《2022年导数证明不等式构造函数法类别》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年导数证明不等式构造函数法类别（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数【例 1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(xxxg，从其导数入手即可证明。【解】1111)(xxxxf当01x时，0)(xf，即)(xf在)0 , 1(x上为增函数当0x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数故函数( )f x的单调递增区间为)0, 1(，单调递减区间),0(于是函数( )f x在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf， 因此，当1x时，0)0()(fxf，即0) 1ln(xxx
2、x) 1ln(（右面得证） ，现证左面，令111)1ln()(xxxg，22)1()1(111)(xxxxxg则当0)(,), 0(;0)(,)0, 1(xgxxgx时当时，即)(xg在)0 ,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，故函数)(xg在), 1(上的最小值为0)0()(mingxg，当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx111)1ln(xx，综上可知，当xxxx)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间), 1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；分析：函数)(xf的图象在函数)(x
3、g的图象的下方)()(xgxf不等式问题，即3232ln21xxx，只需证明在区间), 1(上，恒有3232ln21xxx成立，设)()()(xfxgxF，), 1(x，考虑到061)1 (F要证不等式转化变为：当1x时，)1()(FxF，这只要证明：)(xg在区间), 1(是增函数即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载【解】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，则xxxxF12)(2=xxxx)12)(1(2当1x时，)(xF=xxxx)12)(1(2从而)(xF在), 1
4、(上为增函数，061)1()(FxF当1x时0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在区间),1 (上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例 3】 （ 20XX年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式3211) 11ln(nnn都成立 . 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令xn1，则问题转化为：当0x时，恒有32)1ln(xxx成立，现构造函数)1ln()(23xxxxh，求导即可达到证明。【解】令)1ln()(23xxxxh，则1)1(31123)(232xxxxxxxh在),0(x上恒正，所以函数)(xh在),0(上单
5、调递增，),0(x时，恒有，0)0()(hxh即0)1ln(23xxx，32)1ln(xxx对任意正整数n，取3211)11ln(),0(1nnnnx，则有【警示启迪】当( )F x在 , a b上单调递增，则xa时，有( )F x( )F a如果( )f a( )a，要证明当xa时，( )fx( )x， 那么，只要令( )F x( )fx( )x， 就可以利用( )F x的单调增性来推导 也就是说，在( )F x可导的前提下，只要证明( )Fx即可4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：a)(afb
6、)(bf【解】由已知x)(xf+)(xf0 构造函数)()(xxfxF，则)(xF x)(xf+)(xf0， 从而)(xF在R上为增函数。ba)()(bFaF即a)(afb)(bf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载【警示启迪】 由条件移项后)()(xfxf x，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF，求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(xfxfx，则移项后)()(xfxfx，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例 （全国）已知函数xxxgxxx
7、fln)(,)1ln()(1) 求函数)(xf的最大值；(2) 设ba0, 证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag. 证明：对xxxgln)(求导 , 则1ln)(xxg. 在)2(2)()(bagbgag中以 b 为主变元构造函数, 设)2(2)()()(xagxgagxF, 则2lnln)2( 2)()(xaxxagxgxF. 当ax0时，0)(xF, 因此)(xF在),0(a内为减函数 . 当ax时 ,0)(xF, 因此)(xF在),(a上为增函数 . 从而当ax时, )(xF有极小值)(aF. 因为, 0)(abaF所以0)(bF, 即.0)2(2)()(bagbgag又
8、设2ln)()()(axxFxG. 则)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG. 当0x时,0)(xG. 因此)(xG在),0(上为减函数 . 因为,0)(abaG所以0)(bG, 即2ln)()2(2)()(abbagbgag. 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例已知函数21( )2xf xaex (1)若 f(x)在 R上为增函数 , 求 a 的取值范围 ; (2)若 a=1, 求证 :x 0 时,f(x)1+x 解： (1)f (x) aex，（）在上为增函数，f (x) 对恒成立，即- 对恒成立记（）-，则 ( ) - =(1-x)e-x，当时，（），当时，（）知（）在 (
9、- ,1) 上为增函数 , 在(1,+ ) 上为减函数 , g(x) 在 x=1 时 , 取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e, 即 a 的取值范围是1/e, + ) (2) 记 F(X)=f(x) (1+x) =)0(1212xxxex则 F (x)=ex-1-x, 令 h(x)= F (x)=ex-1-x,则 h(x)=ex-1 当 x0 时, h (x)0, h(x) 在(0,+ ) 上为增函数 , 又 h(x) 在 x=0 处连续 , h(x)h(0)=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6
10、 页精品资料欢迎下载即 F(x)0 ,F(x) 在(0,+ ) 上为增函数 , 又 F(x) 在 x=0 处连续 , F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x7. 对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当2111)1 (,0xxexx时8. 构造形似函数例：证明当abbaeab证明,例：已知m 、n 都是正整数，且,1nm证明：mnnm)1 ()1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载【思维挑战】 1 、设xaxxxfaln2ln1)(,02求证：当1x时，恒有1ln2ln2xaxx 2 、已
11、知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中a0，且aaabln32522，求证：)()(xgxf3、已知函数xxxxf1)1ln()(，求证：对任意的正数a、b，恒有.1lnlnabba4、)(xf是定义在（ 0，+）上的非负可导函数，且满足)()(xfxf x0，对任意正数a、b，若a b，则必有（）（ A）af (b) bf (a) （B）bf (a) af (b) （ C）af (a) f (b) （D）bf (b) f (a) 【答案咨询】1、提示：xaxxxf2ln21)(，当1x，0a时，不难证明1ln2xx0)(xf，即)(xf在),0(内单调递
12、增，故当1x时，0)1()(fxf，当1x时，恒有1ln2ln2xaxx2、提示：设bxaaxxxfxgxFln3221)()()(22则xaaxxF232)( =xaxax)3)()0(x0a，当ax时，0)(xF，故)(xF在),0(a上为减函数，在),(a上为增函数，于是函数)(xF在),0(上的最小值是0)()()(agafaF，故当0x时，有0)()(xgxf，即)()(xgxf3、提示：函数)(xf的定义域为), 1(，22)1()1 (111)(xxxxxf当01x时，0)(xf，即)(xf在)0 , 1(x上为减函数当0x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为增函数因此在)
13、(,0xfx时取得极小值0)0(f，而且是最小值于是xxxfxf1)1ln(,0)0()(从而，即xx111)1ln(令abxbax1111,01则于是abba1ln因此abba1lnln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载4、 提示：xxfxF)()(，0)()()(2xxfxxfxF， 故xxfxF)()(在 （0， +）上是减函数， 由ba有bbfaaf)()( af (b) bf (a) 故选（ A）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
