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1、第二十二章第二十二章 曲面积分曲面积分习题课习题课复习曲面积分的计算法复习曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 思考题2. 基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分
2、的转化练习练习: :其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面原式 =记半球域为 ,高斯公式有1.计算为辅助面, 利用2.2.2.2.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 3.3. 计算曲面积分计算曲面积分其中,解解:思考思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .5.5. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式6.6.设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记 为平面上 L 所围部分的上侧, D为在 xo
3、y 面上的投影. 由斯托克斯公式D 的几何中心斯托克斯斯托克斯斯托克斯斯托克斯( Stokes ) ( Stokes ) 公公公公式式式式 7.7. 计算计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.解法解法解法解法2 2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答思考题解答思考题解答思考题解答: :(1)(2)计算其中L为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向.8.9. 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为设三角形区域为 , 方向向上, 则方法方法2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式
