大学物理动量和角动量演示文档

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1、大学物理第四章 动量和角动量本章主要内容：本章主要内容：1. 1. 动量定理及守恒定律动量定理及守恒定律 2. 2. 角动量定理及守恒定律角动量定理及守恒定律 3. 3. 质心运动定理质心运动定理 4. 4. 碰撞碰撞 一、动一、动 量量质点动力质点动力学问题学问题度量质点度量质点运动的量运动的量动动 量量与质量和速度与质量和速度有关的状态量有关的状态量1、瞬时性、瞬时性2、矢量性、矢量性3、相对性、相对性在直角坐标系中在直角坐标系中在国际单位制（在国际单位制（SI）千克千克米米/秒秒（kgm/s）讨论讨论4.1 动量定理动量定理二、质点的动量定理二、质点的动量定理( (动量的变化与作用量的关

2、系）动量的变化与作用量的关系）由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。1）微分形式：）微分形式：2）积分形式：）积分形式：若为恒力：若为恒力：1、 冲量冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢力对时间的积累产生的效果是什么呢 ？冲量是力对时间的积累。冲量是力对时间的积累。2、动量定理动量定理1）微分形式：微分形式：由由 得：得： 动量定理的微分式动量定理的微分式在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。2）积分形式：积分形式：对上式积分

3、，对上式积分， 动量定理的积分式动量定理的积分式即：即： 1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。3、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。说明说明 从动量定理可以知道，在从动量定理可以知道，在相等的冲量相等的冲量作用下，作用下，不同质量不同质量的物的物体，其体，其速度变化速度变化是不相同的，但它们的是不相同的，但它们的动量的变化动量的变化却是一样的，却是一样的，所以从过程角度来看，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映了物体的运动动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。状态。因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，

4、用动量比用速度更确切些。用速度更确切些。动量和位矢动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。是描述物体机械状态的状态参量。3、动量定理分量形式、动量定理分量形式即即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式为为 在在低速运动低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为1) 冲力冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且

5、往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。若冲力很大若冲力很大, 其它外力可忽略时其它外力可忽略时, 则：则：若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时, 则则 是合外力的平均。是合外力的平均。2) 平均冲力平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：4、动量定理的应用、动量定理的应用 增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用 例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。击力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷

6、直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？ 解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h 处跳向地面，落地的速率为处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t ，重心下移了，重心下移了s 。由由动量定理动量定理得：得：设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止，则：到静止，则：设人从设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，则：，则：可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论设人的体重为设人的体重为70 kg70 kg，此时平均冲力：，此时平均冲力： 例例4-2 质质量量为为m=0.2kg的的皮皮球球，向向地地板板落落下下，以以8m/s的的速速率率与与地

7、地板板相相碰碰，并并以以近近似似相相同同的的速速率率弹弹回回，接接触触时时间间为为10-3s。求求 1)地板对球的平均冲力地板对球的平均冲力 2)冲力的冲量和重力的冲量。冲力的冲量和重力的冲量。 解解 1)取地板为参考系，向上为正，由取地板为参考系，向上为正，由 得：得：中的中的F 实为合外力，除冲力外实为合外力，除冲力外还有重力。还有重力。即即2)冲力的冲量：冲力的冲量：重力的冲量：重力的冲量：外力的冲量外力的冲量可忽略可忽略由两个质点组成的质点系：由两个质点组成的质点系：n 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系： 质点系的动力学方程质点系的动力学方程即：即：即即 质点系所受合外力等于系统

8、总动量的变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。三、质点系的动力学方程三、质点系的动力学方程ddpFt= =vv外外1、微分形式：、微分形式：动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明 在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量。系统在同一时间内动量的增量。2 、积分形式：积分形式：由由 得：得：对上式积分，对上式积分，动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：四、质点系的动量定理：四、质点系的动量定理： 内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。的改变无贡献。说明说

9、明3 、动量定理分量形式动量定理分量形式即即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将和即将落入车厢的煤落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平为研究的系统。取水平向右为正。向右为正。 t 时刻系统的水平总动量：时刻系统的水平总动量：t + dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量: dt 时间内水平总动量的增量：时间内水平总动量的增量： 由动量定理得：由动

10、量定理得： 例题例题4-3 一辆装煤车以一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为落入车厢的煤为m = 500kg。如果使车厢的速率保持不变，应。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计（摩擦忽略不计)一、动量守恒定律一、动量守恒定律对质点系，由对质点系，由知，当知，当时时动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意应用动量守恒定律时应注意 系统的动量守恒系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变并不意味着每个质点的动量不变， 在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的在内力

11、的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。质无关。 若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计略不计。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。4.2 动量定理守恒定律动量定理守恒定律不受外力。不受外力。 外力矢量和为零外力矢量和为零 动量守恒

12、定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。 动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。例题例题4-4 质量为质量为M，仰角为，仰角为的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m的炮的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦

13、，求，不计摩擦，求 (1)炮弹炮弹出口时炮车的速率；出口时炮车的速率；()发射炮弹过程中，炮车移动的距离发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为炮身长为L)。解解()选炮车和炮弹为系统选炮车和炮弹为系统,地面为参地面为参考系考系,系统所受合外力为系统所受合外力为N,mg,Mg都沿都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相分量守恒。设炮弹出口时相对于地面的水平速度为对于地面的水平速度为vx,炮身的反冲速度为炮身的反冲速度为vx,对地面参考系有对地面参考系有由相对速度的概念可得由相对速度的概念可得得得负号表示炮车反冲速度与负号表示

14、炮车反冲速度与x轴正向相反。轴正向相反。（）若以（）若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率车的速率，则此时炮车相对地面的速率设炮弹经设炮弹经t1s出口，在出口，在t1s内炮车沿水平方向移动了内炮车沿水平方向移动了解得解得负号表示炮身沿负号表示炮身沿x轴负向后退。轴负向后退。例题例题4-5：光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块两滑块A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另一端与滑块点，另一端与滑

15、块A接触，开始时滑块接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块后再释放，滑块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，将沿半圆环轨道上升，升到升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被压缩，求弹簧被压缩的距离的距离x.解：解：设滑块设滑块A离开弹簧时速度离开弹簧时速度为为v,在弹簧恢复原形的过程中机械在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒能守恒A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速

16、度，作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时，满足点时，满足 （4 4） （1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）、（）、（4 4）联立求解可得）联立求解可得 例例题题4-54-5如如图图，两两个个带带理理想想弹弹簧簧缓缓冲冲器器的的小小车车A A和和B B，质质量量分分别别为为m m1 1和和m m2 2B B不不动动，A A以以速速度度 与与B B碰碰撞撞，如如已已知知两两车车的的缓缓

17、冲冲弹弹簧簧的的劲劲度度系系数数分分别别为为k k1 1和和k k2 2，在在不不计计摩摩擦擦的的情情况况下下，求求两两车车相相对对静静止止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）解解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止时，两车速度相等。时，两车速度相等。在碰撞过程中，以两车和弹簧为在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能守恒。系统，动量守恒，机械能守恒。x x1 1、x x2 2分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律相

18、对静止时两车间的相互作用力相对静止时两车间的相互作用力一、质心一、质心 质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心(简简称质心：质点系的质量中心称质心：质点系的质量中心)的概念。的概念。N个质点组成的系统个质点组成的系统 位矢分别为位矢分别为 质点系的动量为质点系的动量为 4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理取质量为取质量为并与质点系具有相同动量的质点并与质点系具有相同动量的质点C其位矢为其位矢为,其速度为其速度为，则有，则有C称为

19、称为质点系的质心质点系的质心，称为质心的位矢。称为质心的位矢。可可以以证证明明：质质心心相相对对质质点点系系的的位位置置与与坐坐标标系系的的选选取取无无关关，即即质心相对于质点系本身是一个特定的位置。质心相对于质点系本身是一个特定的位置。引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得质心质心C的坐标的坐标对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 (1)几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。(2)有有些些物物体体的的质质心心可可能能不不在在所所求求的的物物体体上上，但但有有明明

20、确确的物理意义。的物理意义。(3)重重心心是是重重力力合合力力的的作作用用点点，尺尺寸寸不不大大的的物物体体，质质心心与重心重合。与重心重合。说明说明二、质心运动定理二、质心运动定理由质心位矢由质心位矢对对t求导，得求导，得为质心运动的加速度。由于为质心运动的加速度。由于 质心运动定理质心运动定理作用于质点系的作用于质点系的合外力合外力等于质点系的等于质点系的总质量乘上质心的加速度总质量乘上质心的加速度说明说明 质心的运动只由质点系所受的质心的运动只由质点系所受的合外力合外力决定，内力对质心的决定，内力对质心的运动不产生影响。运动不产生影响。时，时，质点系受的合外力在某个方向为零时，质点系受的

21、合外力在某个方向为零时， 在该方向的投影等在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒。于恒矢量，该方向动量守恒。质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。杂，但质心的运动可能很简单。时，时， 质心的加速度与把全部质量集中在质心质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。的质点的加速度相同。 例题例题4-6 一

22、长为一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度=0x/L .0为常量，为常量，x从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。解解 取坐标原点与轻端相重合，取坐标原点与轻端相重合，x轴沿棒长方向，如图，取质元轴沿棒长方向，如图，取质元x例题例题4-74-7 质量分别为质量分别为m1和和m2的两质点组成的质的两质点组成的质点系，质心处于静止状态。质量为点系，质心处于静止状态。质量为m1的质点以的质点以半径半径r1，速率，速率v1绕质心作匀速圆周运动，求质点绕质心作匀速圆周运动，求质点m2的运动规律。的运动规律。 解解 如图所示，取质心为坐标系的原点，可得如图所

23、示，取质心为坐标系的原点，可得 两质点的位矢满足如下方程两质点的位矢满足如下方程 由于质心静止，所以质心的动量为零，即由于质心静止，所以质心的动量为零，即即动量的大小为即动量的大小为如何描述质点如何描述质点系的运动？系的运动？SI 中中 ： kgm 2 / s的方向：用的方向：用右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。b）、）、相对性相对性(1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。(2)原点原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。 质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量一、角动量（动量矩）一

24、、角动量（动量矩）大小大小a）、）、矢量性矢量性qsinrpL =4.4 角动量定理角动量定理 1. 1. 质点的角动量质点的角动量 C C）、 的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式1、做圆周运动质点、做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量方向：方向： 与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系右手螺旋关系结论：结论：结论：结论：做匀速圆周运动的质点做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。方向：由方向：由右手螺旋右手螺旋定则确定。定则确定。质点对质点对O点的角动量点的角动量为：为：3）若）若O

25、取在直线上，则：取在直线上，则：说明说明 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。 t1 时刻质点对时刻质点对O点的角动量点的角动量为：为：2、作直线运动质点的角动量、作直线运动质点的角动量1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则，则2 2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量大小：大小：t2 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：！参考点不能选择在直线上参考点不能选择在直线上2、质点系的角动量：、质点系的角动量：系统的角动量等于各个质点对系统的角动量等于各个质点对同一参考点同一参考点的角

26、动量之和：的角动量之和：二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理对动量，有：对动量，有：对角动量？对角动量？ 定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律。即要找到变化遵守的规律。即要找到将角动量将角动量 对对时间求导时间求导，可得：，可得：定义：作用于质点上的定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩合外力对参考点的力矩2、在直角坐标系中、在直角坐标系中单位：牛单位：牛米（米（Nm）1、大小：、大小：d 为为力臂力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。4、作用于质点的、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。合外

27、力矩等于合外力的力矩。质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的质点所受的合外力矩合外力矩等于它的等于它的角动量的时间变化率角动量的时间变化率。 力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力各个力的力矩的矢量和（合力矩）矩的矢量和（合力矩）等于等于各个力的合力的力矩各个力的合力的力矩。 和和 是对同一惯性系中同一参考点而言的是对同一惯性系中同一参考点而言的说明说明3、相对性：依赖于参考点、相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。（1）、质点角动量）、质点角动量微分形式微分形式（2）、质点角动量定理）、质点角动量定理积分形式积分形式角动量定理角动量定理质点角

28、动量的增量等于质点受到的角冲量。质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。 例例题题4-8 4-8 质质量量为为m、线线长长为为l 的的单单摆摆，可可绕绕点点O 在在竖竖直直平平面面内内摆摆动动，初初始始时时刻刻摆摆线线被被拉拉成成水水平平，然然后后自自由由放放下下。求求: : 摆摆线线与与水水平平线线成成角角时时，摆摆球球所所受受到到的的力力矩矩及及摆摆球球对对点点O 的的角角动动量量； 摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；张力。任意位置时受力为：重力；张力

29、。由由角动量定理角动量定理：瞬时角动量瞬时角动量：重力对重力对O 点的力矩为：点的力矩为：方向方向：垂直于纸面向里。：垂直于纸面向里。张力对张力对O 点的力矩为零点的力矩为零。三、质点系的角动量定理：三、质点系的角动量定理：作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向里，大小：方向：垂直板面向里，大小：作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为

30、零。设：设：2、积分形式：、积分形式：质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。1、微分形式：、微分形式： 只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关， 内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量。总角动量。质质点点系系所所受受的的合合外外力力矩矩等等于于系系统统角角动动量量对对时时间变化率间变化率 质点系的角动量定理。质点系的角动量定理。说明说明一、一、 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩 若对

31、某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、有心力有心力， 与位矢与位矢 在同一直线上，从而在同一直线上，从而 。2、当作用在质点上的合外力矩对、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零某一方向的分量为零时，时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。则质点的角动量沿此方向的分量守恒。并不等于：并不等于：注意：注意：讨论讨论4.5 角动量

32、守恒定律角动量守恒定律 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，用下沿椭圆轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒 例题例题4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积( (面积速度面积速度) )是常量。是常量。面积速度面积速度: : 例题例题4-10 我国在我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行已知

33、卫星近地点的高度焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度h1=226km，远，远地点的高度地点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期（地球半径（地球半径R=6.37103km） 解解 卫星轨道如图所示由卫星轨道如图所示由于卫星所受地球引力为于卫星所受地球引力为有心力有心力，所，所以卫星对地球中心的以卫星对地球中心的角动量守恒角动量守恒在远地点时，位矢的大小为在远地点时，位矢的大小为 若坐标原点取在地心，则卫若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的

34、大星在轨道的近地点时，位矢的大小为小为 设卫星在远地点时的速率为设卫星在远地点时的速率为v1,且近地点和远地点处的且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律角动量守恒定律可得可得故有故有 设椭圆轨道的面积为设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为，卫星的面积速度为dS/dt，则卫，则卫星的运动周期星的运动周期a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为可得可得 例题补例题补 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率匀速率圆周圆周运动，运动， 其半径为其半径为r0 ，角速度为，角速度

35、为 。现通过圆心处的小孔缓慢地。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。 所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。因为绳对小球的的拉力因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，沿绳指向小孔，则力则力 对对O 点的力矩点的力矩：二、质点系的角动量守恒定律：二、质点系的角动量守恒定律： 角动量守恒定律角动量守恒定律1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定合外力为零不一定 合外力矩等于

36、零。合外力矩等于零。3、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。4、适用于惯性系，也可适用于微观现象。、适用于惯性系，也可适用于微观现象。当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒对该参考点守恒。例：例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。力偶的合力等于零，合力矩不等于零。说明说明2、分量形式的角动量守恒定律仍然成立。、分量形式的角动量守恒定律仍然成立。三、力偶三、力偶 力偶矩力偶矩大小相等、方向相反、不在同一条直线大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。上的一对力称为

37、力偶。合力矩：合力矩： 例题例题4-11 两人质量相等两人质量相等, ,位于同一高度，各由绳子一端开始位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？ 解解 选两人及轮为系统，选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。 产生力矩的只有重力。产生力矩的只有重力。即两人同时到达顶点。即两人同时到达顶点。由角动量定理：由角动量定理：法二法二: ( 角动量守恒角动量守恒 )1、若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量、若其中一个人不

38、动，外力矩情况依然，内力矩对角动量 无贡献，因而角动量守恒。无贡献，因而角动量守恒。即轻者先即轻者先到到达。达。2、若、若m1m2，则则系统所受的合外力矩为零，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。角动量守恒。讨论讨论 例题例题4-12 如图所示，静止在水平光滑桌面上长为如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆的轻质细杆和和的小球，系统的小球，系统的小球的小球 l/3 处的处的O点在水平面桌面上转动点在水平面桌面上转动的小球以水平速度的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度求碰后细杆获得的角速度 （质量忽

39、略不计）两端分别固定质量为（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为可绕距质量为今有一质量为今有一质量为质量为质量为/2的速度返回，的速度返回， 解解 取三个小球和细杆组成的系统，取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零点的力矩的矢量和为零。O点对细杆点对细杆的作用力对点的力矩为零系统所受的作用力对点的力矩为零系统所受的合外力矩为零所以，系统的角动的合外力矩为零所以，系统的角动量守恒量守恒 解解 取小球与地球为系统，机械能守恒取小球与地球为系统，机械能守恒。由

40、角动量守恒得由角动量守恒得联立解得联立解得例题例题4-13 质量为质量为m的小球的小球A,以速度以速度v0沿质量为沿质量为M半径为半径为R的地球的地球表面切向水平向右飞出，地轴表面切向水平向右飞出，地轴OO与与v0平行，小球平行，小球A的运动轨道的运动轨道与轴与轴OO相交于点相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球求小球A在点在点C的速度与的速度与OO轴之间的夹角轴之间的夹角。一、碰撞及其分类一、碰撞及其分类3、碰撞分类、碰撞分类 弹性碰撞弹性碰撞碰撞后形变消失，无机械能损失；碰撞后形变消失，无机械能损失；非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞后，形变不能恢

41、复。碰撞后，形变不能恢复。部分机械能变成热部分机械能变成热能；能；完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失最大。度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象不一定不一定接触接触2、碰撞的特点：、碰撞的特点：t 极短，内力远大于外力极短，内力远大于外力a.无外力：动量守恒无外力：动量守恒 （质点对质点）（质点对质点）b.无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）4.6 碰碰 撞撞二、正碰二、正碰1.碰撞定律碰撞定律两

42、个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。m1m2m2m1m2m1牛顿认为牛顿认为 碰撞后的分离速度碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料决定，即成正比，比值由两球的材料决定，即e 称为恢复系数称为恢复系数当当e =0 时为完全非弹性碰撞时为完全非弹性碰撞 时时 弹性碰撞弹性碰撞. .1e = = 时时 非弹性碰撞非弹性碰撞. .动量守恒动量守恒 m1m2m2m1m2m1

43、2. 2. 一维正碰一维正碰和碰撞定律和碰撞定律联立解得联立解得当当e =0 时为完全非弹性碰撞时为完全非弹性碰撞当当e =1 时为弹性碰撞时为弹性碰撞正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度。一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。 表示碰后两物体以同一速度运动，并不分开。表示碰后两物体以同一速度运动，并不分开。 3.3.碰撞过程中动能的损失碰撞过程中动能的损失 三、

44、斜碰（二维碰撞）三、斜碰（二维碰撞） 系统的动量守恒系统的动量守恒 y方向上有方向上有 x方向上（方向上（按正碰）按正碰）有有 与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。 例题例题4-154-15 质量分别为质量分别为m和和m的两个小球，系于等的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。将将m拉至拉至h高处，由静止释放。在下列情况下，求高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。（两球上升的高度

45、。（1 1）碰撞是完全弹性的；）碰撞是完全弹性的；（2 2）碰撞是完全非弹性的。）碰撞是完全非弹性的。 解解 （1 1）碰撞前小球）碰撞前小球m m的速度的速度 ，由于碰撞是完全弹性的，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为度分别为v和和v，则有，则有 可解得可解得上升的高度分别为上升的高度分别为H H和和H（2 2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒定律可得，由动量守恒定律可得 二球上升的高度为二球上升的高度为例题例题4-16： 热中子

46、被静止氦核散射。氦核热中子被静止氦核散射。氦核M,热中子热中子m,且且M/m=4,散射为弹性碰撞。中子的散射角散射为弹性碰撞。中子的散射角111，求中子在散，求中子在散射过程中损失了多少能量？射过程中损失了多少能量？解：解：系统的动量守恒和机械能守恒系统的动量守恒和机械能守恒化简得化简得三式联立得三式联立得散射后与散射前中子动能之比为散射后与散射前中子动能之比为所以动能损失了所以动能损失了50%50%。一、对称性与守恒定律：一、对称性与守恒定律：1、对对称称性性对对某某种种几几何何形形体体施施行行某某种种操操作作，使使它它的的形形状状和和位位置置都都不不显显现现任任何何可可觉觉察察的的变变化化

47、。称称这这种种形形体体具具有有几几何何对对称性。雪花、昆虫、晶体称性。雪花、昆虫、晶体。举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性若球体上加记号若球体上加记号“”，不再具有旋转对称性，称为，不再具有旋转对称性，称为“对称性破对称性破缺缺”。2、物理学中的对称性、物理学中的对称性:系统从一个状态系统从一个状态 另一个状态另一个状态变换或操作变换或操作。一一个个变变换换使使系系统统从从一一个个状状态态 另另一一个个与与之之等等价价的的状状态态，称称该该系统对这一变换系统对这一变换(操作操作)是对称的是对称的。这个变换这个变换(操作操作)叫该系统的一个叫该系

48、统的一个对称操作对称操作。4.7 对称性与守恒定律对称性与守恒定律物理学中两类不同性质的对称性：物理学中两类不同性质的对称性：(1)系统或某具体事物的对称性系统或某具体事物的对称性(例如例如,两质点系统具有轴对称两质点系统具有轴对称) (2)物理规律的对称性物理规律的对称性经一定的变换经一定的变换(操作操作),物理规律的物理规律的 形式保持不变。形式保持不变。例如例如:牛顿定律经伽利略变换具有形式不变性牛顿定律经伽利略变换具有形式不变性,称为具有对称性。称为具有对称性。3、物理定律的对称性、物理定律的对称性研究物理定律在某种操作下的不变性。研究物理定律在某种操作下的不变性。1） 、物理定律物理

49、定律时间平移不变性时间平移不变性 物物理理定定律律对对时时间间的的均均匀匀性性。不不改改变变实实验验条条件件的的情情况况下下，今今天天与明天应得到相同的结果。与明天应得到相同的结果。2） 、物理定律物理定律空间平移不变性空间平移不变性 空间具有对称性。不同地点做实验，应得到相同的结果。空间具有对称性。不同地点做实验，应得到相同的结果。4） 、物理定律镜像不变性物理定律镜像不变性空空间间左左右右对对称称。例例如如：镜镜像像钟钟、镜镜像像电电动动机机，遵遵守守相相同同的规律。的规律。5） 、物理定律的惯性系变换不变性物理定律的惯性系变换不变性 惯性系之间是完全对称的。低速下，牛顿定律在惯性系之间是

50、完全对称的。低速下，牛顿定律在 伽利略变换下具有形式不变性；伽利略变换下具有形式不变性； 高速下，在洛高速下，在洛 伦兹变化下，牛顿定律不具有形式不变性，故需伦兹变化下，牛顿定律不具有形式不变性，故需 将它改造为相对论力学规律。将它改造为相对论力学规律。3） 、物理定律空间转动不变性物理定律空间转动不变性物理定律的对称性可用一种否定形式来叙述：物理定律的对称性可用一种否定形式来叙述：我们不可能通过物理实验来确定我们所处的时间的绝对值，空我们不可能通过物理实验来确定我们所处的时间的绝对值，空间的绝对位置，空间的绝对方向，空间绝对的左或绝对的右，间的绝对位置，空间的绝对方向，空间绝对的左或绝对的右

51、，所在参考系的绝对的速度。所在参考系的绝对的速度。物理定律的对称性物理定律的对称性反映时空特性。反映时空特性。守恒定律与物理规律在一定变换守恒定律与物理规律在一定变换(操作操作)下的不变性密切相连。下的不变性密切相连。诺诺特特定定理理(1918)：如如果果物物理理规规律律在在某某一一个个不不明明显显依依赖赖时时间间的的变变换下具有不变性，必然有一个守恒定律存在。换下具有不变性，必然有一个守恒定律存在。诺特定理的意义：诺特定理的意义：二、时空对称性与三大守恒定律二、时空对称性与三大守恒定律 它对某一个运动规律在某一个变化下的形式不变性它对某一个运动规律在某一个变化下的形式不变性与守恒定律的存在联

52、系起来了。而且指出：若运动规与守恒定律的存在联系起来了。而且指出：若运动规律在某一个变换群中所有变换都具有不变性律在某一个变换群中所有变换都具有不变性,则则:守恒定守恒定律数律数=变换群中变换数变换群中变换数。1 、空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒 在这样的条件下，粒子在这样的条件下，粒子1 1和粒子和粒子2 2所受到的力分别为：所受到的力分别为： 两个粒子体系的总动量不随时间改变两个粒子体系的总动量不随时间改变 2.空间的各向同性与角动量守恒定律空间的各向同性与角动量守恒定律B粒子固定粒子固定,A粒子沿粒子沿B的圆弧运动的圆弧运动,相对势能的改变为相对势能的改变为而上述操作不

53、改变相对势能而上述操作不改变相对势能两粒子的相互作用力沿两者的连线，与角动量守两粒子的相互作用力沿两者的连线，与角动量守恒是等价的。恒是等价的。时间的均匀性时间的均匀性能量守恒定律能量守恒定律粒子之间的相互作用可用相互作用势能表示，时间的均匀性意粒子之间的相互作用可用相互作用势能表示，时间的均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不应随时间的平移而改变。在这种情况下系统的能量总是守恒的应随时间的平移而改变。在这种情况下系统的能量总是守恒的 运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；运运动规律对空间原点选择的平移不

54、变性决定了动量守恒；运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒；运动规律对时动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒；运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒。间原点选择的平移不变性决定了能量守恒。3. 3. 时间均匀性与能量守恒时间均匀性与能量守恒如果系统的力学性质与计算时间的起点无关，则称这个系统具有如果系统的力学性质与计算时间的起点无关，则称这个系统具有时间平移不变性或时间均匀性。从微观角度看，在所有的系统中，时间平移不变性或时间均匀性。从微观角度看，在所有的系统中，粒子与粒子之间的相互作用可用相互作用势能来表示，时间均匀粒子与粒子之间的相互作用可用相互作用势能来表示，时间均匀性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而性意味着这种相互作用势能只与两粒子之间的相对位置有关，而不应随时间的平移而改变，在这种情况下，系统的总能量是守恒的。不应随时间的平移而改变，在这种情况下，系统的总能量是守恒的。