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1、第二章推理与证明复习小结推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明数学归纳法数学归纳法间接证明间接证明 比较法比较法类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构证证为为数数为为数数证证一一.综合法综合法证证为为数数为为数数证证证证证明证明: :要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立. .所以所以 成立成立. .二二.分析法分析法三三:反证法反证法问题一问题一:求证求证:两条相交直线有且只有一个交点两条相交直线有且只有一个交点.注注:1.结论中的有且只有结论中的有且只有(有
2、且仅有有且仅有)形式出现形式出现, 是唯一性问题是唯一性问题,常用反证法常用反证法 2.有且只有的反面包含有且只有的反面包含1)不存在不存在;2)至少两个至少两个.问题二问题二:求证一元二次方程至多求证一元二次方程至多 -有两个不相等的实根有两个不相等的实根.注注:所谓至多有两个所谓至多有两个,就是不可能有三个就是不可能有三个,要要证证“至多有两个不相等的实根至多有两个不相等的实根”只要证明只要证明它的反面它的反面“有三个不相等的实根有三个不相等的实根”不成立即可不成立即可.问题问题: :如图如图; ;已知已知L L1 1、L L2 2 是异面直线且是异面直线且 A A、B B L L1 1,
3、C,C、D D L L2 2, 求证求证;AC,SD;AC,SD也是异面直线也是异面直线. .a aCDABL L1 1L L2 2五五.归纳、类比、猜想、证明归纳、类比、猜想、证明例例: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平行其中任何两条不平行, ,任何三条任何三条不过同一点不过同一点, ,证明交点的个数证明交点的个数f(nf(n) )等于等于n(n-1)/2.n(n-1)/2.证证:(1):(1)当当n=2n=2时时, ,两条直线两条直线的交点只有的交点只有1 1个个, ,又又f(2)=2f(2)=2(2-1)/2=1,(2-1)/2=1,因此因此, ,当当n=2n=
4、2时命题成立时命题成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(k2)2)时命题成立时命题成立, ,就是说就是说, ,平面内满足平面内满足 题设的任何题设的任何k k条直线条直线的交点个数的交点个数f(kf(k) )等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.以下来考虑平面内有以下来考虑平面内有k+1k+1条直线的情况条直线的情况. .任取其中任取其中的的1 1条直线条直线, ,记作记作l.l.由归纳假设由归纳假设, ,除除l l以外的其他以外的其他k k条直线的条直线的交点个数交点个数f(kf(k) )等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.另外另外, ,因为已知任何两条直线不平行
5、因为已知任何两条直线不平行, ,所以直线所以直线l l必与平面内其他必与平面内其他k k条直线都相交条直线都相交, ,有有k k个交点个交点. .又因为已知任何三条直线不过同一点又因为已知任何三条直线不过同一点, ,所以上面的所以上面的k k个交点两两不相同个交点两两不相同, ,且与平面内其他的且与平面内其他的k(k-1)/2k(k-1)/2个个交点也两两不相同交点也两两不相同. .从而平面内交点的个数是从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.这就是说这就是说,
6、 ,当当n=k+1n=k+1时时, ,k+1k+1条直线的条直线的交点个数为交点个数为: :f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.根据根据(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,命题对一切大于命题对一切大于1 1的正整数都成的正整数都成立立. .说明说明: :用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题, ,重难点是处理好当重难点是处理好当 n=k+1n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立时利用假设结合几何知识证明命题成立. .注注: :在上例的题设条件下还可以有如下二个结论在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: :(1)(1)设这
7、设这n n条直线互相分割成条直线互相分割成f(n)f(n)条线段或射线条线段或射线, ,-则则: : f(nf(n)=n)=n2 2. .(2)(2)这这n n条直线把平面分成条直线把平面分成(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .练习练习1:1:凸凸n n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线, ,则凸则凸n+1n+1边形的对角线边形的对角线 -的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.n-1n-1练习练习2:2:设有通过一点的设有通过一点的k k个平面个平面, ,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线三个以上的平面不共有一条直线, ,这这k k个平面将个平面将 空间分成空间分成f(kf(k) )个区域个区域, ,则则k+1k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(k+1)=f(kf(k)+_)+_个区域个区域. .2k2k: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平行其中任何两条不平行, ,任何三条任何三条不过同一点不过同一点, ,证明证明这这n n条直线把平面分成条直线把平面分成f(nf(n) )(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .作业：作业：
