2022年初二下期末几何压轴题及解析

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1、初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD 的边 AB 、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和 ADE ，连接 EB 、FD，交点为G（1）当四边形ABCD 为正方形时（如图1） ，EB和 FD的数量关系是 _；（2）当四边形ABCD 为矩形时（如图2） ，EB和 FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形 ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD 是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3 中求出 EGD的度数难度一般：证全等即可（第三问，图1 中就能看出是45。 ）解 （1） EB=FD 。 （2）EB=FD 。证： AFB为等边三角形, AF=AB

2、， FAB=60 ADE为等边三角形，AD=AE ， EAD=60 , FAB+BAD= EAD+ BAD 即 FAD= BAE, FAD BAE,EB=FD （ 3）解： ADE为等边三角形，AED= EDA=60 FAD BAE ， AEB= ADF 设 AEB为 x，则 ADF也为 x于是有 BED为（ 60-x ）， EDF为（ 60+x） EGD=180 - BED-EDF =180- （ 60-x ） - （60+x） =602、已知：如图，在ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交DC 的延长线于点F，连接 BF（1）求证： ABE FCE；（2）若 AF=A

3、D，求证：四边形ABFC 是矩形简单题证明： （1）如图 1在 ABE 和 FCE 中， 1=2， 3=4，BE=CE， ABE FCE（2） ABE FCE， AB=FCABFC，四边形ABFC 是平行四边形四边形ABCD 是平行四边形，AD=BCAF=AD， AF=BC四边形ABFC 是矩形FABCDE图 1 4321EDCBAF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页3、已知： ABC 是一张等腰直角三角形纸板，B=90 ，AB=BC=1（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在ABC 的边上小

4、林设计出了一种剪法，如图1 所示请你再设计出一种不同于图1 的剪法，并在图2 中画出来（2）若按照小林设计的图1 所示的剪法来进行裁剪，记图1 为第一次裁剪，得到1 个正方形，将它的面积记为1S，则1S=_；余下的2 个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3） ，得到 2 个新的正方形，将此次所得2 个正方形的面积的和记为2S，则2S=_；在余下的4 个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4） ，得到 4 个新的正方形，将此次所得4 个正方形的面积的和记为3S；按照同样的方法继续操作下去，第n次裁剪得到 _个新的正方形，它们的面积的和nS=_ （题外题：把你剪出的正方

5、形的面积与图1 中的正方形面积进行比较。）本题相当于中考12 题的简单题解： （1）如图 2；-1 分（2）14，18，12n，112n-6 分4、已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD 的边长为4，它的顶点A 在x轴的正半轴上运动，顶点 D 在y轴的正半轴上运动（点A，D 都不与原点重合） ，顶点 B， C 都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接 OP（1）当 OA=OD 时，点 D 的坐标为 _，POA=_ ；（2）当 OAOD 时，求证： OP 平分 DOA；（3）设点 P 到 y 轴的距离为d，则在点 A，D 运动的过程中，d的取值范围是 _（第二问：如果点P 到

6、 OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。） （第二问的题外题：当OAOD 时，求证： OP 平分 DOA； ）图 1 EFABCD图 2 ABC图 3 CBAFED图 4 ABCFED图 2 CBAABCDPOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页解： （1） (0,22)，45；证明： （2）过点 P 作 PMx轴于点 M，PNy轴于点 N （如图 3）四边形ABCD 是正方形，PD=PA， DPA=90 PMx轴于点 M，PNy轴于点 N， PMO=PNO=PND=90 NOM =90 ，四边形NOMP 中

7、， NPM=90 DPA=NPM 1=DPA NPA， 2=NPM NPA， 1=2在 DPN 和 APM 中，PND =PMA， 1=2，PD=PA， DPN APMPN=PMOP 平分 DOA（3）2d2 2- 5、已知：如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（4,0） ， （0,3） 将 OCA 沿直线 CA 翻折，得到DCA，且 DA 交 CB 于点 E（1）求证： EC=EA；（2）求点 E 的坐标；（3）连接 DB，请直接写出四边形 DCAB 的周长和面积（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE 的长）（第三问的证明：过D 做 DM AC

8、于 M ，过 B 做 BNCA 于 N，则由相似可得，DM=BN= 梯形的高（能求出具体数） ， CM=AN （具体数）还看得DB=MN （具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。）证明： （1）如图 1 OCA 沿直线 CA 翻折得到 DCA， OCA DCA 1=2四边形OABC 是矩形， OA CB 1=3 2=3 EC=EA解： （ 2）设 CE= AE=x点 A，C 的坐标分别为（4,0） ， （0,3） ， OA=4，OC=3四边形OABC 是矩形， CB=OA=4，AB=OC=3， B=90 在 RtEBA 中，222EAEBBA，222(4)3xx解得258x点 E 的坐标为

9、(25,38)（3）625，192256、已知： ABC 的两条高BD，CE 交于点 F，点 M，N 分别是 AF， BC 的中点，连接ED，MN（1）在图 1 中证明 MN 垂直平分ED ；（2）若 EBD=DCE =45 （如图 2） ，判断以M，E，N，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论图 3 12MNyxOPDCBANMABCDEFNMFEDCBA图 2 EBADCyxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页第一问，连接EM ，EN ，DM ，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD ，NE=N

10、D ，所以点M 、N 都在线段ED 的垂直平分线上。（有 ADF BDC ，得 AF=BC ， （还得 MDA= NDB，证直角时用） ，进而得菱形，再证一直角得正方形， ）（1）证明：连接EM，EN，DM，DN （如图 2）BD，CE 是 ABC 的高，BDAC，CEAB BDA=BDC=CEB=CEA=90 在 RtAEF 中， M 是 AF 的中点， EM=12AF同理， DM =12AF，EN=12BC，DN=12BCEM=DM ，EN=DN点 M，N 在 ED 的垂直平分线上MN 垂直平分ED（2）判断：四边形MEND 是正方形证明：连接EM， EN，DM，DN （如图 3） EBD

11、=DCE=45 ，而 BDA=CDF =90 ， BAD=ABD=45 ， DFC=DCF =45 AD=BD，DF=DC在 ADF 和 BDC 中，AD=BD，ADF =BDC ， （Rt ）DF =DC， ADF BDC AF=BC， 1=2由（ 1）知 DM=12AF=AM，DN=12BC=BN，DM=DN， 1=3， 2=4 3= 4由（ 1）知 EM=DM ，EN=DN， DM=DN=EM=EN四边形MEND 是菱形 3+MDF =ADF=90 ， 4+MDF = NDM=90 四边形MEND 是正方形7、 （6 分）如图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD ，点 P 为 AD

12、边上的一点（不与点A、点 D 重合） ，将正方形纸片折叠，使点B 落在 P 处，点 C 落在 G 处， PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，联结 BP、BH 。（1）求证： APB BPH；（2）求证： APHCPH；（3）当 AP1 时，求 PH 的长。4312ABCDEFMN图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页第一问，设EPB= EBP=m ，则 BPH=90 -m， PBC=90 -m，所以 BPH= PBC，又因为 APB=PBC，所以， APB=BPH 。第二问的题外题：将此题与北京141 之东城

13、 22 和平谷 24 放在一起， 旋转翻折共同学习；此题中用旋转把ABP 绕点 B 顺时针旋转90不能到达目的，于是延BP 翻折，翻折后的剩余部分BQH 与 BCH 也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得PBH=45 。第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明： PEBE， EPB EBP，又 EPH EBC90， EPH EPB EBC EBP。即 BPH PBC。又四边形ABCD 为正方形， AD BC， APB PBC。 APB BPH。 （2 分）（2）证明：过B 作 BQPH，垂足为Q，由（ 1）知， APB BPH，又 A BQP90， BPBP， ABPQBP， APQP，BA

14、BQ。又 ABBC， BCBQ。又 C BQH 90， BHBH ， BCHBQH ， CH QH， APHCPH。 （4 分）（3）由（ 2）知， APPQ1， PD3。设 QHHCx，则 DHx4。在 RtPDH 中，222PHDHPD，即222431xx，解得4. 2x， PH 3.4（6 分）8、 （6 分）如图，在ABC 中， AC AB ，D 点在 AC 上， AB CD， E、F 分别是BC、AD 的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，若 EFC60，联结 GD，判断 AGD 的形状并证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

15、- - - -第 5 页，共 22 页（也可问 ADG 的度数。）判断： AGD 是直角三角形。证明：如图联结BD ，取 BD 的中点 H，联结 HF、HE，F 是 AD 的中点，ABHFABHF21,/， 1 3。同理， HE/CD ，HECD21， 2 EFC。AB CD，HFHE， 1 2， 3 EFC。 EFC 60， 3 EFC AFG60， AGF 是等边三角形。AF FG AFFD，GFFD， FGD FDG30， AGD 90，即 AGD 是（ 特殊 ）直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页

16、（GE=BG-BE ，GH 是直角三角形的斜边，这样证全等。）10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是 ABC的中线，点 M为 BC边上任意一点（不与点D重合） ，过点 M作一直线，使其等分 ABC的面积他的做法是：如图1，连结 AM ，过点 D作 DN/AM交 AC于点 N，作直线MN ，直线 MN 即为所求直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图 2，在四边形ABCD中， AE平分 ABCD的面积， M为 CD边上一点，过M作一直线MN ，使其等分四边形 ABCD

17、的面积（要求：在图2 中画出直线MN ，并保留作图痕迹） ；（2）如图 3，求作过点A的直线 AE ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3 中画出直线AE ，并保留作图痕迹）（第二问，把ABC的面积接到DC的延长线上。 ）11、 已知：四边形ABCD是正方形，点E在 CD边上，点 F 在 AD边上，且AFDE（1）如图 1，判断 AE与 BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图 2，对角线AC与 BD交于点 O BD、AC分别与 AE 、BF交于点 G，点 H求证： OG OH ；连接 OP ，若 AP 4，OP 2 ，求 AB的长【第二问，证AOG BHO ，第二问

18、，（在 OB上截取 BQ=AP ，则 APO BQO ，得 OP=OQ ，AP=BQ ，也可得 OPG= OQP ，又 EPB=90 ，最终得 OPQ 是等腰直角三角形， 可得 PQ=2 ， 从而求得PB=6 ， 在 RtAPB中由勾股定理得的值。 2 倍根号 13. ） 】12、已知：如图，梯形ABCD 中， ADBC， B=90 ，AD=a，BC=b，DC=ba，且ab，点 M 是 AB 边的中点（1）求证： CMDM ；（2）求点 M 到 CD 边的距离（用含a，b的式子表示）D 图 1 M B A N C 图 3 图 2 M EDCBADCBAA B C D E F P 图 1 A B

19、 C D O P E F 图 2 G H ABCDM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页（我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过M 做 BC 的平行线，交DC 于 Q，则可证MQ=DQ=CQ ， MD 平分 ADC ，MC平分 BCD， 及 DMC=90 ， ； M 到 CD 的距离也就是RtDMC 斜边的高 MN ， MN 的平方 =DN 乘以 NC=AD乘以 BC=ab， ）证明： （ 1）延长 DM ，CB 交于点 E （如图 3）梯形 ABCD 中， ADBC， ADM =BEM点 M 是 AB 边

20、的中点，AM=BM在 ADM 与 BEM 中，ADM =BEM，AMD =BME，AM=BM， ADM BEMAD=BE=a，DM=EM CE=CB+BE=baCD=ab， CE=CD CMDM 解： （2）分别作MNDC，DF BC，垂足分别为点N，F （如图 4）CE=CD，DM =EM， CM 平分 ECD ABC= 90，即 MBBC，MN=MBADBC， ABC=90， A=90 DFB =90，四边形ABFD 为矩形BF= AD=a，AB= DFFC= BCBF =baRtDFC 中， DFC =90，222DFDCFC =22()()abba=4ab DF= 2 ab MN=MB

21、 =12AB=12DF =ab 即点 M 到 CD 边的距离为ab13、已知：如图 1，平面直角坐标系xOy中，四边形 OABC 是矩形， 点 A，C 的坐标分别为 （6，0） ， （0，2） 点D 是线段 BC 上的一个动点 （点 D 与点 B， C 不重合）， 过点 D 作直线y12xb交折线 OAB 于点 E（1）在点 D 运动的过程中，若ODE 的面积为 S，求 S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如图 2，当点 E 在线段 OA 上时，矩形 OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O ABC，CB 分别交 CB，OA 于点 D，M，O A分别交 CB，OA 于点 N，E

22、探究四边形DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；（3）问题（ 2） 中的四边形DMEN 中， ME 的长为 _图 1 yxOABC图 2 EDCBAOxyOCBAMNFNECBMDA图 4 EADMBC图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页本题难度对于初二学生相当于25 题。【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，OED= O1ED（对称性质） ，得菱形。第三问，E 在 OA 上时，DE 的长度不变， 为 2 倍根号 5，（延 x 轴平移 DME 使 D 与 C 重合，设 DM

23、=EM=x ，代数法用勾股定理可求得ME 的值。】解： （1）矩形OABC 中，点 A，C 的坐标分别为(6,0)，(0,2)，点 B 的坐标为(6, 2)若直线bxy21经过点 C(0, 2)，则2b；若直线bxy21经过点 A(6,0)，则3b；若直线bxy21经过点 B(6, 2)，则5b当点 E 在线段 OA 上时，即32b时， （如图 6）点 E 在直线bxy21上，当0y时，bx2，点 E 的坐标 为)0,2( bSbb22221当点 E 在线段 BA 上时，即53b时， （如图 7）点 D，E 在直线bxy21上，当2y时，42bx；当6x时，3by，点 D 的坐标为)2,42(

24、 b，点 E 的坐标为)3, 6(bDBEOAECODOABCSSSSS矩形)3(2)42(6216)3(212)42(2126bbbbbb52综上可得：2223),535).bbSbbb(（2）DM =ME=EN=ND证明：如图8四边形OABC 和四边形O ABC是矩形，CBOA， CBOA，即 DN ME，DMNE四边形DMEN 是平行四边形，且NDE=DEM矩形 OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O ABC， DEM =DEN NDE =DEN ND=NE四边形DMEN 是菱形DM=ME=EN=ND- （3）答：问题（ 2）中的四边形DMEN 中， ME 的长为2. 5 图 6 y

25、xOABCDEEDCBAOxy图 7 图 8 EDCBAOxyOCBAMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页14、探究问题 1 已知： 如图 1，三角形 ABC 中，点 D 是 AB 边的中点， AEBC，BFAC，垂足分别为点E，F，AE，BF 交于点 M，连接 DE，DF若 DE=kDF，则k的值为 _图 1CFMEBDA图 2CEMFADB图 3CEMFADB拓展问题 2 已知：如图2，三角形ABC 中， CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点M 在三角形ABC 的内部，且 MAC=MBC，过点 M 分

26、别作 MEBC，MFAC，垂足分别为点E， F，连接 DE， DF求证： DE=DF推广问题 3 如图 3，若将上面问题2 中的条件 “ CB=CA” 变为 “ CB CA” ，其他条件不变，试探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论（第三问，取BM 和 AM 的中点，构造全等三角形，）122 某区的模拟题与此高度相似，问题 1 k的值为1 - 问题 2 证明：如图9CB=CA， CAB=CBA MAC=MBC， CAB MAC=CBA MBC，即 MAB =MBAMA=MBMEBC，MFAC，垂足分别为点E，F， AFM = BEM=90在 AFM 与 BEM 中，AFM=BEM

27、，MAF =MBE，MA=MB， AFM BEMAF=BE点 D 是 AB 边的中点， BD = AD在 BDE 与 ADF 中，BD = AD，DBE =DAF ，BE = AF， BDE ADFDE=DF 问题 3 解： DE=DF 证明：分别取AM，BM 的中点 G，H，连接 DG，FG，DH， EH （如图 10）点 D， G， H 分别是 AB，AM，BM 的中点，图 9 CEMFADB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页DGBM，DHAM，且 DG=12BM，DH =12AM四边形DHMG 是平行四边形

28、DHM =DGM ，MEBC，MFAC，垂足分别为点E，F， AFM = BEM=90FG=12AM= AG，EH=12BM= BH FG= DH ，DG= EH，- GAF =GFA， HBE =HEB FGM =2FAM， EHM =2EBM FAM=EBM， FGM =EHM DGM +FGM =DHM +EHM ，即 DGF=DHE在 EHD 与 DGF 中， EH = DG， EHD =DGF ，HD = GF， EHD DGF DE=DF 16、 如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是 BC 上任意一点， DEAG 于点 E，BFAG 于点 F。（1）求证： DEBFEF；（2）

29、若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF 之间的数量关系（不需要证明）；（3）若 AB=2a，点 G 为 BC 边中点时， 试探究线段EF 与 GF 之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。第一问，证全等即可得AE=BF ， AF=DE 。第三问，各三角形相似，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解： （1）证明：四边形ABCD 是正方形， BFAG，DEAG 图 10 GHBDAFMEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页DA=AB ， BA

30、F+ DAE= DAE+ ADE=90 BAF= ADE ， ABF DAE BF=AE ，AF=DE ； DE-BF=AF-AE=EF （2）如图， DE+BF=EF （3）EF=2FG 过程： AB=2a ，点 G 为 BC 边中点， BG=a 由勾股定理可求aAG5又 ABBC，BFAC ，由等积法可求aBF552由勾股定理可求aFG55，aAF554aBFAE552,aEF552， EF=2FG 。17、如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BEAB ） ，连接 EG 并延长交DC 于点 M，作 MN AB ，垂足为点N，MN 交 BD 于点 P，设正方形ABC

31、D 的边长为1。（1）证明：四边形MPBG 是平行四边形；（2）设 BE=x ，四边形MNBG 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如果按题设作出的四边形MPBG 是菱形，求BE 的长。（图中的三角形多是等腰直角三角形，）证明： （1） ABCD 、BEFG 是正方形 CBA= FEB=90 ， ABD= BEG=45 ， DB ME 。MN AB ，CBAB， MNCB。四边形MPBG 是平行四边形；（2）正方形BEFG ， BG=BE=x 。 CMG= BEG=45 ， CG=CM=BN=1 x。y=21（GB+MN ） BN=21（ 1+x）

32、（1x）= 2121x2， （0x1） ；（3）由四边形BGMP 是菱形，则有BG=MG ，即 x=2（1x） 。解得 x=22， BE=22。18、将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点 C 重合，这时DE 为折痕，CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形） ，我们称这样两个矩形为“叠加矩形”请完成下列问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页（1）如图，正方形网格中的ABC 能折叠

33、成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕；（2）如图，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜ABC，使其顶点A 在格点上，且ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是解：（1）2 分（说明：只需画出折痕）（2）（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可）（3）三角形的一边长与该边上的高相等19、考考你的推理与论证（本题 6 分）如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AFBD，连结BF（1）求证：D是BC的中点；（2）

34、如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论难度一般解（ 1）证明： AFBC， AFE= DCE.E 是 AD 的中点， AE=DE AEF= DEC ， AEF DEC AF=DC. AF=BD ， BD=CD. ， D 是 BC 的中点（2）四边形AFBD 是矩形，AB=AC ，D是BC的中点 , AD BC ，即 ADB=90 AF=BD ，AF BC，四边形AFBD 是矩形20、拓广与探索 （本题 7 分）如图（ 1） ，RtABC 中， ACB=90 ，中线 BE、CD 相交于点O，点 F、G 分别是 OB、 OC 的中点 . ACBBCAABDCEFABDCEF精选学

35、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页（1）求证：四边形DFGE 是平行四边形；（2）如果把RtABC 变为任意 ABC ，如图（ 2） ，通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立？（不用证明）；（3）在图（ 2）中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形DFGE 是矩形，并给出证明；（4）在第（ 3）问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE 是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明） （图 1）（图 2）（第三问， AB=AC 时。第四问， AB=AC ，且底边上的高是BC 的

36、3/2 倍时是正方形。保持这种高与边的比，但是， ABAC 时是菱形。）21、如图，点 A（0，4） ，点 B( 3, 0) ，点 P 为线段 AB 上的一个动点，作PMy轴于点 M，作PNx轴于点 N，连接 MN，当点 P 运动到什么位置时，MN 的值最小？最小值是多少？求出此时PN 的长 . ABMPNxOy（MN=OP ，所以 OPAB 时， MN 也就是 OP 最小， OP=12/5. ）初三相似形22、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4，60C ， AEBD于点 E，F 是CD的中点，连接EF（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）点 G 是 BC 边上的

37、一个动点，当点G 在什么位置时，四边形DEGF 是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在 BC 边上能否找到另外一点G，使四边形DEGF 的周长与（ 2）中矩形DEGF 的周长相等？请简述你的理由 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页BAFCDE（第二问，点G 为 BC 中点时，也是AE 的延长线与BC 的交点。第三问，能找到。以EF 为一边在EF 的下方做 G1EF GFE ，G1在 BC 上，但是不与G 重合，）23、 (9 分)在梯形ABCD中，ABCD，o90BCD， 且1AB，2BC，2CDAB。对角线

38、AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转。（ 1）如图 9-1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是，数量关系是；（ 2）继续旋转三角板，旋转角为，请你在图9-2 中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由； 【】 （3） 如图 9-3， 当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点 P， 若65OF，求PE的长。FODCABEODCBAPFODCABE图 9-1 图 9-2 图 9-3 （第三问，证明两次相似，推导比例关系。）多看看解： （1）垂直，相等；2 分（2）画

39、图如图（答案不唯一）54321aMFODCBAE321PFODCBAE（1）中结论仍成立。证明如下：过 A 作DCAM于 M，则四边形ABCM 为矩形。 AM=BC=2，MC=AB=1。2CDAB，212DM。 DC=BC。CEF是等腰直角三角形 ,o90.ECFCECF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页o90ECFBCD，BCFDCEDCBCDCEBCFCECFBCFDCE，,12DEBF。又34，590BCDDEBF，线段DE和BF相等并且互相垂直。（3）ABCD，AOBCOD，.ABOAOBCDOCOD1

40、,2,ABCD，1.2OAOBOCOD22145.Rt ABCACABBC在中,35OA。同理可求得322OB。321PFODCBAE56OF，522ACAFOAOF。52CECF。o,90 ,BCCDBCDo45OBC。由（ 2）知BCFDCE，21。又o453OBC，CPECOB。.PECEOBBC5222 23PE。106PE。初三相似形24、(9 分)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(0 0)O，(6 0)A，(0 3)C，。动点Q从点O出发以每秒1 个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动。当其中一点到达终点时，另一点也

41、停止运动。设点 P 的运动时间为t（秒） 。（1）用含t的代数式表示OPOQ，；（2）当1t时，如图 10-1，将OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连结AC，将OPQ沿PQ翻折， 得到EPQ，如图 10-2。问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页DFCABE解： （1）6OPt，23OQt。（2）当1t时，过D点作1DDOA，交OA于1D，如图 1，3 分则53DQQO，43QC，1CD，(13)D，

42、。（3）PQ能与AC平行。若PQAC，如图 2，则OPOAOQOC，即66233tt，149t，而703t ，149t。PE不能与AC垂直。若PEAC，延长QE交OA于F，如图 3，则33253tQFOCOQACQF。253QFt。EFQFQEQFOQ22533tt2( 51)( 51)3t。 7 分又RtRtEPFOCA，PEOCEFOA，6326( 51)3tt，3.45t。而703t ， t 不存在。25、锐角 ABC 中， AB=AC ，点 D 在 AC 边上， DEAB 于 E，延长 ED 交 BC 的延长线于点F. (1) 当 A=40时，求 F 的度数；(2) 设 F 为 x 度

43、,FDC 为 y 度,试确定 y 与 x 之间的函数关系式. 第二问， B+x=90， x+y=B，所以 y=90 -2x。解（ 1） AB=AC，BACB. . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页DFCABE A=40 ，70B. DEAB ，90BEF.20 .F（2） BC，1802.ABAADEFDC90)2180(90B.290B在 BEF 中，90BEF，90BF. . 901802902.FDCFF290yx. 26、如图 1，正方形ABCD 的边 CD 在正方形DEFG 的边 DE 上，连接AE、

44、GC（1）试猜想AE 与 GC 有怎样的数量关系；（2）将正方形DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图2，连接 AE 和 GC.你认为 (1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）的条件下，求证：AEGC（友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等）延长相交可证得垂直，解： （1）猜想： AE=GC（2）答： AE=CG 成立 . 证明：四边形 ABCD 与 DEFG 都是正方形， AD=DC， DE=DG，ADC= =EDG =90 . 1+3=2+3=90 . 1=2 .， ADE CDG .， AE=CG . （3）延长

45、AE，GC 相交于 H，由（ 2）可知5=4. 又56=90 ，47=180DCE=90 ，6=7. 又6AEB=90 ，AEB=CEH. . CEH7=90 . EHC=90 .， AE GC .27、如图所示，在直角梯形ABCD中， AD/BC， A 90， AB 12，BC 21，AD=16 。动点 P 从点 B出发，沿射线 BC的方向以每秒2 个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1 个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。（1）当t为何值时，四边形PQDC的面积是梯形ABCD的面积的一半；（2）四边形

46、PQDC能为平行四边形吗？如果能，求出t的值； 如果不能，请说明理由（3）四边形PQDC能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由B C D E F G A 1 2 3 4 5 6 7 H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页（第一问， t=37/6 ，第二问， t=5 ，第三问，不能，QPC大于 90，不能等于DCP ， ；本题扩展：如果延 DA、CB方向移动，则可以出现等腰梯形。）28、 （12 分）如图，等腰梯形ABCD中， AD BC ，M 、N分别是 AD 、BC的中点， E、 F分别是 B

47、M 、CM的中点（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？（3）当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形MENF是正方形（直接写出结论，不需要证明）两对；菱形；一半。39、E是正方形ABCD 的对角线BD上一点， EF BC ，EG CD ，垂足分别是F、G.求证：FGAE. 简单题：连接CE ，则 CE=FG ，再证全等即可。证明：连接CE四边形 ABCD 为正方形AB BC， ABD CBD 45， C90EFBC，EG CD ，四边形GEFC 为矩形 GF EC 在 ABE 和 CBE 中A

48、BBCABDCBDBEBE ABE CBE ， AECE AE CF30、在 ABC中， BAC=90 ， AB=AC ，点 D是 AB的中点，连接CD ，过 B作 BE CD交 CD的延长线于点E，连接 AE ，过 A作 AFAE交 CD于点 F. （1）若 AE=5，求 EF；（2）求证： CD=2BE+DE. （第一问，EBD+ ABC+ BCE=90 ，又 ABC=45 ，所以，EBD+ BCE=45 ，又 ACF+ BCE=45 ，所以， EBD= ACF ，可得 EBA FCA ，得 AE=AF ，EF=根号 2AE， ；第二问，过A做AH CE于 H， ，则 EBD HAD ，B

49、E=AH ,又已证 BE=CF ，可证AH=FH ，则结论得证。 ）解： （1）BECD,BAC=90 ABE+ BDE=90 ACF+ CDA=90 BDE= CDA ABE= ACF MFENDCABA D C B E G F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页 AFAE BAE+ BAF=90 CAF+ BAF=90 BAE= CAFAB=AC ABE ACF AE=AF=5 EF=(2) 作 A HCD于 H AE=AF EAF=90 AH=HE=HF AHD= BED=90 BDE= ADH BD=AD

50、 BDE ADH DE=DH BE=AH ABE ACF CF=BE=AH=HF CH=2BE CD=DH+CH CD=DE+2BE 31、矩形 ABCD中， AB=DC=6 ，AD=BC=，动点 P从点 A出发，以每秒1 个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t 秒，以 AP为边作等边 APQ （使 APQ和矩形 ABCD 在射线 AB的同侧） . (1) 当 t 为何值时， Q点在线段DC上？当 t 为何值时， C点在线段PQ上？(2) 设 AB的中点为N，PQ与线段 BD相交于点M ，是否存在BMN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. (3) 设 AP

51、Q与矩形 ABCD 重叠部分的面积为s，求 s 与 t 的函数关系式 . （备用 图 1）第一问： ， Q在 DC上时， 等边 QAP的高是， ；，C点在线段PQ上时， P在 AB的延长线上， CBP是含 60角的 Rt，可求得BP ，t=AB+BP。第二问：分四种情况讨论，有一定难度。解： （1）当 Q 点在线段DC 上时 AD=, ADQ=90 , DAQ=30 DQ=x, 则 AQ=2x x=2 AP=4 t=4 当 t=4秒时， Q点在线段DC上. 当 C点在线段 PQ上时，点P在 AB的延长线上，由题意得BP=2 AP=6+2=8 t=8 当 t=8秒时，点C在线段 PQ上. 精选学

52、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页（2） BMN 为等腰三角形，有以下三种情况：当 MN=BN 时， NMB= NBM=30 ANM=60 此时， Q点在 BD上， P点与 N重合AP=AN=3 t=3 当 BM=BN 时，作 MIAB于 I BM=BN=3 BI= MI= IP= BP=MP=AP=6-t=6-当 BM=NM 时， BP=MP= NP BP=1 AP=5 t=5 综上所述，当t=3 或 6-或 5 时， BMN 为等腰三角形（3）当 0t 4 时， s=当 4t 6 时， s=当 6t 8 时，即当 t 8 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页