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1、1 第五章 二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（） 。注：因为二次根式
2、（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（） 的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注： 二次根式的性质公式（） 是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，
3、则，如：，. 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、 化简时， 一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0， 则等于 a本身， 即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而
4、2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：123123123(0000)nnnaaaaaaaaaaaaL LL LL L，2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多
5、相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1. 明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 2. 在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3. 在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果 . (1) 加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是
6、进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握 . 在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简 . 例如82627，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262 327273，通过约分达到化简目的；(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：223232321，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化. 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个
7、代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1）aa与互为有理化因式；（2）abab与互为有理化因式；一般地ac bac b与互为有理化因式；（3）abab与互为有理化因式；一般地cadbadb与c互为有理化因式. 专题总结及应用一、知识性专题专题 1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解. 例 1 当x取何值时，913x的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知9191xx0，即的最小值为0，因为3 是常数，所以913x的最小值为 3. 解：91x0，9133x，当
8、 9x+1=0，即19x时，9133x有最小值，最小值为3. 【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即a0（a0）. 专题 2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】 对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用2|aa这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论. 例 2 下列计算正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 2712A. 822 B. 941362C. (2+5)(2-5)1 D.3 2 2分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A 选项中，822
9、222 ，B 选若可化为3 32 3333，C 选项逆用平方差公式可求得255（）（ 2-）=4- 5=- 1，而 D 选项应将分子、分母都乘2，得6 223 2 -12. 故选 A. 例 3 计算20062007(21)(21)的结果是（）A. 1 B. -1 C. 21 D. 21分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为2006(21)( 21)(21)21.故选 D. 例 4 书知2228442 142xxyxxxyyxx，求的值. 分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义. 解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,
10、2,20,xxxx022222872442,222772 14222 1422771422 14214.22yxyyx【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义. 例 5 化简223541294- 202522aaaaa-（ ）.22353252-30 2 -502223)(25)| 23| 25 |(23)(25)48.aaaaaaaaaaaQ解： ， ， ， ,原式（【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质2(0)|- (0).a aaaa a，例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简222|()().aaccab解：由a，b，c在数轴上的位置
11、可知：图 21-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 0,00,0,|()().cabaccaaaccabaaccabaaccabab 原式【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简. 22127 |1|44.|1|(2)|1|2|.10,201,2,-112,2xxxxxxxxxxxxxx例化简解：原式令，得于是实数集被分为， 三部分，-11 0, - 20,-(1)( - 2)-3.-121 0, - 20(1)(2)21.xxxxxxxxxxx当 时，原式当
12、时， .原式21 0,20,xxx当 时，1)(2)3.3(1)21( 12)3(2).xxxxxx原式 （，原式 ，规律方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”. 例 8 已知3,12,.abababbaba求的值分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12 中分析得到 . 解：
13、a+b=-3，ab=12，a0，b0. 22 124 3.abababbabaabbaba【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题 3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例 9 估计3212+20的运算结果应在（）A. 6 到 7 之间B. 7 到 8 之间C. 8 到 9 之间D. 9 到 10 之间分 析本 题 应 计 算 出 所 给 算 式 的 结 果 ， 原 式162042 5， 由 于456.25， 即252.5842 59，所以 . 故选 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
14、 -第 5 页，共 14 页6 例10已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求mnmn的值 . 解： 91316，91316，即 3134 13的整数部分为3，即m=3，13的小数部分为13-3n=133，即，313-36136 1313.133( 133)13mnmn（）二、规律方法专题专题 4 配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用2aa=| |化简 . 例 11 化简52 6.22252 6322 32( 3)(2)2 32( 32)|32 |32.解：规律方法一般地， 对于2ab型的根式， 可采用观察法进行配方，即找出x，y(xy0) ，使得xy=b，x+y=a，则22()a
15、bxy，于是22()abxyxy，从而使2ab得到化简 . 例 12 若a，b为实数，且b=355315aa，试求22babaabab的值 . 分析本题中根据b=355315aa可以求出a，b，对2baab2baab的被开方数进行配方、化简. 解：由二次根式的性质得3503350.53 05aaaa ， ，150,0.babab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 22()()222.babaabababababababbaabababababbaababababb当32321515.51555ab，时，原式【解
16、题策略】对于形如22babaabab+或形式的代数式都要变为2()abab或2()abab的形式， 当它们作为被开方式进行化简时，要注意.ababab和以及的符号专题 5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例 13 计算3535.解：令x=3535，两边同时平方得：22( 3535)x，x2=（35） （35）+23535=10 01010.xxQ ，即原式专题 6 代入法【专题解读】通过代入求代数式的值. 例 14 已知22222400,5760,.a babab求的值2223322222400,57602.42400,2.42400,1000,10,2.4
17、1024,102467626.a babbaa baaababQ解：由，两式相除得，专题 7 约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简. 例 15 化简23261015.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 2323261015223523)2312325)25525252.5235252)解：（）（）(+（）(例 16 化简().2x yyxxyxxyy2()().()()()xyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxyxy解：原式三、思想方法专题专题 8 类比思想【专题解读】类比是根据两对象
18、都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式 . 例 17 计算 . 13+232182122 3.（ ）；（ ）解： （1）原式 =（1+2）3=33. （2）原式 =32-2+23+23=22+43. 【解题策略】对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式 . 专题 9 转化思想【专题解读】当问题比较复杂难
19、于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决. 例 18 函数y=24x中，自变量x的取值范围是 . 分析本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中24x是二次根式，所以被开方数2x-40, 所以x2. 故填x 2. 例 19 如图 21-9 所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为3，则输出的数值为 . 图 21-9 分析本题比较容易， 根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x，代入可知（3）2-1=2. 故填 2. 专题 10 分类讨论思想
20、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论. 本意在运用公式2|aa进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论. 例 20 若化简2|1|816xxx的结果为25x，则x的取值范围是（）A. x为任意实数 B. 1x4 C. x1 D. x4 分析由题意可知|1|4|25xxx，由此可知|1|1xx，且|4 |4xx，由绝对值的意义可知1 0x，且40x，所以14xx ，即的取值范围是14x . 故选 B. 【解题策略】对2a和|a| 形式的式子的化简
21、都应分类讨论. 例 21 如图 21-10 所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和 3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案. 解：沿前、右两个面爬，路径长为22(57)3153(cm). 沿前、上两个面爬，路径长为22(37)5125(cm). 沿左、上两个面爬，路径长为22(35)7113(cm). 所以它要爬行的最短路径长为113cm. 规律方法沿表面从长方体的一个
22、顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长. 二次根式单元测试题（一）判断题： （每小题1 分，共 5 分）1ab2)2( 2ab（）232 的倒数是32 （）32) 1(x2)1(x（）4ab、31ba3、bax2是同类二次根式（）5x8，31，29x都不是最简二次根式 （）（二）填空题： （每小题2 分，共 20 分）6当 x_时，式子31x有意义7化简8152710231225a8a12a的有理化因式是_9当 1x4 时， |x4|122xx_10方程2（x1） x 1 的解是 _图 21-10 精选学习资料 - - - - - - - - -
23、名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 11已知 a、b、c 为正数， d 为负数，化简2222dcabdcab _12比较大小：721_34113化简： ( 752)2000 (752)2001_14若1x3y0，则 ( x1)2 ( y3)2 _15x，y 分别为 811的整数部分和小数部分，则2xyy2_（三）选择题： （每小题3 分，共 15 分）16已知233xx x3x，则（）（A）x0（ B）x 3（C）x 3（D） 3x0 17若 xy 0，则222yxyx222yxyx（）（A）2x（B）2y（C） 2x（D） 2y18若 0x1，则4)1(2x
24、x4)1(2xx等于（）（A）x2（ B）x2（ C） 2x（D）2x19化简aa3(a0)得（）（A）a（B）a（C）a（D）a20当 a0，b0 时， a2abb 可变形为（）（A）2)(ba（B）2)(ba（C）2)(ba（D）2)(ba（四）计算题： （每小题6 分，共 24 分）21 （235） （235） ；2211457114732；23（ a2mnmabmnmnnm） a2b2mn；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 24（abaabb）（babaaabbabba） （ab） （五）求值： （
25、每小题7 分，共 14 分）25已知 x2323，y2323，求32234232yxyxyxxyx的值26.当 x12时，求2222axxaxx222222axxxaxx221ax的值六、 解答题：（每小题8 分，共 16 分）27.计算（ 251） （211321431100991） 28. 若 x， y 为实数，且yx4114x21求xyyx2xyyx2的值（一）判断题： （每小题1 分，共 5 分）1、 【提示】2)2(|2|2 【答案】2、 【提示】2314323（32） 【答案】3、 【提示】2) 1(x |x1|，2)1(x x1（x 1） 两式相等，必须x1但等式左边x 可取任何
26、数【答案】4、 【提示】31ba3、bax2化成最简二次根式后再判断【答案】5、29x是最简二次根式 【答案】（二）填空题： （每小题2 分，共 20 分）6、 【提示】x何时有意义？x0分式何时有意义？分母不等于零【答案】 x0 且 x9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 7、 【答案】 2aa 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用8、【提示】（a12a） （_） a222)1(aa12a 【答案】 a12a9、 【提示】 x22x 1（）2，x1当 1x 4时， x4，x1 是正数还是负数？x4
27、 是负数， x1 是正数【答案】 310、 【提示】把方程整理成axb 的形式后， a、 b 分别是多少？12，12 【答案】 x 32211、 【提示】22dc|cd| cd【答案】abcd 【点评】ab2)( ab（ab0） ，abc2d2（cdab） （cdab） 12、 【提示】 2728， 4348【答案】 【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较281与481的大小13、 【提示】 ( 752)2001( 7 52)2000 （_） 752 （752） （ 7 52）？ 1 【答案】 752【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式14、 【答
28、案】 40【点评】1x0，3y0当1x3y0 时， x10，y3015、 【提示】311 4，_811_ 4，5 由于811介于 4 与 5 之间，则其整数部分 x？小数部分y？ x4，y 411 【答案】 5【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了（三）选择题： （每小题3 分，共 15 分）16、 【答案】 D【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A） 、 （C）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义17、 【提示】xy0，xy0， xy0222yxyx2)(yx|xy|yx222yxyx2
29、)(yx |xy| xy 【答案】 C【点评】本题考查二次根式的性质2a|a|18、 【提示】 ( xx1)24( xx1)2，( xx1)2 4( xx1)2又0x1，xx10，xx10 【答案】 D【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质（A）不正确是因为用性质时没有注意当0x1 时， xx1 019、 【提示】3a2aaa2a|a|a aa 【答案】 C20、 【提示】a0， b0，a0， b0并且 a2)(a， b2)(b，ab)(ba【答案】 C 【点评】本题考查逆向运用公式2)(aa（a0）和完全平方公式注意（A） 、 （ B）不正确是因为a0，b0 时，a、b都没有意义（四）
30、计算题： （每小题6 分，共 24 分）21、 【提示】将35看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式【解】原式 (35)22)2(521532621522、 【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式【解】原式1116)114(5711)711(479)73(241111737123、 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式【解】原式（a2mnmabmnmnnm）221banm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 21bnmmnmab1nmmn22bmannmnm21ba
31、b1221ba2221baaba24、 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分【解】原式baabbaba)()()()(babaabbabababbbaaababa)(2222babaabbababbabaababa)()(baabbabaabba【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐（五）求值： （每小题7 分，共 14 分）25、 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值【解】x23232)23(526，y23232)23(526xy10，xy46， xy52( 26)2132234232yxyxyxxyx22)()(yxyxyxyxx)(
32、yxxyyx10164652【点评】本题将x、 y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“xy” 、 “xy” 、 “xy” 从而使求值的过程更简捷26、 【提示】注意：x2a2222)(ax，x2a2x22ax22ax（22axx） ， x2 x22ax x（22axx） 【解】原式)(2222xaxaxx)(22222xaxxaxx221ax)()()2(22222222222xaxaxxxaxxaxxaxx)()(22222222222222xaxaxxxaxxaxaxxx=)()(222222222xaxaxxaxxax)()(22222222xaxaxxxaxaxx1当 x12时，原式
33、211 12 【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便即原式)(2222xaxaxx)(22222xaxxaxx221ax)11(2222axxax)11(22xxax221axx1六、解答题： （每小题8 分，共 16 分）27、 【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算【解】原式（251） （1212232334349910099100）（ 25 1） （12）（23）（34）（99100） （ 25 1） （1100）9（251） 【点评】本题第二个括号内有99 个不同分母，不可能通分这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每精选学习资料 - -
34、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 一项转化成两数之差，然后逐项相消这种方法也叫做裂项相消法28、 【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？. 014041xx你能求出x， y 的值吗？.2141yx【解】要使y 有意义，必须014041xx，即.4141xxx41当 x41时， y21又xyyx2xyyx22)(xyyx2)(xyyx|xyyx|xyyx|x41，y21，yxxy原式xyyxyxxy2yx当 x41，y21时，原式 221412 【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
