《2022年导数证明不等式构造函数法类别》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年导数证明不等式构造函数法类别(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数【例 1】已知函数xxxf)1ln()(,求证:当1x时,恒有xxx)1ln(111分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数111)1ln()(xxxg,从其导数入手即可证明。【解】1111)(xxxxf当01x时,0)(xf,即)(xf在)0 , 1(x上为增函数当0x时,0)(xf,即)(xf在),0(x上为减函数故函数( )f x的单调递增区间为)0, 1(,单调递减区间),0(于是函数( )f x在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf, 因此,当1x时,0)0()(fxf,即0) 1ln(xxx
2、x) 1ln((右面得证) ,现证左面,令111)1ln()(xxxg,22)1()1(111)(xxxxxg则当0)(,), 0(;0)(,)0, 1(xgxxgx时当时,即)(xg在)0 ,1(x上为减函数,在),0(x上为增函数,故函数)(xg在), 1(上的最小值为0)0()(mingxg,当1x时,0)0()(gxg,即0111)1ln(xx111)1ln(xx,综上可知,当xxxx)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数.ln21)(2xxxf求证:在区间), 1(上,函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方;分析:函数)(xf的图象在函数)(x
3、g的图象的下方)()(xgxf不等式问题,即3232ln21xxx,只需证明在区间), 1(上,恒有3232ln21xxx成立,设)()()(xfxgxF,), 1(x,考虑到061)1 (F要证不等式转化变为:当1x时,)1()(FxF,这只要证明:)(xg在区间), 1(是增函数即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精品资料欢迎下载【解】设)()()(xfxgxF,即xxxxFln2132)(23,则xxxxF12)(2=xxxx)12)(1(2当1x时,)(xF=xxxx)12)(1(2从而)(xF在), 1
4、(上为增函数,061)1()(FxF当1x时0)()(xfxg,即)()(xgxf,故在区间),1 (上,函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例 3】 ( 20XX年,山东卷)证明:对任意的正整数n,不等式3211) 11ln(nnn都成立 . 分析:本题是山东卷的第(II )问,从所证结构出发,只需令xn1,则问题转化为:当0x时,恒有32)1ln(xxx成立,现构造函数)1ln()(23xxxxh,求导即可达到证明。【解】令)1ln()(23xxxxh,则1)1(31123)(232xxxxxxxh在),0(x上恒正,所以函数)(xh在),0(上单
5、调递增,),0(x时,恒有,0)0()(hxh即0)1ln(23xxx,32)1ln(xxx对任意正整数n,取3211)11ln(),0(1nnnnx,则有【警示启迪】当( )F x在 , a b上单调递增,则xa时,有( )F x( )F a如果( )f a( )a,要证明当xa时,( )fx( )x, 那么,只要令( )F x( )fx( )x, 就可以利用( )F x的单调增性来推导 也就是说,在( )F x可导的前提下,只要证明( )Fx即可4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf)(xf恒成立,且常数a,b满足ab,求证:a)(afb
6、)(bf【解】由已知x)(xf+)(xf0 构造函数)()(xxfxF,则)(xF x)(xf+)(xf0, 从而)(xF在R上为增函数。ba)()(bFaF即a)(afb)(bf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精品资料欢迎下载【警示启迪】 由条件移项后)()(xfxf x,容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数)()(xxfxF,求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(xfxfx,则移项后)()(xfxfx,要想到是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例 (全国)已知函数xxxgxxx
7、fln)(,)1ln()(1) 求函数)(xf的最大值;(2) 设ba0, 证明:2ln)()2(2)()(0abbagbgag. 证明:对xxxgln)(求导 , 则1ln)(xxg. 在)2(2)()(bagbgag中以 b 为主变元构造函数, 设)2(2)()()(xagxgagxF, 则2lnln)2( 2)()(xaxxagxgxF. 当ax0时,0)(xF, 因此)(xF在),0(a内为减函数 . 当ax时 ,0)(xF, 因此)(xF在),(a上为增函数 . 从而当ax时, )(xF有极小值)(aF. 因为, 0)(abaF所以0)(bF, 即.0)2(2)()(bagbgag又
8、设2ln)()()(axxFxG. 则)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG. 当0x时,0)(xG. 因此)(xG在),0(上为减函数 . 因为,0)(abaG所以0)(bG, 即2ln)()2(2)()(abbagbgag. 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例已知函数21( )2xf xaex (1)若 f(x)在 R上为增函数 , 求 a 的取值范围 ; (2)若 a=1, 求证 :x 0 时,f(x)1+x 解: (1)f (x) aex,()在上为增函数,f (x) 对恒成立,即- 对恒成立记()-,则 ( ) - =(1-x)e-x,当时,(),当时,()知()在 (
9、- ,1) 上为增函数 , 在(1,+ ) 上为减函数 , g(x) 在 x=1 时 , 取得最大值,即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e, 即 a 的取值范围是1/e, + ) (2) 记 F(X)=f(x) (1+x) =)0(1212xxxex则 F (x)=ex-1-x, 令 h(x)= F (x)=ex-1-x,则 h(x)=ex-1 当 x0 时, h (x)0, h(x) 在(0,+ ) 上为增函数 , 又 h(x) 在 x=0 处连续 , h(x)h(0)=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6
10、 页精品资料欢迎下载即 F(x)0 ,F(x) 在(0,+ ) 上为增函数 , 又 F(x) 在 x=0 处连续 , F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x7. 对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式)例:证明当2111)1 (,0xxexx时8. 构造形似函数例:证明当abbaeab证明,例:已知m 、n 都是正整数,且,1nm证明:mnnm)1 ()1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精品资料欢迎下载【思维挑战】 1 、设xaxxxfaln2ln1)(,02求证:当1x时,恒有1ln2ln2xaxx 2 、已
11、知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中a0,且aaabln32522,求证:)()(xgxf3、已知函数xxxxf1)1ln()(,求证:对任意的正数a、b,恒有.1lnlnabba4、)(xf是定义在( 0,+)上的非负可导函数,且满足)()(xfxf x0,对任意正数a、b,若a b,则必有()( A)af (b) bf (a) (B)bf (a) af (b) ( C)af (a) f (b) (D)bf (b) f (a) 【答案咨询】1、提示:xaxxxf2ln21)(,当1x,0a时,不难证明1ln2xx0)(xf,即)(xf在),0(内单调递
12、增,故当1x时,0)1()(fxf,当1x时,恒有1ln2ln2xaxx2、提示:设bxaaxxxfxgxFln3221)()()(22则xaaxxF232)( =xaxax)3)()0(x0a,当ax时,0)(xF,故)(xF在),0(a上为减函数,在),(a上为增函数,于是函数)(xF在),0(上的最小值是0)()()(agafaF,故当0x时,有0)()(xgxf,即)()(xgxf3、提示:函数)(xf的定义域为), 1(,22)1()1 (111)(xxxxxf当01x时,0)(xf,即)(xf在)0 , 1(x上为减函数当0x时,0)(xf,即)(xf在),0(x上为增函数因此在)
13、(,0xfx时取得极小值0)0(f,而且是最小值于是xxxfxf1)1ln(,0)0()(从而,即xx111)1ln(令abxbax1111,01则于是abba1ln因此abba1lnln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精品资料欢迎下载4、 提示:xxfxF)()(,0)()()(2xxfxxfxF, 故xxfxF)()(在 (0, +)上是减函数, 由ba有bbfaaf)()( af (b) bf (a) 故选( A)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页