 电路电感L 电阻R 电容1/C 电量q 电流 I 电压 U UqCdtdqRdtqdL122名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - 例 1 设一简单电路系统如右图所示。试建立该物理系统的数学模型。解： 1)该电路系统的基本变量显然是能量E。2)选择特征变量有两个，即电流i 和电压 es。3)分析知，能量的

48、变化速率i es ，这是注入系统的功率，即iedtdEsi。 另外， 贮存在电容C 中的电场能量为221sCCeE。单位时间内电阻R 的消耗功率是ReRidtdEsRR22。于是根据电路中能量守恒规律有dtdEdtdEdtdERCs。，故可得，又dtdeCidtdqCeqsCsRedtdeCiss。这就是按照上述连续物理系统规范化建模方法得到的该电路系统的数学模型。我们不难看出它是节点A 的电流方程式。可见，这种规范化方法同前述机理分析法建模的结果是一致的。B 物理系统的数学模型通式连续物理系统所涉及的工程技术领域大部分是电子的、机械的、气动的、液体的、热力的和结构的等物理分支学科。由上述，这

49、些学科的系统模型一般可用一个积分微分方程式来描述：EwdtCBwdtdwAtt0。这就是连续物理系统的数学模型通用模式，简称“ 通式 ” 。对此通式须作如下说明1）通式中的系数A、B、C 为确定系统响应特性的常系数，它构成了系统的传输集。其中系数A 是容性的，如电容、质量惯性等，通过这类元件的流是超前于源的；系数B 为耗散的，如电阻和阻尼惯性等，通过这类元件的流与源是同相位的；系数C 为感性的，如电感和柔性惯性等，通过这些元件的流相位滞后于源。2）通式中的w 和 E 分别为系统的输入与输出集合，这两个重要参数确定了通过系统的功率流。3）上述 A、 B、C、 w 及 E 可以是单变量，也可以为一

50、个矩阵或列向量。4）借助此通式可方便地建立比较复杂物理系统的数学模型。5）典型工程技术学科中的微分方程式如下：电气的：ieL1ReeC0ttdtdtd流体的：Qpupp0ttdtdtd机械的：对于直线运动有，fvKDvvM0ttdtdtd对于旋转运动有TwkDwdtdwJ0ttdt热力的和结构的方程式就不在此介绍，想要了解的可以自己查阅资料。工程技术系统元件和源的一览表动能势能耗散势能动能力变量流变量电气的电容 C 电导 G=1/R 倒电感 1/L 电压 e 电流 (电荷通量 )i=dq/dt 机械的 (直线 ) 质量 M 阻尼 D 刚性 K 速度 v 力(线性冲量通量 )F=dq/dt 机械

51、的 (旋转 ) 转动惯量J 阻尼 D 刚性 K 角速度 w 转矩 (角动量通量 )T=dH/dt 流体的容性 传导性导容性 压力 p 液体流 Q=dv/dt 热力的热容 导热性 r 温度熵量 (熵通量 ) =ds/dt 结构的挠性1K阻尼1D迁移率1M负荷 R 应力流 (形变通量 )=d/dt 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - 2.2.3 状态空间模型的建模方法连续系统的常用数学模型有微分方程、传递函数和状态空

52、间模型。我们这里不详细学习传递函数的内容。1. 传递函数与状态空间模型的比较传递函数是描述线性连续系统输入输出特性的一种数学模型，是经典控制理论的数学基础。系统传递函数的建模方法大体可以分为两类：直接法： 对于简单系统， 可对其微分方程(包括状态方程 )进行拉普拉斯变化，然后求出Xc(s)/Xr(s) 来建立传递函数。间接法：对于复杂系统，先求出环节的传递函数，绘制出系统的方块图，然后利用方块图的各种连接及简化法则来计算总的传递函数；或绘制出系统的信号流图，然后求系统总的传递函数。传递函数使用条件：系统初始条件必须为零；一般只适用于线性定常系统，且基本上只限于单输入单输出系统；只能展现给定输入

53、时的输出，而不能提供该系统内部的有关状态信息。传递函数的缺点：有时系统的输出是稳定的，而系统内某些元件出现超过它们额定值的趋势。为了稳定与改善系统性能，要提供与系统内部的某些变量成比例的反馈信号，而不单靠输出。这一点基于传递函数模型的经典设计方法实现观测与控制是困难的，需要一种描述系统的更一般的数学模型，与输出一道给出沿信号流的一些确定的系统变量的状态信息。这就导致了状态空间模型的产生。状态空间模型的一些特点状态空间模型是一种直接的时域模型，对于线性与非线性、定常或非定常的多输入多输出系统的分析与设计是一种很有效的方法。此外，用数字计算机对微分方程进行求解时，都是先将高阶微分方程化为一阶微分方

54、程，然后求数值解。系统的状态方程正好是合乎这种数值解法的一种数学模型。2. 状态空间模型的建模方法：分为直接建模方法和间接建模方法。直接法：根据物理学定律直接建立状态空间模型间接法：由微分方程建立；由传递函数建立1）根据物理学定律直接建立状态空间模型：基于物理学定律的系统状态空间模型的建模步骤如下：a 确定状态变量， 并写出第一组状态变量方程式；写出状态方程时， 只需根据物理定义直接写出相应表达式，例如 Y=v( 机械平移系统 )、 w(机械转动系统 )等；b 写出用微分形式描述的系统物理方程c 将上述方程式处理成状态变量表示的状态方程式d 如有必要，再写出输出方程例 1 建立如右图所示的机械

55、系统的状态空间模型解： 1)选择 x1，v1，x2，v2 为状态变量 (这四个变量是相互独立的)。按定义写出四个状态方程中的头两个。11vx22vx2)对质量m1、m2 的物体进行分离分析(如下图所示 )，并应用牛顿第二定律得到两个微分方程式：0)()(121221111vvBxxkxkvm)()()(1212222tfvvBxxkvma由以上两式可以得到另外两个状态方程，故系统的状态方程为)()()(1)()(112221222222121121111tfxxkvvBmvvxxkxkkvvBmvvxa。若取 x1，v1，x2 为输出，则有输出方程231211xyvyxy。名师资料总结 - -

56、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - 系 统状态空间模 型 的矩阵形式为CXYBUAXX。式中) t (fUxvxYa2212211，vxvxX，222222112112110000010mBmkmBmkmBmkmBmkkA，21000mB，010000100001C。3)若选另一组状态变量为x1，v1， x， v，其中1212,vvvxxx， x 与 v 分别表示弹簧的伸缩量以及与阻尼相关的速度差，则系统的状态方程为)(112212

57、1221211112111111tfmvBmmmmxkmmmmxmkvvxvBxkxkmvvxa。上述两种状态方程中均已设弹簧与阻尼器是线性元件。若弹簧k1 与阻尼器B 是非线性元件，则弹簧k1 的恢复力是弹簧位移的函数，设为fk1(x1) ；阻尼器的阻尼是相对速度v 的函数，记为fb( v)。上述第二种状态方程可以表示为)(1)()(1)()(122121221211112111111tfmvfmmmmxkmmmmxfmvvxvfxkxfmvvxaBkBk由本例可知，状态方程不存在唯一性；建立非线性系统的状态方程也并非十分困难。当然解非线性状态方程比解线性状态方程要困难的多，可近似解决。例

58、2 建立 RL C 电气网络系统的状态空间模型解：设电容C 两端的电压为U。该系统中有三个储能元件：电容C与电感 L1 和 L2.系统的初始状态完全有i0 时刻电容两端电压和通过电感的电流来确定。如果已知初始条件u(0)、 i1(0)、i2(0)和 t0 时的输入信号e(t)，则完全可以确定在tt0 时刻的系统行为。 但是只要有一个初始条件是未知的，就不能确定该系统对给定输入的响应了。因此，初始条件u(0)、 i1(0)、i2(0)和 t0 时的输入信号一起构成所需要的最少信息。由此可以得出结论，状态变量应从这四个变量中选取，其中仅有三个是独立的，故只有三个状态变量，令选取x1v，x2i1，x

59、3i2，由电路定理不难建立RL C 网络系统的微分方程式：0002222111121UiRdtdiLUeiRdtdiLdtdUCii由上述方程进行变换，写成如下形式22222111112111111iLRULdtdieLiLRULdtdiiCiCdtdU。根据定义的状态变量及输名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - 入变量， 得状态方程01001011101321222111321eLxxxLRLLRLCCxxx。如

60、果取 R2 两端的电压和通过R2 的电流作为输入变量 y1 和 y2，则输出方程为32122110000xxxRyy。上述两个方程组成了系统的状态空间模型。上述两个例子有一个共同的特征，那就是所选择的状态变量都是系统中可以测量到的物理量。我们知道，在反馈控制系统中，除了输出量外，还有其他一些状态量用于反馈。如果状态变量用于反馈，那么反馈设计的手段变得简单。因此，选择系统的物理变量作为状态变量有助于简化设计。选择系统的物理变量作为状态变量的另一个优点是：状态方程的解给出了与物理系统直接相关的一些变量随时间变换的规律。其缺点是：使状态方程的求解变得很困难。2）由微分方程建立状态空间模型：下面讨论采

61、用相变量作为状态变量的系统的另一种状态空间模型。所谓相变量是指一组特殊的状态变量，这组变量是根据一个系统变量及其各阶导数求得的。通常使用的系统变量是系统的输出，而其余状态变量是输出的各阶导数。这样如果知道以微分方程表示的系统数学模型，则相变量状态空间模型是容易确定的。下面分两种情况讨论：作用函数不含导数项的情形设系统的数学模型是其作用项f(x,t) 中不含导数项的n 阶 SISO 系统的微分方程)(1111tuyadtdyadtydadtydnnnnnn。选取状态变量：1121,nnndtydxdtdyxyx。则方程可改写为有下列n 个一阶微分方程构成的方程组)(212111321tuxaxa

62、xaxxxxxxxnnnnnnn由上面方程组可导出下列状态方程(令 f(x,t)=u) ：100001000010121121121uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn或写成：BUAXX。若输出为yx1，则输出方程为CXY，式中，0001C。Y 的初始条件由状态变量的初始条件x1(0) 、x2(0)、xn(0)决定。作用函数含有导数项的情形设系统微分方程为ububububyayayaynnnnnnnn1)1(1)(01)1(1)(。方法一：由于上述方程包含有输入函数u(t)的导数项，故不能简单地把)1(,nyyy当作一组状态变量。因为如果输入u(t)在 tt0 时刻出现一个阶跃函数，则时刻

63、等将在，时刻出现单位阶跃函数便在0)3()2(0tt),t (u) t(utt)(tu产生名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - 高阶脉冲函数。这样，状态轨迹将在tt0 时刻产生无穷大跳跃。因此，在tt0 以后系统的行为将不可能由选定的状态变量唯一确定，即系统将得不到唯一解。对这种情况，关键在于设置的一组状态变量能够消去状态方程的导数项，为此，引入微分算子pd/dt，系统微分方程变为ubpubupbupbyapyap

64、aypnnnnnnnn1)1(1)(01)1(1)(。整理得：ubyaubyapubyapubyapubypnnnniiinnn)()()()(11)(11)1(0)(。ubapxnnny令：，又 (注：下式相当于对式两边同除p，并移项 ) nnnnnnnnnnnxubyaubyapubyaubyapubyapubyp111112211)2(0)1()()()()(ubapx1-n1-n1-nyxn令：，同时有ubapxjj1jyxj。得代入则令：ubapxu,bxy,xub-yjj1j0110yxjubabxxubxxjjjj)(-aub)(apx011jj01j1j),3,2, 1(nj。

65、将上式写成状态方程的形式，并注意到 xn10，则用矩阵表示的系统状态空间模型为2121uUxxxXxxxXDUCXYBUAXXnn000100010001121nnaaaaA0011022011babbabbabbabnnnnB00001C0bD若已知y 与各阶导数的初值，代入ubabxxubxxjjjj)(-aub)(apx011jj01j1j便可直接求出各个状态变量的初值，由此可用计算机解状态方程。方法二：一般输入量中导数的次数小于或等于n，这里讨论次数等于n 的情况即b00 的情况。当输入量导数项的次数小于n时，所推导的公式仍适用。为了避免在状态方程中出现输入导数项，可按如下规则选择状态

66、变量，设uhxxuhyxiii1101ni,2。其展开式为uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnnnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112)3(1)2(0)2(2212102231011201式 31 一般输入量中导数的次数小于或等于n，这里讨论次数等于n 的情况即b00。式中1n10h,h,h是 n 个待定常数。由上式的第一个方程可得到输出方程，其余可得下列n-1 个状态方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

67、- - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - uhxxuhxxuhxxuhxxnnnnnn11212232121求 导 数 并 考 虑对nx，uhuhuhubububyayayauhuhuhyxnnnnnnnnnnnnnn1)1(1)(0)1(1)(0)1(1)1(11)1(1)(0)()(理后可得的各阶导数表示，经整及均以将由式uxy,y,y1-3i)1()1n(uuuuuxxn)hahaha(b)hahahah(b)hahah(b)bah(b)h(bxaxaxaa01n2-n21-n1n)1(01n3-n22-n11-n1-n)2-n(021122)1-n(011

68、1)n(00n11n221n1n令上式中各阶导数项系数为零，可确定各 h 值：01322111011100,hahahabhbabhbhnnnnn记0112211hahahahabhnnnnnn，故uhxaxaxaxaxnnnnnn112221。则系统微分方程的向量矩阵形式的动态方程为DUCXYBUAXX,。式中121100001000010aaaaAnnnnnhhhhB1210001hDC若输入量中仅含m 次导数且 mn，可将高于m 次导数项的系数置0，仍可使用所得公式。例 1 设某系统的微分方程为：8u 1786y116uuuyyy。试写出相应的状态空间模型解：该方程的系数ai 与 bj

69、分别为8,17,8, 1,6,11,63210321bbbbaaa。矩阵 B 的元素为262033022011babbabbab。故可直接写出系统的状态空间模型uxxxyuxxxxxx3213213210016620061011016。从上面的分析可以看出：相变量为状态变量提供了一种很好的方法。数学实现很简单。但它有一个很大的缺点：那就是相变量通常不是系统的物理变量，不便测量与控制。既然方程作用函数项中没有导数(即 G(s)没有零点 )，由输出及其各阶导数给出的相变量，要取得二阶以上导数也是困难的。因此，从测量及控制观点来看，相变量不是一组适用的状态变量。从分析观点出发，正则变量是最合适的。3

70、）由传递函数建立状态空间模型：系统传递函数是描述线性定常(时不变 )系统输入与输出间微分关系的另一种方法。为便于实现计算机数字仿真，应将传递函数变换为状态空间模型。由系统传递函数导出系统状态空间模型的方法是先将传递函数用状态变量图描述，然后根据状态变量图中积分器的输出缺点系统状态变量及状态方程。例如一个一阶系统，传递函数是1/(s+a)，便可以用一个带反馈的积分器模拟此传递函数，如图1 所示 . 把积分器的输出y 看成一个状态变量，积分器的输入是 y，将 y 与 y 标在模拟图上，便得到状态变量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

71、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - 图(图 2)。可以看出：图 1 图 2 例 2 一个三阶系统，其传递函数为12198s104s)(23sssH。可写出三种形式：4231114135.214121981s10s4)(3232sssssssssssH。根据传递函数三种不同表达形式，可以画出三种不同形式的状态变量图，进而可以写出三种不同状态方程，按上式分别称为级联法、串联法、并联法。其中级联法相当于由信号流图求状态空间模型，而串联法与并联法则相当于由方块图求状态空间模型。a) 由信号流图求状态空间模型法(级联法

72、) 如果构造出的信号流图的回路满足如下条件使它的所有回路均相互接触，并使所有回路增益之和等于3212198sss构造出的前向通路与所有回路都接触，且使前向通路增益之和等于32104ss这样，就构造出我们所需要的信号流图，如图3 和图 4 所示图 3 信号流图 1 图 4 信号流图 2 同理可画出信号流图2 的状态变量方块图。观察图 5 可以写出系统的状态空间模型(能控标准型 )：32132132104101008912100010xxxyuxxxxxx图 5 信号流图 1 的状态变量方块图同理，可写出系统状态空间模型(能观测标准型 )：321321321001104000121019018xx

73、xyuxxxxxx。这里采用的状态变量仍然为相变量。b) 由方块图求状态空间模型串联法4231114135.214121981s10s4)(3232sssssssssssH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - 上式中第二部分是三个一阶子系统的传递函数连乘的结果，如图6 所示。现将三个一阶子系统的输出看作状态变量，令它们分别为w1、w2 和 w3。分析状态变量图可以写出状态方程(即由传递函数反求微分方程)：uwwww

74、wwwww45.234333322211。经过整理得到：3213213210014401005.130014wwwyuwwwwww。并联法4231114135.214121981s10s4)(3232sssssssssssH。 上式中第三部分是三个一阶子系统的传递函数相加的结果，画出方块图是三个一阶方块图并联的形式，如图7 所示。现将三个一阶子系统的输出看作状态变量，它们分别记为z1、 z2和 z3。分析状态变量图可以写出系统的状态空间模型：321321321211111400030001zzzyuzzzzzz从上式可以看出系统矩阵是对角阵，对角线上的元素是传递函数G(s) 的极点，且矩阵B

75、元素全是1，是一个标准状态空间模型。从上面的分析可以得出：因为串联法与系统传递函数的结构和系数密切相关，所以无法用一般结构形式关系写出状态空间模型。对于一个确定的系统传递函数，构造状态空间模型的方法很多，状态空间模型形式的形式也是多样的。这说明了系统状态空间模型的非唯一性。由并联法得到的方程推导出的标准形式中，系统矩阵A 的对角线元素正好是该矩阵的特征值。这里的状态变量称为正则变量，相应的状态空间模型称为正则状态空间模型。前面分别给出了使用物理变量 、相变量 与正则变量 的状态空间模型。从应用观点出发，对于系统的描述，物理变量最有用，因为所选取的状态变量就是所研究的真实物理量，且这些物理量易于

76、测量和控制。但这种形式的状态空间模型对于系统性能的研究和时间响应的评价通常是不方便的，而用正则变量作状态变量则方便很多，因为此时矩阵A为对角线形式。因此通常要通过对角线化 的方法将一般状态空间模型转化为正则状态空间模型。2.3 实际系统的数学建模2.3.1 机械系统的数学建模机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备与装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如控制系统的执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模拟器的运动平台。这类系统建模目标多是建立选定参考坐标系下的系统运动方程和动力学方程，属于“ 白盒问题 ” 。因此，采用的建模方法常是机理建模法或图解法，对复杂的系统还可能应

77、用辨识法，为了模型求解还会采用直接相似法。在建模中，主要将利用牛顿力学定律等并结合能量守恒原理及有关近似理论等。1.机械系统中的几个重要力学模型a)空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和分别等于零，这些力对于这些轴的矩的代数和也分别等于零。空间任意力系的平衡方程的数学表达式为：0)(,0)(,0)(0,0,0FmFmFmFFFozoyoxzyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 -

78、- - - - - - - - b)牛顿第二定律数学表达式物体受外力作用时，所获得的加速度大小与合力大小成正比，而与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。其数学表达式为22dtsdmaF。 在直角坐标系下有222222dtzdmFdtydmFdtxdmFzyx。在极坐标系中有)2()(2rrmFrrmFr。c)质点运动的功和能的数学描述设力 F 作用于 a 至 b 连接路径中运动的质点m 上， 那么 F 所做的功一般描述为bazyxbadzFdyFdxFFdsW)(。在惯性坐标系下有babaZYXmzdzydyxdxmW|)(2)(222。 若质点 m 在 a 处速度为零， 则有2

79、21bmvT。式中， vb为质点 m 在 b 处的速度，这时T 称为质点的动能。d)拉格朗日方程e)刚体运动的拉格朗日方程f)刚体运动的欧拉方程刚体运动的欧拉方程，是研究飞机、导弹、火箭、飞船等空间运动的基础，研究它们的运动学和动力学问题时，常可忽略运动中的形变而将其当作刚体系统处理。abc 属于比较基础和简单的内容，需要我们掌握。而d)e)f)的内容有兴趣的可以自学，考试不做要求。应用实例：质量弹簧阻尼系统（这里不考虑重力影响）解：分别对m1 和 m2 做分离体力分析。可得该机械系统数学模型：11111112212222122122)()()()(xmxkxBxxBxxkxmxxBxxkF第

80、三章连续系统的数字仿真技术连续系统数字仿真的基本原理和主要算法；快速实时仿真算法；连续系统数字仿真程序设计方法和应用实例3.1 连续系统数字仿真的数值积分法3.1.1 数值积分法的基本原理因为高阶微分方程可以化为一阶微分方程组进行求解，所以在连续系统数字仿真中，主要的计算工作是对一阶微分方程或状态方程求解。设一阶微分方程及初值为)(|),()(ctttyyytftyc。为求解上述方程，在1,ncttt区间内对方程两端积分，即1010),()(nnttttdtytfdtty，则有10),()()(01nttndtytftyty，即1),()()(1nnttnndtytftyty。由于 上 式 中

81、 有 定 积 分 项 ， 故 用 其 近 似 值 表 示 其 连 续 解 ， 得Qyynn1， 式 中1ny,ny,Q分 别 是)(1nty,)(nty,1),(nnttdtytf的近似解，即数值解。称nntth1为计算步距或仿真步长。综上所述，数值积分法的基本原理为：通过对具有初值问题的微分方程离散化，将连续变量问题转化为离散变量问题；根据已知的初始条件，逐步递推求出以后各时刻的数值iy。递推公式的核心就是如何对nQ进行数值求解，即如何对),(ytf进行积分。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

82、 - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - 3.1.2 常用数值积分算法数值积分法通常分为三类，即单步法、多步法和预报-校正法。的近似值 (称为预报值 )，然后将其代入原微分方程，计算出1nf的近似值),(11pnnytf，最后利用梯形法公式求出修正后cny1( 称为预报值)。这就是改进欧拉法，也称为预报-校正法，其公式为)ff (2hyyp1nnnc1n1nnpnhfyy。式中，),(111pnnpnytff。改进欧拉法是一种多步法，每次算一步ny，都要计算两次导数，其计算量比欧拉法多一倍。但计算精度比欧拉法高。2龙格 -库塔 (Runge-Kutt

83、a) 法龙格 -库塔是连续系统数字仿真中最常用的数值积分法，分为显式、隐式和半隐式等方法。根据在仿真中的应用情况，这里主要介绍显式龙格-库塔法。1）显式龙格 -库塔公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - 显式龙格 -库塔法的一般公式为式中，iW为待定的权因子；r为解公式的阶数(使用的 k 值个数 )；ik为不同点的导数和步长的乘积；ijiac ,为待定系数。根据上面的公式，可导出不同阶次的龙格库塔公式。三阶龙格库

84、塔公式为四阶龙格库塔公式为)32,32()31,3(),(1)3(412312211kyhthfkkyhthfkythfkkkyynnnnnnnn),()21,21()21,2(),(1)22(6134231243211kyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn在龙格库塔法中，尤以四阶最常用。因为，对于大部分实际工程问题，其精度已可以满足要求。除了仿真精度高的优点外，它还具有能自启动、稳定性好、编程容易及计算量适中等优点，因而在系统仿真中获得了广泛的应用。2）四阶龙格库塔法仿真子程序一般系统进行数字仿真时，都采用四阶龙格库塔法。假设系统的数学模型是用向

85、量形式描述的一阶微分方程组(如状态方程 )，即)0()(),()(0YtYYtFtY，则对应的四阶龙格库塔法的向量形式为),()21,21()21,2(),(1)22(6134231243211KYhthFKKYhthFKKYhthFKYthFKKKKKYYnnnnnnnnnn。式中，TNkkkK,112111，TNkkkK,222212，TNkkkK,332313，TNkkkK,442414，而ijk表示第 j 个方程式中的第i 个龙格库塔法计算系数(i=1,2,3,4;j=1,2 , ,N)，N 为系统阶数。仿真子程序的一种直观写法如下：首先，先对上式作一变形，即令)(*)()(2/)(*

86、)()(2/)(*)()(321tdidirktdidirktdidirk，式中 d(i)表示变量的导数，dt 表示步长h，则有)(*)()(4)()(261)()(231tdidirkirkirkiyiys3线性多步法多步法的基本思想是，在逐步递推计算过程中，充分利用前面多步的信息0y，1y， , ny及0f,1f, nf来计算1ny，达到既可加快仿真速度，又能获得较高精度的目的。3.1.3 实时仿真算法rickayhcthfkkWyyirjiijniniriiinn,3,2,0),(1111名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

87、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - 3.3 面向微分方程的仿真程序设计名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - -