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1、2. 2 平面向量的线性运算第 1 课时教学目标一、知识与技能1掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力 .3通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题2运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加
2、强对向量几何意义的理解三、情感、态度与价值观1通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识2体会数学在生活中的作用培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量教学难点：理解向量加减法的定义教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合学习方法： 数能进行运算， 向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看， 位移的合成、 力的合成可看作向量的加法借助于物理
3、中位移的合成、力的合成来理解向量的加法， 让学生顺理成章接受向量的加法定义结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法二、主题探究，合作交流提出问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
4、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图某对象从A 点经 B 点到 C 点，两次位移AB、BC的结果，与A 点直接到 C 点的位移AC结果相同力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.图（ 1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC 的方向伸长了EO；图（ 2）表示撤去F1和 F2，用一个力F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度改变力 F1与 F2的大
5、小和方向， 重复以上的实验，你能发现 F 与 F1、F2之间的关系吗？力 F 对橡皮条产生的效果与力F1与 F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F 叫做F1与 F2的合力合力 F 与力 F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F 在以 F1、 F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长数的加法启发我们，从运算的角度看，F 可以认为是F1与 F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法讨论结果： 1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记作a+b，即 a+b=AB+BC=AC求两个向量
6、和的运算，叫做向量的加法2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型（2）向量加法的平行四边形法则如图， 以同一点O 为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线OC就是 a与 b 的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加
7、法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型对于零向量与任一向量a，我们规定a+0= 0+ a= a提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思考 |a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？3.数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有 a+b=b+a， （a+b）+c=a+（b+c）
8、任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索讨论结果： 1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段2.当 a，b不共线时， |a+b|0 时， a 与 a 方向相同，当 0 时， a 的方向与a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向与a 的方向相反 由（1）可知， =0 时， a=0根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律实数与向量的积的运算律：设 、 为实数，那么（1） （ a） =（）a；（2） （ + ）a= a+ a；（3） （a+b）= a+ b特别地，我们有（- ）
9、a=- （ a）= （- a） ， （a- b）= a- b对问题， 向量共线的等价条件是：如果 a （a 0）与 b 共线， 那么有且只有一个实数 ，使 b= a推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a（a0 ） 、b，如果有一个实数 ，使 b= a，那么由向量数乘的定义，知a 与 b 共线反过来，已知向量a 与 b共线， a 0，且向量b 的长度是向量a 的长度的倍，即 |b|= |a|，那么当a 与 b 同方向时，有 b= a；当 a 与 b 反方向时，有b=- a关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a 0这一条件，上述条件成立吗？其目的
10、是通过0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量； （2）两个都为零向量； （3）同向且模相等； （4）同向且模不等； （5）反向且模相等； （6）反向且模不等讨论结果： 数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由 | | |a|确定它的几何意义是把向量a 沿 a 的方向或
11、 a 的反方向放大或缩小向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形三、拓展创新，应用提高例 1 计算：（1） （- 3） 4a；（2）3（a+b）- 2（a- b）- a；（3） （2a+3b- c）- （3a- 2b+c） 活动： 本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律 教学中， 点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于
12、任意向量a、 b， 以及任意实数 、 1、 2， 恒有 （1a 2b）=1a 2b解： （1）原式 =（- 3 4）a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b-a=5b；（3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b-2c点评： 运用向量运算的运算律，解决向量的数乘其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”例 2 如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三 点共线常用的方法 教学中可以先引导学生作图，通过观察图形
13、得到A、B、C三点共线的猜想， 再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共 线证明三点共线 本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成另外， 本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b 变化过程中， A、B、C 三点始终在同一条直线上的规律解：分别作向量OA、OB、OC过点 A、C 作直线 AC（如上图）观察发现，不论向量 a、b 怎样变化，点B 始终在直线AC上，猜想A、B、C 三点共线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页事实上，因为AB=OB-OA=a
14、+2b- （a+b）=b，而AC=OC-OA=a+3b- （a+b）=2b，于是AC=2AB所以 A、B、C 三点共线点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点 教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特例 3 如图，ABCD 的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，你能用 a、b 表示MA MB MC、和MD吗？活动：本例的解答要用到平行四边形的性质另外，用向量表示几何元素（点、 线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点解：在ABCD 中，AC=AB+AD=a+b，DB=AB-AD
15、=a- b，又平行四边形的两条对角线互相平分，MA=21AC=21（a+b）=21a-21b，MB=21DB=21（a- b）=21a-21b，MC=21AC=21a+21b，MD=MB=-21DB=-21a+21b点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键四、小结1让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件2体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化课堂作业13121（2a+8b）- （4a- 2b）等于（）A2a- bB2b- aCb- a D a-
16、b2设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与 e1+ke2共线，则k 的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页A1 B- 1 C 1 D0 3若向量方2x- 3（x- 2a） =0，则向量x等于（）A56aB- 6aC6aD56a4在ABC 中，AE=51AB，EFBC，EF 交 AC 于 F，设AB=a，AC=b，则BF用a、b 表示的形式是BF=_5在 ABC 中， M、N、P 分别是 AB、 BC、CA 边上的靠近A、B、C 的三等分点， O是ABC 平面上的任意一点， 若OA+OCOB=31e1
17、-21e2， 则OPONOM=_6已知 ABC 的重心为G，O 为坐标原点，OA=a，OB=b，OC=c，求证：OG=31（a+b+c） 参考答案：1. B 2. C 3. C 4- a+51b531e1-21e26连接 AG 并延长，设AG 交BC于 MAB=b- a，AC=c- a，BC=c- b，AM=AB+21BC=（b- a）+21（c-b）=21（c+b- 2a） AG=32AM=31（ c+b- 2a） OG=OA+AG=a+31（c+b- 2a）=31（ a+b+c） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
