2022年反比例函数拓展应用

《2022年反比例函数拓展应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年反比例函数拓展应用（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、学习必备欢迎下载教学内容内容讲解 1反比例函数：一般地，如果两个变量x、 y 之间的关系可以表示成y=kx（k?为常数， k0）的形式，那么称y 是 x 的反比例函数 2反比例函数的图象和性质利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质当k0 时，函数的图象在第一、三象限，?在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随 x 的增加是减小；当k0 时，?函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随 x 的增加而增大 3反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中， ?只有一个待定

2、系数k，确定了k 的值，也就确定了反比例函数因此，只需给出一组x、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式 4用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为：y=kx（k 0） ；?根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；由代入法解待定系数k 的值；把k 值代入函数关系式y=kx中例题剖析例 1 如果函数y=k222kkx的图象是双曲线，且在第二、四象限，?那么 k 的值是多少？分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=kx，且 k0，若图象在第二、 四象限，则 k0，故可求出k 的值解：由反比例函数定

3、义，得211221,200kkkkkk或所以 k=-1 ，这时函数为y=-1x评注： 函数 y=kxm反比例函数，则m=-1，k0；若 y=mkx是反比例函数，则m=1 ，k0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 2 函数 y=kx 和 y=kx（k0 时，图象经过一、三象限，当k0 时，图象在一、三象限，当k?0 时的图象是什么？当 k0）的图象交于点A，若取 k 为 1，2，

4、3， 20，对应的RtAOB的面积分别为S1， S2， S20，则 S1+S2+ +S20=_分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线， x 轴， ?正比例函数与垂线所围成的 RtAOB的面积是k 的一半解： 105评注： 若 k 取大于 0 的自然数1，2，3， n，则对应的RtAOB的面积分别为S1，S2，S3Sn，则 S1+S2+S3+ +Sn=(1)4n n例 4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1x的图象相交于A、 C两点， AB x 轴于 B，CD x 轴于 D（如图） ?， ?则四边形ABCD? 的面积为 _分析：易知四边形ABCD 是一平行四边形，故可知其面

5、积为S的 4 倍，为一常数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：函数 y=x 与 y=1x的图象交点A、C的坐标分别为（1， 1） ， （-1， -1 ） ，所以 AOB? 的面积等于12，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2评注： 理解反比例函数中的不变量k 的几何意义是解题的关键例 5 两个反比例函数y=3x， y=6x在第一象限内的图象如图所

6、示，点P1，P2，P3， P2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2005，纵坐标分别是1，3，?5，?，?共 2005 个连续奇数，过点P1，P2，P3， P2005分别作 y 轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q1（?x1，y1） ， Q2（x2，y2） ，Q3（x3，y3） ， Q2005（ x2005，y2005） ，则 y2005=_分析：解题关键是抓住点P1，P2，P3， P2005与点 P1，P2，P3， P2005的横坐标相同解：当点 P1，P2，P3，P2005在函数 y=6x的图象上， 它们的纵坐标分别取1，3，5，4009?时相应的

7、横坐标分别为6 6 6,1 3 5，64009Q1（x1，y1） ，Q2（x2，y2） ，Q3（x3，y3） ，Q2005（x2005，y2005）在函数y=3x的图象上， ?且这些点的横坐标分别与点P1， P2，P3， P2005的横坐标相同，点 Q2005横坐标是64009所以点Q2005的纵坐标是y2005=kx=34009624009评注： 本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题” 例 6反比例函数y=kx（k0）在第一象限内的图像如图所示，P为该图像

8、上任意一点，PQ垂直于 x轴，垂足为Q设 POQ 的面积为S，?那么 S的值与 k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S与 k之间的关系式；若没有关系，请说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析：因为SPOQ=12OQ PQ ，若设P 点坐标为P（x，y） ，则 OQ= x， PQ= y，又因为P?点在第一象限，所以x0，y0，因此可以得到SPOQ=12xy，而由 y=kx

9、可以得到xy=k，?于是可以确定 S与 k 的关系式解： S与 k 之间的关系式为S=12k，设 P点的坐标为P（x，y） ，则 OQ= x， PQ= y点 P在第一象限内，x0，y0，OQ=x ，PQ=y SPOQ=12OQ PQ=12xy又 xy=k， SPOQ =12k评注： 反比例函数的系数k 与过双曲线上的点作x 轴、 y 轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关系在解题中作用很大，要熟练掌握例 7如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4 的图像相交于P、?Q两点，并且 P点的纵坐标是6（1）求这个一次函数的解析式；（2）求 POQ 的面积分析：由已知条件P 点的纵坐

10、标是6，而点P在反比例函数y=12x上，可以求得P?点的横坐标为 x=2，即 P点坐标为（ 2，6） 又 P点也在一次函数y=kx+4 上，把点（ 2，6）?代入即可求出一次函数的解析式，?POQ 的面积可以分成PON 与 QON 两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到解： （1）点 P在反比例函数y=12x的图像上，且其纵坐标为612x=6 解得 x=2， P（2，6） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - -

11、 - - - - - 学习必备欢迎下载又点 P在函数 y=kx+4 的图像上，6=2k+4，解得 k=1所求一次函数的解析式为y=x+4（2）解方程组12124,62122,6.,yxxxyyyx得点 Q的坐标为（ -6 ，-2） 令 y=0，代入 y=x+4，解得 x=-4 函数 y=x+4 的图像与x 轴的交点是N（-4 ，0） PON和 QON 的公共边ON=4 ，ON边上的高分别为PA=6 ， QB=2 SPOQ =SPON +SQON=1246+1242=16评注： 本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键例 8 为了预防流感，某学校对

12、教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与 x 成反比例（如图） 观测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 毫克， ?请根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）?药物燃烧时， ?y?关于 x?的函数关系式为_， ?自变量 x?的取值范围是 _；药物燃烧后y 关于 x 的函数关系式为_（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6 毫克时，学生方可进教室，?那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室（ 3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10?分钟

13、时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，?同时要学会看图形解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数设 y 与 x 的解析式为y=kx（k0）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载点（ 8，6）在直线上，6=8k， k=34，y 与 x 的解析式为y=34x（08） （2）将 x=1.6 代入反比例函数解析式中

14、y=481.6=30（分钟）答：从消毒开始，至少要经过30 分钟后学生才能回教室（3）把 y=3 分别代入两个函数解析式，解得x=4 和 x=16，而 16-4=1210 即空气中每立方米的含药量不低于3 毫克的持续时间为12 分钟，这次消毒有效评注： 本题通过具体问题情境，既考数学的应用，又考应用的数学?解答这类问题要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型例 9 某厂从 20XX年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：2001 2002 2003 2004 投入技改资金x（万元）2.5 3 4 4.5 产品成本y（万元 / 件）7.2

15、6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若20XX年已投入技改资金5 万元预计生产成本每件比20XX年降低多少万元？如果打算在20XX年把每件产品成本降低到3.2 万元， 则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到 0.01 万元）？分析：观察表格发现“投入技改资金x”与“产品成本y”的积不变， ?故表中数据满足反比例函数关系解： （1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当 x=2.5 时， y=7.2 ；当 x=3 时， y=6

16、7.22.52.46313.2kbkkbb解得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一次函数解析式为y=-2.4x+13.2把 x=4 时， y=4.5 代入此函数解析式左边右边，其不是一次函数同理，其也不是二次函数设其为反比例函数，解析式为y=kx当 x=2.5 时， y=7.2 可得 7.2=2.5k，得 k=18 反比例函数为y=18x验证：当 x=3 时， y=183=6，符

17、合反比例函数同理可验证： x=4时， y=4.5 ；x=4.5 时， y=4 成立可用反比例函数y=18x表示其变化规律（2）解：当x=5 万元时， y=185=3.6 4-3.6=0.4（万元），生产成本每件比20XX年降低 0.4 万元当 y=3.2 时， 3.2=18x，得 x=5.625 ，5.625-5=0.6250.63 （万元）还需投入0.63 万元评注 ：这是一道渗透新课程理念的好题它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付诸于具体实际的应用问题之中较好地考查了学生直觉思维能力和合情推理探索能力、建模能力和解决实际问题的能力例 1

18、0 已知，如图所示，正方形OABC 的面积为9，点 O为坐标原点，点A在 x 轴上， ?点 C在y 轴上，点B在函数 y=kx（k0，x0）的图像上，点P（m ，n）是函数y=kx上的任意一点，过P作x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC 不重合的部分面积为S（1）求 B点的坐标和k 的值； （ 2）当 S=92时，求点P的坐标；（ 3）写出 S关于 m的函数关系式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11

19、页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求， S矩形 OAGF 可用含 n 的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x 对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密解： （1）依题意，设B 点坐标为（ x0，y0） 所以 S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3 即 B（3， 3） ，所以 x0y0=k，k=9；（2） P（m，n）在 y=9x上， S正方形OEP1F=mn=9 ，所以 S矩形OAGF=3n，由已知可得S=9-3n=92，解得 n=32，m=6 ，?所以 P1（6，32） 如图（ a）所示，同理可求得P2（32，6）

20、 （3）如图（b）所示，当 0m3 时，因为点 P 坐标为（m，n） ，所以 S矩形OEGC=3m，S=S矩形OEPF-S矩形OEGC 所以 S=9-3m（0m3 ）如图（ c）所示，当m 3 时，因为P点坐标为（ m ，n）所以 S矩形 OAGF=3n，mn=9，n=9m，所以 S=9-3n=9-27m评注： 求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，?还应注意图形的分类讨论例 11 三个反比例函数（1）y=1kx； （2

21、） y=2kx； （3）y=3kx在 x 轴上方的图象如图所示，?由此推出 k1，k2，k3的大小关系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析：由图象所在的象限可知：k10，k30；在（ 2） （3）中，为了比较k 与 k 的大小，可取 x=a0， 作直线 x=a， 与两图象相交， 找到 y=2kx与 y=3kx的对应函数值b 和 c， 由于 k2=ab， k3=ac，而 cb0，

22、因而 k3k2k1解： k3k2k1评注： 比较反比例函数的系数k 的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、?三象限的 k 值比图象在二、四象限的k 值大，同一个象限内图象在外部的k?值比在内部的k 值大例 12 已知点（ 1， 3）在函数y=kx（ k0）的图象上，矩形ABCD 的边 BC在 x 轴上， E?是对角线 BD的中点，函数y=kx（k0）的图象经过A、 E两点，点E的横坐标为m （1）求 k 的值； （ 2）求点 C的横坐标（用m表示） ； （3）当 ABD=45 时，求m的值分析：由点P在反比例函数上，可以先求出k 值，利用对称性可以求出点C的坐标解： （1）因为点（ 1，3）在

23、函数y=kx（x0）的图象上，所以 3=1k，所以 k=3；（2）因为点E在函数 y=3x的图象上，所以E点的纵坐标为3m所以点E的坐标为（ m ，3m） ，?设 B点的坐标为（b，0） ，所以 A点的坐标为（b，6m） 因为 A点在函数y=3x的图象上， 所以6m=3b， 所以 b=2m 所以 C点的横坐标为OB+BC=b+2（m-b）=2m+2（m-2m）=2m+m=32m ；（3）当 ABD=45 时， AB =AD ，所以6m=32m-2m=m 所以m2=6，又因为m0 ，所以m=6名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选

24、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载评注 ：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系例 13 有一个 RtABC ， A=90， B=60， AB=1 ，?将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x 轴上，直角顶点A在反比例函数y=3x的图象上，求点C的坐标分析：通过画图可发现：点A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点 B、C的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对

25、称性解：本题共有4 种情况（ 1）如图，过点A做 AD BC于 D， AB=1 ， B=60， BD=12，AD=32，点 A 的纵坐标为32将其代入y=3x，得 x=2，即 OD=2在 RtADC中， DC=32，所以 OC=72，即点 C1的坐标为（72，0） （ 2）如图，过点A作 AE BC于 E则 AE=32，OE=2 ，CE=32，所以 OC=12即点 C2的坐标为（12，0） ? 根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为（ -72，0） ，点 C4的坐标为（ -12，0） 所以点 C的坐标分别为： （72，0） 、 （12，0） 、 （-72，0） 、 （-12，0） 评注： 根据题

26、意，进行分类，是解决本题的突破口此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能课堂总结：课后作业：课堂反馈： 非常满意 满意 一般 差学生签字：校长签字：_ 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -