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1、1第一章 集合与常用逻辑用语一集合的概念与运算1.常用数集：自然数集N；正整数集N*(或 N)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2.2.集合间的基本关系：A(B)BAABBABABA是的真子集是的子集与相等不是的子集(1)A 是 B 的子集：集合A 中的任意元素，都在集合B，记为 A? B(或 B? A)(2)A 是 B 的真子集：若A? B，且 AB， ，则说A 是 B 的真子集 .特殊的集合：空集，规定空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集若 A 含有 n 个元素，则A 的子集有2n个， A 的非空子集有2n1 个， A 的非空真子集合有2n2。3集合的运算有三种：交集、并集、补
2、集.(1)并集： AB集合 A 与 B 的所有元素构成，重复的只写一次(2)交集： AB集合 A 与 B 的相同元素构成(3)补集： ?UA集合 U 中除掉集合A 中的元素构成BABAA二命题及其关系、充分条件与必要条件1.四种命题：原命题：若P 则 q;否命题：若非P 则非 q，条件和结论都要否定；逆命题：若q 则 p,条件和结论交换位置；逆否命题：若非q 则非 p,对原命题先逆再否.2充分条件、必要条件与充要条件(1)“若 p，则 q”形式的命题为真时，记作p? q，称 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件即：集合A 是集合 B 的真子集，那么集合A 就是集合B 的充分不必要条
3、件，集合B就是集合A 的必要不充分条件.(2)如果既有p? q，又有 q? p，记作 p? q，则 p 是 q 的充要条件， q 也是 p 的充要条件 . 即：集合 A 与集合 B 的相同， A 就是集合B 的充要条件 .三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1逻辑联结词是：“或” 、 “且” 、 “非”(1)“或” 、 “且” 、 “ 非”的含义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页2“或 ”：只要满足一个就可以，等同于集合中的“ 交”运算 .“且 ”：两个都要满足，等同于集合中的“并”运算 .“非 ”：它的反面
4、.成立的非是不出来，不成立的非是成立，等同于“补”运算 .规律： p q 为真命 题 ，只需p， q 有一个 为真即可，p q 为真命 题，必须 p， q 同时为 真，若 P为 真， 则非 P 就假，若 P 为假，则非 P 就为真.2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题(1)短语 “所有的 ” “任意一个 ”这样的词语，一般在指定的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“? ”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“ 对 M 中任意一个x，有 p(x)成立 ”(2)短语 “存在一个 ” “至少有一个 ”这样的词语，都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词并用符号“?
5、”表示含有存在量词的命题叫做特称命题特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 ”.3含有一个量词的命题的否定命题命题的否定对 M 中任意一个x，有 p(x)成立存在 M 中的一个x0，使 p(x0)不成立存在 M 中的一个x0，使 p(x0)成立对 M 中任意一个x，有 p(x)不成立否命题、命 题的否定的区 别:否命题是条件和 结论都要否定，命题的否定只否定 结论，但是全称命题和特称命 题的否定按特殊的模式：量 词“ 存在和任意 ” 要否定和结论要否定 .p 或 q 的否定 为：非p 且非 q； p 且 q 的否定 为非 p 或非 q.第二章 函数和导数1函数的性质：1. 单调
6、性：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，若f(x1) f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；若f(x1) f(x2) ，则f(x) 在区间D上是减函数pqpqpq非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页3x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2oy=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211增函数减函数2奇、偶函数(1) 如果对D内的任意一个x，f( x) f(x)，则这个函数叫做奇函数图象关于原点对称(2) 如果对D内的任意
7、一个x，f( x) f(x) ，则这个函数叫做偶函数图象关于y轴对称 .奇函数图象偶函数图象3周期性 : 于函数yf(x) ，如果存在一个非零常数T，都有f(xT) f(x) 那么就称函数yf(x) 为周期函数，称T为这个函数的周期如正弦函数.二. 常见函数的图像和性质：1、特殊幂函数（1.）一次函数：y=kx+b解析式y=kx+b （k0）y=kx+b(k c,则|xa|xb|c 的解集为：空集，|x a| |xb|c 解集为： R；|ab若 c，则 |xa|xb|c（其中ab）的解集为：|ab|b+|x|x22aabab|xa|x b| c 的解集为：|b+|x|x,x22aabab或(5
8、)平方法： |f(x)|2222|f(x)|g(x)|(f(x)( (x) ;|f(x)|g(x)|(f(x)( (x)gg2.几个结论（1）若 f(x)=| xa|xb|，则函数的最小值为，函数没有最大值，函数图象为|ab|“倒梯形 ” ；（2）若 f(x)=| xa|-|xb|，则函数的最大值为，函数的最小值为-，|ab|ab|函数图象为 “Z”形；(3)若 f(x)=| xa|，则函数图象为“V”形.第七章解析几何一.直线方程1. 直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角范围是 0,，直线的斜率：BAkxxyykk,tan12122. 直线方程的几种形式：点斜式：； 斜截式：；两点式：；)(00
9、xxkyybkxy121121xxxxyyyy截距式：（求截距的方法：令x=0 或 y=0）;一般式：1byax0CByAx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页17特别地：直线垂直于x 轴；xa=90斜率 k不存在直线垂直于y 轴yb=0=斜率 k 0求直线方程的方法：待定系数法.3.两条直线的位置关系（1）平行：若斜率存在： l1：y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2有 l1l2k1=k2且 b1b2；若 l1：；l2：有 l1l2；1110A xB yC2220A xB yC111222ABCABC与直
10、 线 AxByC0(A2B20)平行直 线 方程 设： 为 AxBym0；（2）垂直：若斜率存在：l1： y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有 l1l2k1k2=-1特别的直线垂直 .xayb与与直 线 AxByC0(A2B20)垂直直 线 方程的 设法： 设为 BxAyn0.(3)相交：解方程组Error! 方程 组的解 为 交点坐 标.4.几个公式（ 1） 线段的中点坐 标公式若点 P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为 (x，y)，则Error!（ 2） 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)间的距离公式|P1P2|.
11、x1x2 2 y1y2 2特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离 |OP|.x2y2(3)点 P0(x0， y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d.|Ax0By0C|A2B2(4)两条平行线AxByC10 与 AxBy C20 间的距离为d.|C1C2|A2 B2二圆1.圆的定义及方程（1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆定点解是圆心，定长就是半径(2)圆的标准方程(1)方程 (xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为 (a， b)，半径为 r 的圆的标准方程(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2.(3)圆的一般方程方程 x2
12、y2DxEyF 0 可变形为22.故有：(xD2) (yE2)D2E24F4(1)当 D2E24F0 时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(D2，E2)D2E2 4F2确定 圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 ：(1)根据 题意，选择标 准方程或一般方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页18(2)根据条件列出关于a， b， r 或 D、 E、 F 的方程 组 ；(3)解出 a、 b、 r 或 D、 E、 F 代入 标准方程或一般方程2点 P(x0， y0)与圆 (xa)2(yb)2r2(r 0)的位置关系
13、(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆外；(2)若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2r2，则点 P 在圆内3.直线与圆的位置关系：位置关系有三种：相离、相切、相交（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：dr? 相交， dr? 相切，dr? 相离（2）直线与圆相关的最值问题：最大值为圆心到直线的距离加圆半径，最大值为圆心到直线的距离减圆半径.三椭圆1椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹 (或集合 )叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距2.椭圆的标准方
14、程和几何性质焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形定义12|MF |+|MF |=2a标准方程222210xyabab222210yxabab范围且axabyb且bxbaya顶点、1,0aA2,0aA、10, b20,b、10, aA20,aA、1,0b2,0b轴长短轴的长长轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于轴、轴、原点对称xy离心率22101cbeeaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页19特点x,y 的系数都是正，那个的分母大焦点就在那条轴
15、上3.三个技巧：(1)用待定系数法求 椭圆方程：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y轴上， 设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、 b、 c的方程 组，解出a2、 b2，从而写出椭圆的标准方程(2)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分 别为最大距离和最小距离，且最大距离 为 ac，最小距离为 ac.(3)求椭圆离心率 e时，只要求出 a， b， c 的一个 齐次方程，再结合 b2a2c2就可求得 e(0e1)四双曲线1. 定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点1F2F12F F的轨迹称为 双曲线 。这两个定点称为双曲线的焦点 ，两焦
16、点的距离称为双曲线的焦距4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形定义|)|2( ,2|2121FFaaMFMF标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab范围或，xaxayR或，yayaxR顶点、1,0aA2,0aA、10, aA20,aA轴长虚轴的长实轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy离心率2211cbeeaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页20渐近线方程byxaayx
17、b特点x,y 的系数一正一负，那个的分母为正数焦点就在那条轴上2.实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 双曲 线为 等轴双曲 线? 双曲 线的离心率 e2五抛物线1. 定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线其数学表达式：|MF| d(其中 d 为点 M 到准线的距离)7、抛物线的几何性质：22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p标准方程p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离图形顶点0,0对称轴轴x轴y焦点, 02pF, 02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2p
18、y离心率1e范围0x0x0y0y方程的记忆：一次项是谁焦点就在那一条轴上，一次项系数为正开口正方向，为负开口负方向 .第八章立体几何一空间几何体及三视图1. 两个概念(1) 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2) 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心（2）三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图
19、和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页21们的分界线，在三视图中，要注意能看到的轮廓线或边界画出实线、看不见的画出虚线或不画2. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积 =，表面积 =rl2222rrl圆椎侧面积 =，表面积 =rl2rrl（是柱体的底面积、是柱体的高） .13VSh柱体Sh（是锥体的底面积、是锥体的高） .13VSh锥体Sh球的半径是，则其体积, 其表面积R343VR24SR1()3VSSS Sh下下台体上上二. 位置关系 ：1.
20、空间两条直线的位置关系：位置关系：平行、相交、异面2. 直线与平面 :位置关系：在面内、相交、平行3. 平面与平面 :位置关系：平行，相交三 两个角一个距离1.异面直线所成的角：设a，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a a，b b，把 a与 b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b 所成的角 (或夹角 )范围：.求此角的方法：构造三角形，从而解三角形.(0，22. 斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.求此角的方法：构造直角三角形，解三角形3.点到平面的距离：构造三棱锥，用等积法.四两类证明1. 证明直线与直线平行的方法（1）三角形中位线（2）平行
21、四边形（一组对边平行且相等）2. 证明直线与平面平行的方法（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）（2）先证面面平行3. 证明平面与平面平行的方法平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行）4. 证明直线与直线垂直的方法（1）两直线不相交：转化为证明直线与平面垂直（2）两直线相交：构造三角形，用勾股定理证明此三角形是直角三角形.5. 证明直线与平面垂直的方法（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交 直线垂直）（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）6. 证明平面与平面垂直的方法
22、平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）第九章概率统计一.几个重要概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页221.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样（2）计算公式：各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni Nin N.2.频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各频 率组 距小长方形的面积表示各
23、小长方形的面积总和等于1.3. 茎叶图：要会看茎叶图，茎表示高位，叶表示低位.4. 线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线记为：yabx会利用回 归方程 进 行预测 :把预报 因子（即自变量 x）代入回归方程 对预报 量（即因变量 Y） 进行估 计，即可得到个体Y 值的容 许区 间。（2）独立性检验量K2 :K23.841 是判断是否有关系的临 界值,.随机变量越大，说明2K两个分类变量关系越强，反之越弱.二. 平均数、方差、标准差的计算平均数 :方差 :nxxxxn21)()()(1222212xxxxx
24、xnsn标准差 :)()()(122221xxxxxxnsn三. 概率的计算1. 古典概型（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个每个基本事件出现的可能性相等（2）古典概型的概率公式P(A)（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件A包含的基本事件的个数基本事件的 总 数表示出来，不重复、不遗漏）2. 几何概型（1）定义：事件A 理解为区域的某一子区域A，A 的概率只与子区域A 的几何度量 (长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型（2）几何概型中，事件A 的概率计算公式精选学习
25、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页23P(A)构成事件 A的区域 长 度 面积或体 积试验 的全部 结果所构成的区域长度 面积或体 积（ 几何概型的计算，转化为体积，面积，长度之比）第十章程序框图和复数一算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：框与框之间是按从上到下的顺序进行的，顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是
26、指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。与条件语气相对应。IF-THEN 格式IF-THEN-ELSE 含义：如果满足条件，那么执行语句体1 1，不满足条件，执行语句含义：如果满足条件，那么执行语句体体 2.3 循环结构：循环结构与循环语气相对应当型循环结构的含义是：当满足条件时循环，不满足条件输出。2） 、直到型循环结构的含义是：循环到满足条件为止二.复数1复数的有关概念(1)复数的概念形如 a bi(a， bR)的数叫复数，其中a，b 分别是它的实部和虚部若b0，则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若a0 且 b0，则 a bi 为纯虚数ABIF
27、条件THEN语句体END IF不成立P成立AIF 条件THEN语句体 1ELSE语句体2END IFA成立不成立PDO 循环体LOOP UNTIL 条件WHILE 条件循环体WEND精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页24(2)复数相等： abicdi? a c 且 bd(a，b，c， dR)(3)共轭复数： abi 与 cdi 共轭 ? ac；b d(a，b，c，dR)（4）复数 zabi 为纯虚数；0,0ab且复数 zabi 为实数=0b(5)复数的模：向量的模 r 叫做复数za bi(a，bR)的模，记作 |
28、z|或|abi|，即OZ|z|abi|.a2b2（6）复数 z、复平面上的点Z 及向量相互联系，即za bi(a，bR)? Z(a，b)?.OZOZ2.复数的运算：要会文字语言叙述设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法： z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法： z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法： z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：z1z2abicdiabicdicdicdi(cdi0)acbd bcad ic2d2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页
