《2022年完整word版,八年级二次根式》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年完整word版,八年级二次根式(14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第五章 二次根式【知识网络】知识点一:二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式。知识点二:取值范围1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a0 时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性()表示 a 的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0() 。注:因为二次根式
2、()表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0() ,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页2 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,b=0 。知识点四:二次根式() 的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注: 二次根式的性质公式() 是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,
3、则,如:,. 知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、 化简时, 一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数, 若是正数或 0, 则等于 a本身, 即;若 a 是负数,则等于a 的相反数 -a, 即;2、中的 a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中 a 可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,而
4、2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求:应为最简二次根式或有理式;分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理;(3) 乘法公式的推广:123123123(0000)nnnaaaaaaaaaaaaL LL LL L,2二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质;3二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的;(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多
5、相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释:怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1. 明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页3 2. 在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用;3. 在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果 . (1) 加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是
6、进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握 . 在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简 . 例如82627,没有必要先对827进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,884266262 327273,通过约分达到化简目的;(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如:223232321,利用了平方差公式. 所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化. 两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个
7、代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式:(1)aa与互为有理化因式;(2)abab与互为有理化因式;一般地ac bac b与互为有理化因式;(3)abab与互为有理化因式;一般地cadbadb与c互为有理化因式. 专题总结及应用一、知识性专题专题 1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解. 例 1 当x取何值时,913x的值最小?最小值是多少?分析由二次根式的非负性可知9191xx0,即的最小值为0,因为3 是常数,所以913x的最小值为 3. 解:91x0,9133x,当
8、 9x+1=0,即19x时,9133x有最小值,最小值为3. 【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,即a0(a0). 专题 2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】 对于二次根式的化简问题,可根据定义,也可以利用2|aa这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论. 例 2 下列计算正确的是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页4 2712A. 822 B. 941362C. (2+5)(2-5)1 D.3 2 2分析根据具体选项,应先进行化简,再计算. A 选项中,822
9、222 ,B 选若可化为3 32 3333,C 选项逆用平方差公式可求得255()( 2-)=4- 5=- 1,而 D 选项应将分子、分母都乘2,得6 223 2 -12. 故选 A. 例 3 计算20062007(21)(21)的结果是()A. 1 B. -1 C. 21 D. 21分析本题可逆用公式(ab)m=ambm及平方差公式,将原式化为2006(21)( 21)(21)21.故选 D. 例 4 书知2228442 142xxyxxxyyxx,求的值. 分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值,但要注意所得x的值应使分式有意义. 解:由二次根式的定义及分式性质,得2240,4,
10、2,20,xxxx022222872442,222772 14222 1422771422 14214.22yxyyx【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义. 例 5 化简223541294- 202522aaaaa-( ).22353252-30 2 -502223)(25)| 23| 25 |(23)(25)48.aaaaaaaaaaaQ解: , , , ,原式(【解题策略】本题应根据条件直接进行化简,主要应用性质2(0)|- (0).a aaaa a,例6 已知实数,a,b,c在数轴上的位置如图21-8所示,化简222|()().aaccab解:由a,b,c在数轴上的位置
11、可知:图 21-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页5 0,00,0,|()().cabaccaaaccabaaccabaaccabab 原式【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简. 22127 |1|44.|1|(2)|1|2|.10,201,2,-112,2xxxxxxxxxxxxxx例化简解:原式令,得于是实数集被分为, 三部分,-11 0, - 20,-(1)( - 2)-3.-121 0, - 20(1)(2)21.xxxxxxxxxxx当 时,原式当
12、时, .原式21 0,20,xxx当 时,1)(2)3.3(1)21( 12)3(2).xxxxxx原式 (,原式 ,规律方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤:首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点;其次,以这些零点为分点,把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”. 例 8 已知3,12,.abababbaba求的值分析这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意a,b的符号,本题中没明确告诉,a,b的符号,但可从a+b=-3,ab=12 中分析得到 . 解:
13、a+b=-3,ab=12,a0,b0. 22 124 3.abababbabaabbaba【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a,b的符号,把所求的式子化简,直接代入. 专题 3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例 9 估计3212+20的运算结果应在()A. 6 到 7 之间B. 7 到 8 之间C. 8 到 9 之间D. 9 到 10 之间分 析本 题 应 计 算 出 所 给 算 式 的 结 果 , 原 式162042 5, 由 于456.25, 即252.5842 59,所以 . 故选 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
14、 -第 5 页,共 14 页6 例10已知m是13的整数部分,n是13的小数部分,求mnmn的值 . 解: 91316,91316,即 3134 13的整数部分为3,即m=3,13的小数部分为13-3n=133,即,313-36136 1313.133( 133)13mnmn()二、规律方法专题专题 4 配方法【专题解读】把被开方数配方,进而应用2aa=| |化简 . 例 11 化简52 6.22252 6322 32( 3)(2)2 32( 32)|32 |32.解:规律方法一般地, 对于2ab型的根式, 可采用观察法进行配方,即找出x,y(xy0) ,使得xy=b,x+y=a,则22()a
15、bxy,于是22()abxyxy,从而使2ab得到化简 . 例 12 若a,b为实数,且b=355315aa,试求22babaabab的值 . 分析本题中根据b=355315aa可以求出a,b,对2baab2baab的被开方数进行配方、化简. 解:由二次根式的性质得3503350.53 05aaaa , ,150,0.babab,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页7 22()()222.babaabababababababbaabababababbaababababb当32321515.51555ab,时,原式【解
16、题策略】对于形如22babaabab+或形式的代数式都要变为2()abab或2()abab的形式, 当它们作为被开方式进行化简时,要注意.ababab和以及的符号专题 5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例 13 计算3535.解:令x=3535,两边同时平方得:22( 3535)x,x2=(35) (35)+23535=10 01010.xxQ ,即原式专题 6 代入法【专题解读】通过代入求代数式的值. 例 14 已知22222400,5760,.a babab求的值2223322222400,57602.42400,2.42400,1000,10,2.4
17、1024,102467626.a babbaa baaababQ解:由,两式相除得,专题 7 约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简. 例 15 化简23261015.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页8 2323261015223523)2312325)25525252.5235252)解:()()(+()(例 16 化简().2x yyxxyxxyy2()().()()()xyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxyxy解:原式三、思想方法专题专题 8 类比思想【专题解读】类比是根据两对象
18、都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,若被开方数相同,则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式 . 例 17 计算 . 13+232182122 3.( );( )解: (1)原式 =(1+2)3=33. (2)原式 =32-2+23+23=22+43. 【解题策略】对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式 . 专题 9 转化思想【专题解读】当问题比较复杂难
19、于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决. 例 18 函数y=24x中,自变量x的取值范围是 . 分析本题比较容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,本题中24x是二次根式,所以被开方数2x-40, 所以x2. 故填x 2. 例 19 如图 21-9 所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x的值为3,则输出的数值为 . 图 21-9 分析本题比较容易, 根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为21x,代入可知(3)2-1=2. 故填 2. 专题 10 分类讨论思想
20、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页9 【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论. 本意在运用公式2|aa进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论. 例 20 若化简2|1|816xxx的结果为25x,则x的取值范围是()A. x为任意实数 B. 1x4 C. x1 D. x4 分析由题意可知|1|4|25xxx,由此可知|1|1xx,且|4 |4xx,由绝对值的意义可知1 0x,且40x,所以14xx ,即的取值范围是14x . 故选 B. 【解题策略】对2a和|a| 形式的式子的化简
21、都应分类讨论. 例 21 如图 21-10 所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm和 3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少?分析这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案. 解:沿前、右两个面爬,路径长为22(57)3153(cm). 沿前、上两个面爬,路径长为22(37)5125(cm). 沿左、上两个面爬,路径长为22(35)7113(cm). 所以它要爬行的最短路径长为113cm. 规律方法沿表面从长方体的一个
22、顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长. 二次根式单元测试题(一)判断题: (每小题1 分,共 5 分)1ab2)2( 2ab()232 的倒数是32 ()32) 1(x2)1(x()4ab、31ba3、bax2是同类二次根式()5x8,31,29x都不是最简二次根式 ()(二)填空题: (每小题2 分,共 20 分)6当 x_时,式子31x有意义7化简8152710231225a8a12a的有理化因式是_9当 1x4 时, |x4|122xx_10方程2(x1) x 1 的解是 _图 21-10 精选学习资料 - - - - - - - - -
23、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页10 11已知 a、b、c 为正数, d 为负数,化简2222dcabdcab _12比较大小:721_34113化简: ( 752)2000 (752)2001_14若1x3y0,则 ( x1)2 ( y3)2 _15x,y 分别为 811的整数部分和小数部分,则2xyy2_(三)选择题: (每小题3 分,共 15 分)16已知233xx x3x,则()(A)x0( B)x 3(C)x 3(D) 3x0 17若 xy 0,则222yxyx222yxyx()(A)2x(B)2y(C) 2x(D) 2y18若 0x1,则4)1(2x
24、x4)1(2xx等于()(A)x2( B)x2( C) 2x(D)2x19化简aa3(a0)得()(A)a(B)a(C)a(D)a20当 a0,b0 时, a2abb 可变形为()(A)2)(ba(B)2)(ba(C)2)(ba(D)2)(ba(四)计算题: (每小题6 分,共 24 分)21 (235) (235) ;2211457114732;23( a2mnmabmnmnnm) a2b2mn;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页11 24(abaabb)(babaaabbabba) (ab) (五)求值: (
25、每小题7 分,共 14 分)25已知 x2323,y2323,求32234232yxyxyxxyx的值26.当 x12时,求2222axxaxx222222axxxaxx221ax的值六、 解答题:(每小题8 分,共 16 分)27.计算( 251) (211321431100991) 28. 若 x, y 为实数,且yx4114x21求xyyx2xyyx2的值(一)判断题: (每小题1 分,共 5 分)1、 【提示】2)2(|2|2 【答案】2、 【提示】2314323(32) 【答案】3、 【提示】2) 1(x |x1|,2)1(x x1(x 1) 两式相等,必须x1但等式左边x 可取任何
26、数【答案】4、 【提示】31ba3、bax2化成最简二次根式后再判断【答案】5、29x是最简二次根式 【答案】(二)填空题: (每小题2 分,共 20 分)6、 【提示】x何时有意义?x0分式何时有意义?分母不等于零【答案】 x0 且 x9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页12 7、 【答案】 2aa 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用8、【提示】(a12a) (_) a222)1(aa12a 【答案】 a12a9、 【提示】 x22x 1()2,x1当 1x 4时, x4,x1 是正数还是负数?x4
27、 是负数, x1 是正数【答案】 310、 【提示】把方程整理成axb 的形式后, a、 b 分别是多少?12,12 【答案】 x 32211、 【提示】22dc|cd| cd【答案】abcd 【点评】ab2)( ab(ab0) ,abc2d2(cdab) (cdab) 12、 【提示】 2728, 4348【答案】 【点评】先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较281与481的大小13、 【提示】 ( 752)2001( 7 52)2000 (_) 752 (752) ( 7 52)? 1 【答案】 752【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式14、 【答
28、案】 40【点评】1x0,3y0当1x3y0 时, x10,y3015、 【提示】311 4,_811_ 4,5 由于811介于 4 与 5 之间,则其整数部分 x?小数部分y? x4,y 411 【答案】 5【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了(三)选择题: (每小题3 分,共 15 分)16、 【答案】 D【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件,(A) 、 (C)不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义17、 【提示】xy0,xy0, xy0222yxyx2)(yx|xy|yx222yxyx2
29、)(yx |xy| xy 【答案】 C【点评】本题考查二次根式的性质2a|a|18、 【提示】 ( xx1)24( xx1)2,( xx1)2 4( xx1)2又0x1,xx10,xx10 【答案】 D【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质(A)不正确是因为用性质时没有注意当0x1 时, xx1 019、 【提示】3a2aaa2a|a|a aa 【答案】 C20、 【提示】a0, b0,a0, b0并且 a2)(a, b2)(b,ab)(ba【答案】 C 【点评】本题考查逆向运用公式2)(aa(a0)和完全平方公式注意(A) 、 ( B)不正确是因为a0,b0 时,a、b都没有意义(四)
30、计算题: (每小题6 分,共 24 分)21、 【提示】将35看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式【解】原式 (35)22)2(521532621522、 【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式【解】原式1116)114(5711)711(479)73(241111737123、 【提示】先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式【解】原式(a2mnmabmnmnnm)221banm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页13 21bnmmnmab1nmmn22bmannmnm21ba
31、b1221ba2221baaba24、 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分【解】原式baabbaba)()()()(babaabbabababbbaaababa)(2222babaabbababbabaababa)()(baabbabaabba【点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐(五)求值: (每小题7 分,共 14 分)25、 【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值【解】x23232)23(526,y23232)23(526xy10,xy46, xy52( 26)2132234232yxyxyxxyx22)()(yxyxyxyxx)(
32、yxxyyx10164652【点评】本题将x、 y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“xy” 、 “xy” 、 “xy” 从而使求值的过程更简捷26、 【提示】注意:x2a2222)(ax,x2a2x22ax22ax(22axx) , x2 x22ax x(22axx) 【解】原式)(2222xaxaxx)(22222xaxxaxx221ax)()()2(22222222222xaxaxxxaxxaxxaxx)()(22222222222222xaxaxxxaxxaxaxxx=)()(222222222xaxaxxaxxax)()(22222222xaxaxxxaxaxx1当 x12时,原式
33、211 12 【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便即原式)(2222xaxaxx)(22222xaxxaxx221ax)11(2222axxax)11(22xxax221axx1六、解答题: (每小题8 分,共 16 分)27、 【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算【解】原式(251) (1212232334349910099100)( 25 1) (12)(23)(34)(99100) ( 25 1) (1100)9(251) 【点评】本题第二个括号内有99 个不同分母,不可能通分这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每精选学习资料 - -
34、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页14 一项转化成两数之差,然后逐项相消这种方法也叫做裂项相消法28、 【提示】要使y 有意义,必须满足什么条件?. 014041xx你能求出x, y 的值吗?.2141yx【解】要使y 有意义,必须014041xx,即.4141xxx41当 x41时, y21又xyyx2xyyx22)(xyyx2)(xyyx|xyyx|xyyx|x41,y21,yxxy原式xyyxyxxy2yx当 x41,y21时,原式 221412 【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页