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1、其它振动模式Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望振动模式振动模式材料参数材料参数等效电路等效电路器件设计器件设计阻抗、导纳阻抗、导纳薄圆片压电振子的径向振动薄圆片压电振子的径向振动对对于于压压电电常常数数d d3131=d=d3232和和弹弹性性柔柔顺顺常常数数s s1111=s=s2222的的压压电电晶晶体体，例例如如钛钛酸酸钡钡、铌铌酸酸锂锂等等晶晶体体，可可用用它它的的z z切割薄圆片的径向振动。切割薄圆片的径向振动。用用柱柱坐坐标标（O-rO-r z z），圆圆片
2、片面面与与z z轴轴垂垂直直。因因为为是是薄薄圆圆片片，所所以以可可以以近近似似认认为为垂垂直直于于圆圆片片面面方方向向的应力的应力X Xz z=0=0。薄圆片压电振子的压电方程组薄圆片压电振子的压电方程组因因为为薄薄圆圆片片只只有有径径向向伸伸缩缩形形变变，所所以以沿沿r r 方方向向和和方方向向的的X Xr r 0 0，X X 0 0，而而切切应应力力X Xr r =X=Xrzrz=X=X z z=0=0。因因为为电电极极面面就就在在圆圆片片面面上上，所所以以只只有有沿沿z z方方向向的的电电场场强强度度分分量量E Ez z 0 0，而而沿沿r r和和 方方向向的的电电场场强强度分量度分量
3、E Er r=E=E =0=0。 又又因因电电极极面面是是等等位位面面，故故有有（ E Ez z/ / r r）=0=0。选选X X、E E为为自自变变量量，并并注注意意到到弹弹性性柔柔顺顺常常数数s s1111=s=s2222以以及及压压电电常常数数d d3131=d=d3232，于于是是薄薄圆圆片片压压电电振振子子的的压电方程组为：压电方程组为：（5-375-37）第二类压电方程组第二类压电方程组若以（若以（x x、E E）为自变量，有（）为自变量，有（5-375-37）式可得）式可得实实验验上上常常用用杨杨氏氏模模量量Y Y和和泊泊松松比比 代代替替弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sE E1
4、111、s sE E1212，将将Y=1/sY=1/sE E1111， =-s=-sE E1212/s/sE E1111关关系系代代入入上式得：上式得：（5-385-38）式式就就是是以以应应变变和和电电场场（x x、E E）为为自自变变量量，用用柱柱坐坐标标表表示示的的薄薄圆圆片片压压电电方方程程组组。其其中中沿沿r r方方向向的的伸伸缩缩应应变变x xr r= =（ u ur r/ / r r），沿沿 方方向向的的伸伸缩缩应应变变x x =u=ur r/r+(/r+( u u / /)/r)/r。因因为为薄薄圆圆片片的的径径向向伸伸缩缩振振动动具具有有圆圆对对称称性性，所所以以( ( u
5、u / /)=0)=0。在在此此情情况况下下，沿沿 方方向向的的伸伸缩缩应变简化为应变简化为x x =u=ur r/r/r。薄圆片压电振子的振动方程薄圆片压电振子的振动方程若若圆圆片片密密度度为为 ，则则小小的的质质量量为为（见见图图5-75-7）；若若为为小小块块bcdebcde沿沿径径向向的的位位移移 rdrd drdr，则则小小块块沿沿径径向向加速度为加速度为 2 2u ur r/ / t t2 2。小块的运动方程为：。小块的运动方程为：薄圆片压电振子的质量元薄圆片压电振子的质量元图图5-75-由于由于drdr和和d d 都很小，故有都很小，故有忽忽略略X X 与与X X 的的差差别别（
6、即即认认为为X X =X=X ）。将将这这些些结结果果代代入入到到上上式式后后，即即得得小小块块的的运运动动微微分分方方程程式式为，为，即：即：（5-395-39）将将压压电电方方程程组组（5-385-38）式式代代入入上上式式，并并注注意意到到（ E Ez z/ / r r）=0=0，即得，即得利用关系利用关系代入代入薄圆片压电振子的波动方程。薄圆片压电振子的波动方程。（5-405-40）其中波速：其中波速：波动方程式的解波动方程式的解薄圆片压电振子的波动方程式的解为薄圆片压电振子的波动方程式的解为其中其中:k=:k= /c,J/c,J1 1(kr)(kr)为一阶贝塞尔函数。为一阶贝塞尔函数
7、。First order Bessel functionFirst order Bessel function（5-415-41）现现在在来来求求满满足足边边界界条条件件的的解解。若若薄薄圆圆片片的的边边界界为为机机械械自自由由，则则在在边边界界上上的的应应力力X Xr r等等于于零零。即即由（由（5-385-38）式的第一式）式的第一式时时（5-385-38）式）式若电场强度分量为若电场强度分量为: :并注意到并注意到代入到上式得：代入到上式得：（5-425-42） 利利用用边边界界条条件件r=ar=a时时，X Xr r| |a a=0=0，即即可可确确定定任任意意常数常数A A，由，由即得
8、即得（5-435-43）将将（5-435-43）式式代代入入到到（5-415-41）式式即即得得满满足足自自由由边界条件的解为边界条件的解为(5-44)(5-44)由（由（5-445-44）式代表的波形，如图）式代表的波形，如图5-85-8所示。所示。 图图 5-8 5-8 自由圆片的径向伸缩振动（自由圆片的径向伸缩振动（a a）自由）自由圆片中的波形（圆片中的波形（b b）自由圆片的伸缩情况）自由圆片的伸缩情况(a)(b)r r-a-a0 0a at=0t=0u ur r(r,0)(r,0)0 0t=t= / / r ru ur r(r, (r, / / r r) )0 将将（5-435-4
9、3）式式代代入入到到（5-425-42）式式即即得得沿沿r r方方向的伸缩应力为向的伸缩应力为 （5-455-45）沿沿 方向的伸缩应力为方向的伸缩应力为: :（5-465-46）沿沿r r方向和方向和 方向的伸缩应变为方向的伸缩应变为: :（5-475-47） 电位移为电位移为: :薄圆片压电振子的等效电阻薄圆片压电振子的等效电阻 通过压电振子电极面的电流通过压电振子电极面的电流I I为为而电极面上的电荷而电极面上的电荷Q Q为为积分时注意到：积分时注意到：即得即得于是得到电流为于是得到电流为（5-485-48）薄圆片压电振子的等效阻抗薄圆片压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗压电振子的等效
10、阻抗Z Z为为将（将（5-485-48）式代入上式的）式代入上式的因为薄圆片压电振子的机电耦合系数因为薄圆片压电振子的机电耦合系数k kp p为为以及以及将这些关系代入上式得将这些关系代入上式得 (5-49) (5-49)薄圆片压电振子的等效阻抗薄圆片压电振子的等效阻抗k=/谐振频率和机电耦合系数谐振频率和机电耦合系数谐振时压电振子的等效阻抗谐振时压电振子的等效阻抗Z=0Z=0，即，即: G=1/Z=: G=1/Z= ，这就要求，这就要求即：即：或或其中：其中： r r=2=2 f fr r，f fr r= =谐振频率。谐振频率。（5-505-50）钛酸钡的泊松比约为钛酸钡的泊松比约为 =0.
11、30=0.30，代入上式：，代入上式：查贝塞尔函数的数值表，可得上式最小的根为查贝塞尔函数的数值表，可得上式最小的根为: :（5-515-51）由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为（5-525-52） 同理可得：同理可得：当当时，时，当当时，时，反反谐谐振振时时，压压电电振振子子的的等等效效阻阻抗抗Z=Z= ，即即G=1/Z=0G=1/Z=0，这就要求，这就要求（5-535-53）因因为为反反谐谐振振频频率率f fa a稍稍大大于于谐谐振振频频率率f fr r，故故可可假假设设或者或者即：即：或者或者将将J J0 0和和J J1 1在谐振频率处用泰勒级数展开得：
12、在谐振频率处用泰勒级数展开得：（5-545-54） 将将（5-545-54）式式代代入入（5-535-53）式式后后，(5-53(5-53）式式分分子为子为: :（5-55）(5-53(5-53）式分母为）式分母为由（由（5-505-50）式知）式知或者或者将这些关系代入到（将这些关系代入到（5-555-55）式得）式得最后得到最后得到即：（5-56）由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为或者（5-57）（5-58） 谐谐振振频频率率关关系系式式（5-525-52）式式以以及及机机电电耦耦合合系系数数关关系系式式（5-575-57）式式对对压压电电陶陶瓷瓷也也成成立立。实实验验上上常常
13、用用（5-525-52）式式确确定定材材料料的的杨杨氏氏模模量量Y Y，（5-575-57）式式确确定定材材料料的的机机电电耦耦合合系系数数k kp p，通通过过低低频频电电容容C Clowlow的的测测量，确定介电常数量，确定介电常数: :以及压电常数以及压电常数: :至于泊松比至于泊松比 ，则可通过下式确定：，则可通过下式确定： （5-595-59） 其其中中：f fr0r0= =薄薄圆圆片片压压电电振振子子的的基基频频，f fr1r1= =薄薄圆圆片片压压电电振振子子的的一一次次谐谐波波频频率率。（确确切切的的说说法法是是f fr0r0为为薄薄圆圆片片的的基基音音频频率率，f fr1r1
14、为为薄薄圆圆片片的的一一次次泛泛音音频频率率，对对于于压压电电陶陶瓷瓷f fr0r0 2.61 2.61 f fr1r1左左右右）。（5-595-59）式式的适用范围是：的适用范围是：（5-605-60）薄圆片压电振子的径向伸缩振动薄圆片压电振子的径向伸缩振动（小结）（小结）介电常数介电常数半径半径a a；厚度；厚度l lt t；低频电容；低频电容C Clowlowf fr0r0: :薄圆片压电振子的基频，薄圆片压电振子的基频，f fr1r1: :薄圆片压电薄圆片压电振子的一次谐波频率。振子的一次谐波频率。杨氏模量的确定杨氏模量的确定压电常数压电常数平面机电平面机电耦合系数耦合系数其它压电振子
15、其它压电振子 薄圆环压电振子的径向振动薄圆环压电振子的径向振动 薄球壳的球径向振动薄球壳的球径向振动 薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动 薄圆环压电振子的径向振动薄圆环压电振子的径向振动 如如图图5-95-9所所示示，薄薄圆圆环环的的极极化化方方向向与与z z轴轴平平行行（即即轴轴向向极极化化），平平均均半半径径为为r r ，厚厚度度为为l lt t，宽宽度度为为l lw w，并并有有rlrlt t以以及及rlrlw w. .设设圆圆环环的的方方向向为为2 2方方向向，极极化化方方向向为为3 3方方向向， 增增加加的的方方向向为为1 1方方向向。因因为为圆圆环环的的半半径径远远大大于于圆圆环
16、环的的宽宽度度和和厚厚度度, ,所所以以圆圆环环在在外外加加电电场场的的作作用用下下，可可以以认认为为只只产产生生轴轴对对称称的的径径向向振振动动. .除除了了沿沿圆圆周周（即即切切向向）的的应应力力X X1 1（即即x x ）外）外, ,其余的应力、切应力皆等于零。其余的应力、切应力皆等于零。 图图 5-9 5-9 薄圆环的径向振动薄圆环的径向振动又又与与3 3方方向向垂垂直直的的电电极极面面是是等等位位面面，所所以以可可以以认认为为E E1 1=E=E2 2=0=0。选选应应力力和和电电场场（X X、E E）为为独独立立变变量量，即得薄圆环的压电方程组为即得薄圆环的压电方程组为（5-615
17、-61）考考虑虑薄薄圆圆环环上上的的一一小小块块（如如图图5-95-9所所示示），作作用用在小块上的径向力分量为：在小块上的径向力分量为：（5-625-62）由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为：由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为：（5-635-63）其中其中 为薄圆片的密度，为薄圆片的密度，u ur r为环的径向位移。为环的径向位移。 将将（5-615-61）式式中中第第一一式式代代入入（5-635-63）式式，并并注注意意到到x xr r=u=ur r/r/r，即得，即得，(5-64)(5-64)若若外外加加电电场场为为E E3 3=E=E0 0e ej j t t，在在此此电电
18、场场作作用用下下，薄薄圆圆环产生受迫振动，这时（环产生受迫振动，这时（5-645-64）式的解为：）式的解为：（5-65）其中其中: : 将（将（5-655-65）式代入（）式代入（5-615-61）式得电位移为：）式得电位移为：（5-665-66）其中其中: :自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为：自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为：通过电极面的电流为：通过电极面的电流为：因为电压因为电压V=EV=E3 3l lt t，故得薄圆环压电振子的导纳为，故得薄圆环压电振子的导纳为: : （5-675-67）当当G=G= 时，薄圆环产生谐振，谐振频率时，薄圆环产生谐振，谐振频率f fr r
19、为；为； （5-685-68）或或当当G=0G=0时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率为时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率为: : （5-695-69）或或由此得到机电耦合系数由此得到机电耦合系数k k3131与与f fr r、f fa a的关系为的关系为: :（5-705-70）薄球壳的球径向振动薄球壳的球径向振动薄薄球球壳壳的的极极化化方方向向与与径径向向平平行行，球球壳壳内内外外表表面面为为电电极极面面，球球壳壳厚厚度度为为l lt t，平平均均半半径径为为r r，并并有有r r l lt t，选选球球的的径径向向为为3 3方方向向， 、 的的增增加加方向为方向为1 1、2 2方向，其边界条件
20、为方向，其边界条件为: :E E1 1=E=E2 2=0,E=0,E3 3 0 0；X X3 3= X= X4 4= X= X5 5= X= X6 6=0=0，X X1 1 0, X0, X2 2 0 0。图图 5-10 5-10 薄球壳的径向振动薄球壳的径向振动选选应应力力和和电电场场（X X、E E）为为独独立立变变量量，即即得得薄薄球球壳壳的的径向振动的压电方程组为径向振动的压电方程组为: :（5-715-71）对对于于压压电电陶陶瓷瓷的的弹弹性性性性质质和和压压电电性性质质在在与与极极化化垂垂直直的的面面上上是是各各向向异异性性的的，故故有有X X1 1=X=X2 2、s sE E11
21、11=s=sE E2222、d d3131=d=d3232。令。令代入到（代入到（5-715-71）式即得）式即得: : （5-725-72）球球壳壳中中的的情情况况与与圆圆环环相相似似，x xc c与与径径向向位位移移u ur r之之间间的关系为：的关系为：波动方程式为波动方程式为: :（5-735-73）若若外外加加电电场场为为E E3 3=E=E0 0e ej j t t，在在此此电电场场作作用用下下，上上式式的的解为：解为：（5-745-74）其中其中: :（5-755-75）球壳的导纳为球壳的导纳为: : （5-765-76）其中平面机电耦合系数其中平面机电耦合系数 k kp p为为
22、当当G=G= 和和G=0G=0时可得时可得, ,谐振频率：谐振频率：反谐振频率为：反谐振频率为：由此得到平面机电耦合系数为：由此得到平面机电耦合系数为：薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动薄薄片片的的极极化化方方向向与与厚厚度度方方向向平平行行，片片面面为为电电极极面面，片片的的长长度度为为l l、宽宽度度为为l lw w、厚厚度度为为l lt t，并并有有llllt t，l lw wllt t。因因为为只只考考虑虑沿沿厚厚度度方方向向传传播播的的平平面面波波，频频率率很很高高，故故可可以以认认为为片片的的侧侧面面被被刚刚性夹住，即可认为性夹住，即可认为: :x1=x2=x4=x5=x6=0，
23、薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动图图 5-11 5-设设片片的的绝绝缘缘性性能能良良好好，没没有有漏漏电电电电流流，故故可可认认为为D D1 1=D=D2 2=0=0， D D3 3/ / z=0z=0，选选应应变变和和电电位位移移x x、D D为为独立常数，可选用第四类压电方程组为：独立常数，可选用第四类压电方程组为： （5-785-78）波动方程为波动方程为: :（5-795-79）其中其中u uz z为沿为沿z z方向的位移方向的位移. （5-795-79）式的解为：）式的解为： （5-805-80）利用自由表面边界条件利用自由表面边界条件: :确定系数确定系数A A、B B的大小。
24、的大小。时，时，时，时，由（由（5-785-78）式以及（）式以及（5-805-80）式可得）式可得: :其中其中: : 薄片的导纳为薄片的导纳为: : （5-815-81）厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为: : 其中：其中：为薄片的静态电容。为薄片的静态电容。（5-825-82）由（由（5-815-81）式可得反谐振频率和谐振频率为）式可得反谐振频率和谐振频率为: :（5-835-83）切变振动模式切变振动模式 shear mode shear modep面切变振动模式面切变振动模式 face shear mode face shear modep厚度切变振动
25、模式厚度切变振动模式 thickness shear mode thickness shear mode应用：高频器件应用：高频器件面切变振动模式面切变振动模式面切变振动模式面切变振动模式: :又称为轮廓切变振动模又称为轮廓切变振动模式。式。当压电片做面切变振动模式时，其主平面当压电片做面切变振动模式时，其主平面的一条对角线伸长，另一条对角线缩短，的一条对角线伸长，另一条对角线缩短，对角线中点为节点。对角线中点为节点。对石英晶体来说，面切变的常用切型为对石英晶体来说，面切变的常用切型为CTCT切型和切型和DTDT切型切型, ,它们的切型符号为：它们的切型符号为：yxlyxl 。在在CTCT切型
26、中切型中 =37=373838 ， 即：即：yxlyxl3737 ；在在DTDT切型中切型中 =-52=-52-53-53 ，即：，即：yxl-52yxl-52 。 CT CT切型切型DTDT切型切型 厚度切变振动模式厚度切变振动模式弯曲振动模式弯曲振动模式 bending mode bending modep宽度弯曲振动模式宽度弯曲振动模式 width bending mode width bending modep厚度弯曲振动模式厚度弯曲振动模式 thickness bending thickness bending modemode应用：低频器件应用：低频器件lengthwidththi
27、ckness电极分割线电极分割线宽度弯曲振动模式宽度弯曲振动模式电极面电极面厚度弯曲振动模式厚度弯曲振动模式能陷振动模式能陷振动模式能阱振动模式能阱振动模式点振子振动和点电极振子振动点振子振动和点电极振子振动; ; energy-trap vibration modeenergy-trap vibration 采用厚度伸缩或者厚度切变（剪切）振动模式可采用厚度伸缩或者厚度切变（剪切）振动模式可以制成频率达到数十兆赫兹（以制成频率达到数十兆赫兹（10107 7HzHz）的振子。但）的振子。但是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的杂波干扰大。杂波干扰大
28、。消除干扰的方法：消除干扰的方法：调整振子几何尺寸；调整振子几何尺寸； 能陷模式能陷模式能陷模式实际上是：厚度伸缩、厚度切变、厚度厚度伸缩、厚度切变、厚度扭曲振动扭曲振动模式；只是振子电极面远小于压电陶瓷片的总面积，且与厚度有适宜的匹配关系。振动能量绝大部分集中在点电极范围内，形成“能量封闭”的振动模式。在交变电场作用下，沿厚度方向产生振动，其振幅随着至电极中心距离的增加，呈指数式衰减。厚度伸缩厚度伸缩 TE TEn n: thickness extension: thickness extension厚度切变厚度切变 TS TSn n: thickness shear: thickness
29、shear厚度扭曲厚度扭曲 TT TTn n: thickness torsion: thickness torsion 厚度切变和面切变的耦合波厚度切变和面切变的耦合波谐振频率与压电陶瓷片的厚度有关。谐振频率与压电陶瓷片的厚度有关。为提高频率通常将压电陶瓷片磨得很薄，有时为提高频率通常将压电陶瓷片磨得很薄，有时考虑到压电陶瓷自身强度太低，可用特制的陶考虑到压电陶瓷自身强度太低，可用特制的陶瓷片作垫片来防止压电陶瓷片损坏。常用于高瓷片作垫片来防止压电陶瓷片损坏。常用于高频场合。频场合。设晶片沿设晶片沿x x方向的尺寸无限大，研究位移沿方向的尺寸无限大，研究位移沿x x方方向的切变波。在晶片上下
30、主表面为自由机械边向的切变波。在晶片上下主表面为自由机械边界条件下，位移的解为：界条件下，位移的解为：xyz z式中：式中：l lt t为片厚，为片厚， 为角频率，为角频率，k k为为z z方向的波数。方向的波数。波数波数k k的表达式为：的表达式为：式中：式中：f f0 0为无限宽压电片（白片）厚度切变振为无限宽压电片（白片）厚度切变振动的基频；动的基频；n n为泛音次数。为泛音次数。以基波以基波n=1n=1为例：为例：当频率当频率f f高于高于f f0 0，波数，波数k k为实数，表示波能够沿为实数，表示波能够沿z z方向传播；方向传播；若频率若频率f f低于低于f f0 0，波数，波数k
31、 k为虚数，表示波能够沿为虚数，表示波能够沿z z方向做指数衰减；方向做指数衰减；为为f f0 0晶片的截止频率。晶片的截止频率。由于电极质量的负载效应和压电效应的反作用，由于电极质量的负载效应和压电效应的反作用，使压电片的电极区、非电极区的密度以及弹性常使压电片的电极区、非电极区的密度以及弹性常数均又微小差别，导致电极区基频数均又微小差别，导致电极区基频f f0 0降到降到f f0 0以以下。下。电极电极f f0 0f f0 0f f0 0 当激励电场频率为当激励电场频率为f f，而且，而且f f0 0ffff0 0时，振动时，振动能量被限制在电极区域。这种波叫做能量被限制在电极区域。这种波
32、叫做能陷波能陷波，其振动模式称为其振动模式称为能陷模式能陷模式。这样基片所产生的。这样基片所产生的高次泛音的干扰也就随即消失。高次泛音的干扰也就随即消失。能陷振动模式在高频滤波器中有广泛的应用。能陷振动模式在高频滤波器中有广泛的应用。由于能陷振动模式可以使晶片两端面的影响减小由于能陷振动模式可以使晶片两端面的影响减小到忽略不计，而且同一晶片上数个振子互相之间到忽略不计，而且同一晶片上数个振子互相之间互不干扰，这些就是能陷振子和单片压电滤波器互不干扰，这些就是能陷振子和单片压电滤波器的基本原理。的基本原理。但是在设计时还必须考虑其端面以及邻近振子的但是在设计时还必须考虑其端面以及邻近振子的影响。
33、影响。小结小结较较为为详详细细地地求求解解了了薄薄圆圆片片压压电电振振子子的的径径向向伸伸缩缩振振动动; ;得得到到机机电电耦耦合合系系数数与与谐谐振振和反谐振频率之间的关系和反谐振频率之间的关系; ;简简单单地地介介绍绍了了几几种种其其它它压压电电振振子子的的振振动动模模式式: :薄薄圆圆环环的的径径向向振振动动, ,薄薄球球壳壳的的径径向向振动振动, ,薄片的厚度伸缩振动。薄片的厚度伸缩振动。切变振动，弯曲振动，能陷振动模。切变振动，弯曲振动，能陷振动模。英国第英国第4 4代机敏级攻击型核潜艇代机敏级攻击型核潜艇20082008年年6 6月下水月下水（Class AstuteClass Astute）安装二）安装二0 0七六声纳系统七六声纳系统
