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1、学习必备欢迎下载高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”, “微积分”, “常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时,要着眼于提高学生的数学素质,培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章:函数与极限教学目的与要求1.解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性
2、、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。第
3、一节:映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法:用A,B,C, D 表示集合;用a, b,c,d 表示集合中的元素1),321aaaA2)PxxA的性质元素与集合的关系:AaAa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 49 页学习必备欢迎下载一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集 ;不是有限集的集合称为无限集 。常见的数集:N,Z,Q,R,N+元素与集合的关系:A、B 是两个集合,如果集合A 的元素都是集合B 的元素,则称A 是 B的子集 ,记作BA。
4、如果集合A 与集合 B 互为子集,则称A 与 B 相等 ,记作BA若作BA且BA则称 A 是 B 的真子集 。空集:A2、 集合的运算并集BA:Ax|xBABx或交集BA:Ax|xBABx且差集BA:|BxAxxBA且全集 I 、E 补集CA:集合的并、交、余运算满足下列法则:交换律、ABBAABBA结合律、)()(CBACBA)()(CBACBA分配律)()()(CBCACBA)()()(CBCACBA对偶律(cccBABA)cccBABA)(笛卡儿积AB|),(ByAxyx且3、 区间和邻域开区间),(ba闭区间ba,半开半闭区间baba,有限、无限区间邻域:)(aU),(axaxaUa
5、邻域的中心邻域的半径去心邻域),(aU二、映射精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 49 页学习必备欢迎下载1.映射概念定义设 X,Y 是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X 中的每一个元素x,按法则f,在 Y 中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从 X 到 Y 的映射 ,记作YXf:其中y称为元素x的像,并记作)(xf,即)(xfy注意: 1)集合 X;集合 Y;对应法则f2)每个 X 有唯一的像;每个Y 的原像不唯一3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数的概念:定义:设数集RD,则称映射RDf
6、 :为定义在D 上的函数记为Dxxfy)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用f、g、函数相等:定义域、对应法则相等自然定义函数;单值函数;多值函数、单值分枝. 例: ) 2) x3) 符号函数010001xxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 49 页学习必备欢迎下载4) 取整函数xy(阶梯曲线)5) 分段函数11102xxxxy2、 函数的几种特性1) 函数的有界性(上界、下界;有界、无界) 有界的充要条件:既有上界又有下界。注:不同函数、不同定义域,有界性变化。2) 函数的单调性(单增、单减)在x1、x2点比较函
7、数值)(1xf与)(2xf的大小(注:与区间有关)3) 函数的奇偶性(定义域对称、)(xf与)( xf关系决定 ) 图形特点(关于原点、 Y 轴对称 ) 4)函数的周期性(定义域中成立:)()(xflxf) 3、反函数与复合函数反函数 :函数)(:DfDf是单射,则有逆映射xyf)(1,称此映射1f为f函数的反函数函数与反函数的图像关xy于对称复合函数 :函数)(ygu定义域为D1,函数)(xfy在 D 上有定义、且1)(DDf。则)()(xfgxfgu为复合函数。(注意:构成条件) 4、函数的运算和、差、积、商(注:只有定义域相同的函数才能运算) 5、初等函数:精选学习资料 - - - -
8、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 49 页学习必备欢迎下载1) 幂函数:axy2)指数函数:xay3) 对数函数)(logxya4)三角函数)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5) 反三角函数)arcsin(xy,)ar c c o s (xy)cot()arctan(xarcyxy以上五种函数为基本初等函数6) 双曲函数2xxeesh x2xxeec h xxxxxeeeechxshxthx注:双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式shyshxchychxyxchshyshxchychxyxchshychxchyshxyxs
9、hshychxchyshxyxsh)()()()(反双曲函数:arthxyarchxyarshxy作业 : 同步练习册练习一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 49 页学习必备欢迎下载第二节:数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。1)这个序列中的每个数都编了号。2)序列中有无限多个成员。一般写成:naaaaa4321缩写为nu例 1 数列n1是这样一个数列nx,其中nxn1,5, 4, 3, 2, 1n也可写为:514131211可发现:这个数列有个趋势,数值越来越小,无限接近0,记为01limnn1、极限的N定义 :a
10、xNnNn0则称数列nx的极限为a,记成axnnl i m也可等价表述:1))(0axNnNn2))(0aOxNnNn极限是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没有关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 49 页学习必备欢迎下载二、 收敛数列的性质定理 1:如果数列nx收敛,那么它的极限是唯一定理 2 如果数列nx收敛,那么数列nx一定有界定理 3:如果axnxlim且 a0(a0 ,当 nN 时,)0(0nnxx定理 4、如果数列nx收敛于 a那么它的任一子数列也收敛 ,且收敛于a。第三节:函数的极限一、极
11、限的定义1、在0x点的极限1)0x可在函数的定义域内,也可不在,不涉及f在0x有没有定义,以及函数值)(0xf的大小。只要满足:存在某个0使:Dxxxx),(),(0000。2)如果自变量x趋于0x时,相应的函数值)(xf有一个总趋势 - 以某个实数A为极限,则记为:Axfxx)(lim0。形式定义为:Axfxxx)()0(00注:左、右极限。单侧极限、极限的关系2、x的极限设:),()(xxfy如果当时函数值有一个总趋势- 该曲线有一条水平渐近线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 49 页学习必备欢迎下载Ay- 则称函数在
12、无限远点有极限。记为:Axfx)(lim在无穷远点的左右极限:)(lim)(xffx)(lim)(xffx关系为:)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx二、函数极限的性质1、 极限的唯一性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节:无穷小与无穷大一、无穷小定义定义:对一个数列nx,如果成立如下的命题:nxNnN0则称它为无穷小量,即0limnxx注:1、的意义;2、nx可写成0nx;),0(nx3、上述命题可翻译成:对于任意小的正数,存在一个号码N,使在这个号码以后的所有的号码n,相应的nx与极限 0 的距离比这个给定的还小。它是我们
13、在直观上对于一个数列趋于0 的认识。定理 1 在自变量的同一变化过程0xx(或)x中,函数xf具有极限A 的充分必要条件是Axf)(,其中是无穷小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 49 页学习必备欢迎下载二、无穷大定义一个数列nx,如果成立:GxNnNGn0那么称它为无穷大量。记成:nxxlim。特别地,如果GxNnNGn0,则称为正无穷大,记成nxxlim特别地,如果GxNnNGn0,则称为负无穷大,记成nxxlim注:无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理 2 在自变量的同一变化过程
14、中,如果)(xf为无穷大,则)(1xf为无穷小;反之,如果)(xf为无穷小,且0)(xf则)(1xf为无穷大即:非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系:当0nx时:有nxxx1lim0lim01limlimnxxx注意是在自变量的同一个变化过程中第五节:极限运算法则1、无穷小的性质设nx和ny是无穷小量于是:(1)两个无穷小量的和差也是无穷小量:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 49 页学习必备欢迎下载0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx( 2)对于任意常数C,数列nxc也是无穷小量:0)(lim0limnxnx
15、xcx( 3)nyxn也是无穷小量,两个无穷小量的积是一个无穷小量。0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx( 4)nx也是无穷小量:0lim0lim00nxxnxxxx( 5)无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算1、 若函数f和g在点0x有极限,则)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx2、 函数f在点0x有极限,则对任何常数a成立)(lim)(lim00xfaxfaxxxx3、若函数f和g在点0x有极限,则)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx3、 若函数f和g在点0x有极限,并且0)(lim0xgxx,则
16、)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点0x有极限例:求下述极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 49 页学习必备欢迎下载4、复合函数的极限运算法则定理 6 设函数)(xgfy是由函数)(ufy与)(xgu复合而成,)(xgf在点0x的 某去心邻域内有定义,若0)(lim0uxgxx,Aufuu)(lim0,且存在00,当),(000xux时,有0)(uxg,则第六节:极限存在准则两个重要极限定理 1 夹逼定理:三数列nx、ny和nz,如果从某个号码起
17、成立:1)nnnzyx,并且已知nx和nz收敛,2)nxnxzaxlimlim,则有结论:aynxlim定理 2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛;单调减少有下界的数列一定收敛。93lim23xxx4532lim21xxxx357243lim2323xxxxx52123lim232xxxxx12352lim223xxxxxxxxsinlimAufxgfuuxx)(lim)(lim00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 49 页学习必备欢迎下载例:证明:1sinlim0xxx例:xxxtanlim020co
18、s1limxxxxxxarcsinlim0证明:xxx)11(lim有界。求xxx)11(lim的极限第七节:无穷小的比较定义:若,为无穷小且1lim0lim0limlim0limccK高 阶 、 低 阶 、 同 阶 、k 阶、等价1、若,为等价无穷小则)(2、若1、1且11lim存在,则:11limlim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 49 页学习必备欢迎下载例:xxx5sin2tanlim0xxxx3sinlim301cos1)1(lim3120xxx第八节:函数的连续性与间断点一、函数在一点的连续性函数f在点0x
19、连续,当且仅当该点的函数值)(0xf、左极限)0(0xf与右极限)0(0xf三者相等:)0()()0(000xfxfxf或者:当且仅当函数f在点0x有极限且此极限等于该点的函数值。)()(lim00xfxfxx其形式定义如下:)()()(000xfxfxxx函数在区间( a,b)连续指:区间中每一点都连续。函数在区间 a,b连续时装意端点。注:左右连续,在区间上连续(注意端点 ) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点若:)0()()0(000xfxfxf中有某一个等式不成立,就间断,分为:1、 第一类间断点:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
20、 - - - -第 13 页,共 49 页学习必备欢迎下载)0()0(00xfxf即函数在点的左右极限皆存在但不相等,曲线段上出现一个跳跃。2 、第二类间断点0x:左极限)0(0xf与右极限)0(0xf两者之中至少有一个不存在例:见教材第九节:连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算1.)()(lim00xfxfxx且)()(lim00xgxgxx,)()()()(lim000xgxfxgxfxx2)()(lim00xfxfxx且)()(lim00xgxgxx,)()()()(lim000xgxfxgxfxx3. )()(lim00xfxfxx且0)()(lim00xgxgxx,
21、)()()()(lim000xgxfxgxfxx反函数连续定理:如果函数fDxxfyf)(:是严格单调增加(减少)并且连续的,则存在它的反函数1f:fDyyfx)(1并且1f也是严格单调增加(减少)并且连续的。注:1)反函数的定义域就是原来的值域。2)通常惯用X 表示自变量,Y 表示因变量。反函数也可表成1)(1fDxxfy复合函数的连续性定理:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 49 页学习必备欢迎下载设函数f和g满足复合条件gfD,若函数g在点 x0连续;00)(uxg,又若f函数在点0u连续,则复合函数gf在点0x连
22、续。注:复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换:)(lim()(lim00xgfxgfxxxx从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合,得到的种种函数统称为初等函数,并且:初等函数在其定义区间内连续。第十节:闭区间上连续函数的性质一、最大、最小值设函数:Dxxfy, )(在上有界,现在问在值域DxxfyyD),(1中是否有一个最大的实数?如果存在,譬如说它是某个点Dx0的函数值)(00xfy,则记)(max0xfyDx叫做函数在D 上的最大值。类 似 地 , 如 果fD中 有 一 个 最 小 实 数 , 譬 如 说 它 是 某 个 点fDx2的 函 数 值)(22xfy,则记)
23、(min2xfyfDx称为函数在上的最小值。二、有界性有界性定理:如果函数f在闭区间ba,上连续,则它在ba,上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理:如果函数f在闭区间ba,上连续则它在ba,上有最大值和最小值,也就是说存在两个点和,使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 49 页学习必备欢迎下载baxfxff, )()()(亦即)(min)(,xffbax)(m ax)(,xffbax若 x0使0)(0xf,则称 x0为函数的零点零点定理:如果函数f在闭区间ba,上连续,且f在区间ba,的两个端点异号:0)(*)(
24、bfaf则至少有一个零点),(ba,使0)(f中值定理:如果函数f在闭区间ba,上连续,则f在ba,上能取到它的最大值和最小值 之间的任何一个中间值。作业:见课后各章节练习。第二章导数与微分教学目的与要求22 学时1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n 阶导数。4、会求分段函数
25、的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。一、导数概念(00)1、定义xylim)(xf0x0/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 49 页学习必备欢迎下载00xx000xxx)f( xf( x)limx)f(x)xf(xlim0xf(x)xf(xlim(x)f0x/左导数00xx000x/-x-x)f(xf(x)limx)f(x)xf(xlim(x)f0-右导数00xx000x/x-x)f(xf(x)limx)f(x)xf(xlim(x)f0A)(xf)(xfA)(xf0/0/-0/
26、可以证明:可导连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。左右导数 (注:与左右极限关系) 2、导数的几何意义曲线xfy在点00y,x处切线:00/0xxxfyy例 1:讨论0 x00xx1xsin)x(f在 x=0 处可导性解:f(0)0x1xsinlimf(x)lim0x0xf(x)在 x = 0 连续x1sinlim0-xf(0)-f(x)lim0x0x不存在f(x)在 x = 0 不可导例 2:已知)(xf0/存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 49 页学习必备欢迎下载则h)f(x-2h)f(xlim0
27、00h)(x2f0/h)f(x-h)5f(xlim000h)(xf 50/hhxfhxfh)()3(lim000=h)f(x-h)f(xh)f(x-h)3f(xlim00000h)(xf40/例 3:设函数f(x)可微,则x(x)f-)x(xflim220x(x)2f(x)f/例 4:设0xbaxxxx)x(f02为使f(x)在 x = x0处可导,应如何选取常数a、b 解:首先f(x)必须在 x0连续202xxxxxxlimf(x)lim-0-0baxbaxlimf(x)lim0xxxx0020xbax0202xx00xx/-x-xxxlimx-x)f(xf(x)lim(x)f0000xx2
28、xxxlim0ax-xax-axlimx-xx-baxlimx-x)f(xf(x)lim(x)f00xx020xx00xx/000(由得)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 49 页学习必备欢迎下载)(xf0/存在0x2a从而20xb例 5:f(x)= x (x-1)(x-2) (x-9) , 则0f/! 90-xf(0)-f(x)lim(0)f0x/!99)(x2)1)(x(xlim0x例 6:设f(x)在 x = 0 领域内连续,21x1f(x)lim0x,则(0)f/10f(x)limf(0)0x(分母 0)xf(
29、x)lim0-xf(0)-f(x)lim(0)f0x0x/1212x1x11-x1f(x)lim0x例 7:设函数f (1+x) = a f ( x ) ,且b(0)f/(a , b 0),问(1)f/存在否 ? 解:cxaf(0)-x)af(limxf(1)-)xf(1lim(1)f0x0x/ab(0)afxf(0)-x)f(alim/0x二、导数的求法1、显函数导数求一个显函数的导数需解决:基本初等函数导数(P64); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 49 页学习必备欢迎下载导数四则运算法则(P65); 复合函数与
30、反函数求导法则(P66) 。定理:xu在 X有导数dxdu,ufy在对应点 u 有导数dudy,则复合函数xfy在 X处也有导数,xufdxdududydxdy/。例 1:12xxsiny2求/y解:12xcos4xx12xsiny22/例 2:2x1lny求/y解:2x1ln21y22/x1xx12x21y例 3:xarctgy求/y解:x21x11y /例 4:x1arctgay求/y解:x1arctg222x1arctg/ax1lnax1x111lnaay例 5:12xlny3求/y解:12x212x3lny2/例 6:xxxy求/y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
31、归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 49 页学习必备欢迎下载解:x211xx211xxx21y/例 7:sinxxy求/y解:lnxsinxeylnxcosxxsinxxysinx/例 8:abxxabbxay求/y解:1ax1abxb/axlnbbxalnbblnaayabx例 9:1eelny2x2x求/y解:1eln21x1elnlne21y2x2x2x2x2x2x/e111e2e21-1y高阶导数、二阶:xxfxxflimxxdxyd0/0/0x02200/xxxxxfxflim0例 10:2xefy,lnxxf/求dxdy解:dxdedeedfdxdy2x2x2x2
32、x2x/2eef2x2x2elne2x4xe先讲微分(后页)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 49 页学习必备欢迎下载2、隐函数导数参数方程导数如方程 F(x, y)=0 确定了 y=y(x) ,只需方程两边对x 求导,注意y=y(x) 例 10:求下列隐函数的导数(1)设0yxcosysinx求/y解:方程两边对x 求导,0y1yxsinycosxsinxy/sinxyxsinyxsinycosxy/(2)设xyy是由方程01xylnexy所确定的隐函数,求0y/解:由原方程知当x=0 时,e1y,方程两边对x 求导。
33、0x11yyxyye/xy,将 x=0,e1y代入得:010eye1/e11e10y/(3) xyy是由方程exyey所确定的隐函数, 试求0y/,0y/。解: 方程两边对x 求导:0xyyye/y方程两边再对x 求导:0xy2yyeye/2/y/y由原方程知,当0x时,1y,代入得e1)0(y/再将0x,1y,e1)0(y/代入式,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 49 页学习必备欢迎下载得2/e1)0(y (4)设1ty1ex3t2求22dxyd,dxdy解:t22t22et23e2t 3dtdxdtdydxdyt2
34、t22t222e21)et2te2(23dtdxdtdxdyddxdxdyddxydt4e) t1( t23 (5) 设)(xyy是由方程组01tsiney3t2txy2所确定的函数,求:dxdy。解:tsine1tcosedtdy0dtdytsinetcosedtdy2t2dtdxyyyy) tsine1)(1t (2tcosedtdxdtdydxdyyy3、分段函数的导数1)设),1a,0a(0x,xxsin0x,a21aa2)x(fx求:)x(f/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 49 页学习必备欢迎下载解:当2/
35、x/xxsinxcosx)x(f,0xaalna2)x(f,0xx1a21aa2lim0x)0(f)x(flim)0(fx0x0x_/alna2x) 1a(a2limx0xx1xxsinlimx)0(f)x(flim)0(f0x0x/0x21xcoslimxxxsinlim0x20x)0(f)0(f/)0(f/不存在,故00)(/xxxf高阶导数( n 阶)略,例32)3x()1x2(xy)6(y!642) 设)x(f在(,)上具有二阶连续导数,且0)0(f,对函数ax)x(f)x(g0x0x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页
36、,共 49 页学习必备欢迎下载(1) 确定a的值,使)x(g在(,)上连续(2) 对( 1)中确定的a,证明)x(g在(,)上一阶导数连续解:)0(fx)0(f)x(flimx)x(flim)x(glima/0x0x0x即当),0(fa/)x(y在0x连续,也就是在(,)连续x)0(fx)x(flimx)0(g)x(glim)0(g/0x0x/2)0(f2)x(flimx2)x(flim/0x/0x而2/0x/0xx)x(f)x(xflim)x(glim0g2)0(flimx2)x(f)x(f)x(xflim/0x/0xxg/在0x连续 ,即在,连续三、微分dx)x(fx)x(fdy)x(fy
37、/一阶微分形式不变)u(fydu)u(fdy/(u自变量)如)u(fy)x(udu)u(fdx)x()u(fdy/(u中间变量 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 49 页学习必备欢迎下载例:2xey,dxxe2dy2x,dxxe2dxedy22x2x可导可微第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1 掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性
38、,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。4 握用洛必达法则求未定式极限的方法。5 道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。6 了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理,泰勒公式(放入泰勒级数中讲)1罗尔定理如xf满足:(1)在b, a连续 . (2)在b,a可导 . (3)bfaf则至少存在一点b, a使0f/例设1x31x21xxxg,则在区间( -1,0)内,方程0xg/有 2 个实根;在(-1, 1)内0xg/有 2 个根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 49 页学习必备欢迎下载例
39、设xf在0 , 1 可导,且01f0f,证明存在1, 0,使0ff/。证:设xxfxF在a,b可导,1F0F存在1 ,0使0F/即0ff/例设xf在0 ,1 可导,且01f0f, 证明存在0FF/。解: 设xfexFx,且1F0F由罗尔定理存在使0F/即0fefe/,亦即0ff/例习题 6 设xgexfxF(复合函数求导)2、拉格朗日中值定理如xf满足:在 a,b连续;在( a,b )连续,则存在b,a使abfafbf/。推论:如果在区间I 上0xf/,则cxf 如果在区间I 上)0(0xf/,xf在单增(减)例对任意满足1x的 x,都有4xarcsin21x1x1arctg精选学习资料 -
40、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 49 页学习必备欢迎下载设xarcsin21x1x1arctgxf0x1121x12x1x121x1x111xf22/0x121x12x1x12x121222cxf40f4xf例设0x,证明xx1lnx1x求导证明作业:见各章节课后习题。二、洛必达法则未定形:如下的函数极限都是未定形。1、00型:如:xxxxxtansinlim0型:2、型:如:0lnlimaxxax3、0型:如:0lnlimaxxax4、型:如:)1sin1(lim0xxx5、00型:如:xxxarctan0lim6、0型:如:xxct
41、gxln10)(lim7、1型:如:210)sin(limxxxx它们的计算不能用函数极限的四则运算法则,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 49 页学习必备欢迎下载且它们只表示类型,没有具体意义。 1、00()型的洛必达法则ax( 同理x) 定理:对函数和,如果:(1)0)(lim)(xfxax, 0)(lim)(xgxax(2)在某个邻域),(aN内(Xx后)有导数f和g,且0)( xg;(3))( )( lim)(xgxfxax存在(或无穷) ,则成立:)()(lim)(xgxfxax=)( )( lim)(xgxf
42、xax例: 1) bxaxxsinsinlim02)30sinlimxxxx3) 123lim2331xxxxxx例: 1) xxx12arctanlim2) nxxxlnlim3) xnxexlim (0) 3、其它类型1) 011,002) 000001013)0(0ln0ln00型yy 4) 0,1yy解法同 3)例 : 1) )0(lnlim0nxxnx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 49 页学习必备欢迎下载2) )tan(seclim2xxx3) xxx0lim4) xxxxxsintanlim202、函数的
43、最大值与最小值(1)求出ba,内可能的极值点,不需判别极大还是极小,求出它们的函数值,再与端点的函数值进行比较,其中最大的(小)为最大(小)值。(2)在ba,内可能极值点唯一,如是极小值则为最小值;如是极大值则为最大值。(3)如)()(),0(0bfaff分别为最小 , 最大值。(4)实际问题据题意可不判别。例1、在抛物线2x4y上的第一象限部分求一点P,过 P点作切线,使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解:设切点为yxP,切线方程为xXx2x4Y2即三角形面积:,32x0(x)S/14xY2x4xX222x0),x168x(x412x4)(x21S(x)322)x16-8(3x41(x
44、)S22/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 49 页学习必备欢迎下载38y,32x令0)32(S/(唯一))3832(,故为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在 I 上xf可导如00xf/则曲线xfy是凹(凸)的 , 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点0xf/和xf/不存在的点例1、231xxxf设,试讨论xf的性态。4/32/x1)-6(x(x)f,x2)(x1)-(x(x)f1x, 0(x)f-2,x1,x0(x)f/x (- ,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) y+
45、0 - 间断+ 0 + y- - - - 0 + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 49 页学习必备欢迎下载y 单调增上凸极大值2f427单减上凸单增上凸拐点(1,0) 单增下凸渐近线如af(x)limx则称ay为水平渐近线如f(x)lim0xx则称0xx为垂直渐近线渐近线可能没有,或多条。例 2、求2)1(12xxy渐近线(斜渐近线不讨论)解:0)1(12lim2xxx0y为水平渐近线21)1(12limxxx1x垂直渐近线例1、曲线)2)(1(xxxxy的渐近线有 4 条4 证明不等式(1)利用中值定理(R,L) ;
46、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 49 页学习必备欢迎下载(2)利用函数单调性;(3)利用最值;(4)引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式;(5)利用函数凹凸性;(6)利用泰勒公式。例1、当ba0,试即证:aababb1lnln1证:设xlny,在b,a连续,)b,a(可导,由拉格朗日中值定理)(1lnlnabab即baabab1lnlnaababb1lnln1例 2、设0x,证明xxxx)1ln(1证:设)x1ln(x)x(fxxxxf1111)(/aababbabln精选学习资料 - - - - - - - - -
47、 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 49 页学习必备欢迎下载)x(f单增,当0x0)0(f)x(f)x1ln(x设xxxxf1)1ln()(0)1(2)1 (111)(22/xxxxxf)x(f单增,当0x0)0(f)x(fxxx1)1ln(例 3、当0x证明xln1x2证:令)0x(xln1x)x(f2xxxf12)(2/令0)x(f/得21x驻点唯一,01)(2/xxxf)21(f极小)21(f为最小值即02ln212321)(0fxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 49 页学习必备欢迎下
48、载作业:见课后习题第四章不定积分教学目的与要求1理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。2 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法。3 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。一、 一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间上,如xfxF/,称xf为xF的导函数,称xF为xf的原函数,原函数与导函数是一种互逆关系。如xF为xf的一个原函数,则CxF为xf的全体原函数。记为f(x)dx,即f(x)dx=CxF不定积积分性质(1) f(x)f(x)dx(/或dxxff(x)dxd(2) CF(x)(x)dxF/(3)
49、 f(x)dxk f(x)dxk (4) g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)(原函数与导函数有互逆关系, 由导数表可得积分表。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 49 页学习必备欢迎下载例、已知xF是xxln的一个原函数,求:xsindF解:xlnx(x)F/cosxdxsinxlnsinxdsinxdsinxdF(sinx)dF(sin x)例、xf的导函数是xsin,则xf的原函数21cxcxsin, (1c、2c为任意常数 ) 例、在下列等式中,正确的结果是 C A、xf(x)dxf/ B 、f(x)df(
50、x)C、f(x)(x)dxfdxd D 、f(x)(x)dxfd例、)dxx1(1xx)dxx1(1xx241212dx)x-(x4543C4xx7441472、计算方法10换元法第一类换元法(凑微分法)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 49 页学习必备欢迎下载常用凑微分形式kdxdkxdxcxdxxdedxedlnxdxx1xsindxcosx1ddxx12xddxx21xtandxdxsec2sin xarcddxx-11222x1ddxx1x22x1ddxx-1x-xsinddxx2sin2xcosddxx2sin
51、2例:1、c2x3ln212x)d(32x3121dx2x312、c(lnx)32ln xdlnxdxxln x233、cxsin 41sin xd x sin xdxsin x cos4334、cx1x-1d21 xdx-1x2225、ce31d(-x)e31dxex3x-33x-3x-2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页,共 49 页学习必备欢迎下载21x二第二换元法定理 2 除了凑微分法外其它常用变量代换(1) 被积函数中含有二次根式22xa,令tsinax22xa,令ttanax22ax,令tsecax如是Cbxax2
52、配方221212212ua,au,au例 1、dxxx122令tdtcosdx, tsinx解:原式tdtcostsintcos2dt)1t(csctdtcot22CttcotCxarcsinxx12例 2、dx4xx122二种解法txsec2xxcos41 t x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页,共 49 页学习必备欢迎下载(2)被积函数中含一般根式例 3、32x1dx解:令dtt3dx2txt2x233原式dt)t111t (3dtt1t32C2x1ln32x32x23333220分部积分 如xu、xv均具有连续的导函
53、数,则vduuvdvu 例 1、xdsin xdx x xcosdxsin x -sin xx c x cossin xx 例 2、xxxdedxxedxexexxCexexx例 3、dxx2)(arcsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页,共 49 页学习必备欢迎下载dxx-11sin x2arcxsinxarcx2222x-1sinxdarc2sinxarcxdxx11x-1-sinxarcx12sinxarcx2222C2x-sinxarcx12sinxarcx22例 4、x1dln x dxxln x2dxx1xln
54、x2cx1-xln x40三角有理式积分dxcosxsinx,R令222t12tsinxt1t1cosxt2xtan2t12dtdx例:1) dxxxx)cos1(sinsin1222tan1tan2sinxxx2222tan1tan1cosxxx2tanxuduudx212 2) dxxx1ux1ududx2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页,共 49 页学习必备欢迎下载 3) 321xdxux32duudx23作业:见课后习题第五章定积分的概念教学目的与要求:1 解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿莱布尼茨公
55、式。2 解广义积分的概念并会计算广义积分。3掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、 引力、 压力和函数的平均值等)。一、定义及性质:n1iii0xbaxflimdxxf,ini1xmax注意 (1) 积分区间有限,被积函数有界; (2)与“分法”、 “取法”无关; (3)定积分的值与积分变量的选取无关babadttfdxxf; (4)xf在b,a有界是xf在b,a可积的必要条件,xf在b,a连续是xf在b,a可积的充分条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
56、 - - - -第 41 页,共 49 页学习必备欢迎下载:badxxf在几何上表示介于0y,xfy,ax,bx之间各部分面积的代数和。补充规定0dxxfaaabbadxxfdxxf 性质( 1)( 9) (1-7省略)其中 (8) 为估计定理:在b,a,Mxfm,则abMdxxfabmba (9)中值定理:如xf在b,a连续,ba,,使abfdxxfba例 1利用定积分几何意义,求定积分值4dxx1102上式表示介于0x, 1x, 0y, 2x1y之间面积例 2、 (估计积分值)证明21xx2dx32102证:2221x49xx2在1,0上最大值为49,最小值为2 21xx2132221xx
57、2132102二、基本定理牛顿莱伯尼兹公式 10变上限积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页,共 49 页学习必备欢迎下载基本定理:设xf在b, a连续,x为b,a上任意一点,则xadttfx是可导函数,且xfx即xaxfdttfdxd说明xadttf为xf的一个原函数。例 3、已知dtexFx0t12,dtexF22x0t2, 1cosxt32eFsinxcosxt4dtexF2, x05dtttfxF, x06dttxfxF,x07dttftxxF求:9,2,1,ixFi解:xcos3x2x1242sinxexF2xexF
58、exFxxfxFsinxecosxexF5xcosxsin422xxfdttfxFx06x0x0x0/7dttfdtttfdttfxxF例 4、30x41cosx0x4xsinxcosxlncosxlimxtlntdtlim20x0x0xxlncosxlimxsinxlimcosxlim41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页,共 49 页学习必备欢迎下载co sx2xsinxlim410x81例 5、22x0tdte1ty有极大值的点为 D A.1x B.1x C. 1x D. 0x例 6、如dtt11dtt11xFx102x
59、020x,则xFB A.0B.2C. 31D.e2例4、设xf在,上连续,且dttft2xxFx0, 证明:若f(x) 为偶函数,则F(x)也是偶函数。证:tdtfu2xutdttft2xxFx0x0dttft2xx0xF20定积分计算牛顿莱伯尼兹公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页,共 49 页学习必备欢迎下载设xF在b, a连续。xF为xF在b, a上的任意一个原函数,则有F(a)F(b)F(x)f(x)dxbaba定积分换元法与分部积分法30奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质(1) xf在a,a连续,0a当x
60、f为偶数,则a0a-af(x)dx2f(x)dx当xf为奇函数,则0f(x)dxa-a(2) T0Taaf(x)dxf(x)dx,xf以 T 为周期说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。例 9、e4)dxe-)(exx(11-1x-x2001原式10x-x)dxe-x(e210x-x)e-xd(e210xx)ex(e2e4例 10、222022dxxsin1 xcosdxx2sinxcos xcos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 45 页,共 49 页学习必备欢迎下载2x2arctansindsin xxsin1120202
61、第六章定积分应用1平面图形面积( ) 直角坐标:ba2112)x (f) x(fbadx)x (f) x(fs)y ()y(dcdy)y()y(21dc12例 1:求抛物线3x4xy2及其点)3,0(和)0, 3(处的切线所围成图形的面积解:4x2yK在)3,0(点处,4K1,切线方程3x4y在)0,3(点处,2K2,切线方程6x2y6x2y3x4y得交点3,23dxxxxS2302)34(34dxxxx3232)34(62精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 46 页,共 49 页学习必备欢迎下载32322302)96(dxxxdxx4
62、98989(ii )极坐标ddS)()(21)()(2121222122例 2、求由曲线2cos,sin22所围图形公共部分的面积解:两曲线的交点65,22,6,2260462d2cos21dsin2212Sd)2cos1(60+46d2cos21362sin212sin2146602旋转体体积由bx,ax),x(fy, 0y所围平面图形绕x轴旋转一周所生成的立体体积,ba2xdx)x(fV精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 47 页,共 49 页学习必备欢迎下载由dy, cy,0x),y( lx所围平面图形绕y旋转一周所得旋转体体积d
63、c2ydy)y(V30平面曲线弧长(1) 曲线:xfybxadxxf1sba2(2) tyytxxtdttytxs22(3) rrdrrs22例求下类平面曲线的弧长1.曲线2x1lny相应于21x0的一段2.心形线cos1ar的全长0a3.摆线tsintytcos1x2t0的一拱解: 1. 2x1x2y222x1x1y1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 48 页,共 49 页学习必备欢迎下载dxx1x1s21022dxx11x111210210x1x1ln213ln212. sinar22rrdaaaa222222sincoscos22cosa2cos1a220d2cosa2S20d2cosd2cosa2202sin22sin2a2a8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 49 页,共 49 页