《2022年差分方程及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年差分方程及其应用（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如， 银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量， 通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。1 基本概念线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重
2、要概念。下面给出差分的定义。设自变量t取离散的等间隔整数值：，210tty是t的函数，记作)(tfyt。显然，ty的取值是一个序列。当自变量由t改变到1t时，相应的函值之差称为函数)(tfyt在t的一阶差分，记作ty，即)()1(1tftfyyyttt。由于函数)(tfyt的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(tfyt的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。例如：设某公司经营一种商品，第t月初的库存量是)(tR，第t月调进和销出这种商品的数量分别是)(tP和)(tQ，则下月月初，即第1t月
3、月初的库存量) 1(tR应是)()()()1(tQtPtRtR，若将上式写作)()()()1(tQtPtRtR，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记)()1()(tRtRtR，并将理解为库存量)(tR是时间t的函数，则称上式为库存量函数)(tR在t时刻（此处t以月为单位）的差分。按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(tfyt在t的一阶差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页精品资料欢迎下载分的差分为函数在t的二阶差分，记作ty2，即)()()(11212ttttttttyyyyyyyyttty
4、yy122。依次定义函数)(tfyt在t的三阶差分为tttttttyyyyyyy12212232)(ttttyyyy12333。一般地，函数)(tfyt在t的n阶差分定义为tntntntnyyyy1111）（nkkntkykknnn0!)1() 1() 1(。上式表明， 函数)(tfyt在t的n阶差分是该函数的n个函数值，tntntyyy，1的线性组合。例 1 设322ttyt，求ty，ty2。解32)32( 3) 1(2)1(221tttttyyyttt。tttttyyyyy1222)(232 312) 1(23)2(2)2(222tttttt）（。2、 差分方程的基本概念先看例题。设0A是
5、初始存款 （0t时的存款），年利率)10(rr，如以复利计息， 试确定t年末的本利和tA。在该问题中， 如将时间t（t以年为单位） 看作自变量， 则本利和tA可看作是t的函数：)(tfAt。这个函数是要求的未知函数。虽然不能立即写出函数关系)(tfAt，但可以写出相邻两个函数值之间的关系式tttrAAA1，),2, 1 ,0(r，（1-1 ）如写作函数)(tfAt在t的差分tttAAA1的形式，则上式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页精品资料欢迎下载ttrAA，),2, 1 ,0(r，（1-2 ）由（ 1-1 ）
6、式可算出t年末的本利和为01ArAtt）（，),2, 1 ,0(r。（1-3 ）在（ 1-1 ）式和（ 1-2 ）式中，因含有未知函数)(tfAt，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1 ）中含有两个未知函数的函数值tA和1tA，在方程（ 1-2 ）中含有未知函数的差分tA，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2 ）中，仅含未知函数的函数值)(tfAt的一阶差分， 在方程（1-1 ） 中， 未知函数的下标最大差数是1， 即11tt）（，故方程（ 1-1 ）或方程（ 1-2 ）称为一阶差分方程。（1-3）式是tA在t之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1 ）或（
7、1-2 ） ，这个函数称为差分方程的解。由上例题分析，差分方程的基本概念如下：含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。例如0332tyyyttt就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数)(tfyt在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为0512tyyyttt。正因如此，差分方程又可定义为含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说， 差分方程中未知函数
8、下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。n阶差分方程的一般形式可表示为0),(2tntttyyyyt，（1-4 ）或0),(1ntttyyytF，（1-5 ）由于经济学中经常遇到是形如（1-5 ）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5 ）式的差分方程。若把一个函数)(tyt代入差分方程中，使其成为恒等式，则称)(tyt为差分方程的解。 含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。一阶差分方程的初始条件为一个，一般是00ay（0a是常数）；二阶差分方程的初始精选学习资料
9、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页精品资料欢迎下载条件为两个，一般是00ay，11ay（0a，1a是常数）；依次类推。二、线性差分方程解的基本定理现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。二阶线性差分方程的一般形式）tfytbytayttt()()(12，（1-6 ）其中)(ta，)(tb和)(tf均为t的已知函数，且0)(tb。若0)(tf，则（ 1-6 ）式称为二阶非齐次线性差分方程；若0)(tf，则（ 1-6 ）式称为0)()(12tttytbytay，（1-7 ）定
10、理 1 若函数)(1ty，)(2ty是二阶齐次线性差分方程（1-7 ）的解，则)()()(2211tyCtyCty，也该方程的解，其中1C、2C是任意常数。定理2( 齐次线性差分方程解的结构定理)若函数)(1ty，)(2ty是二阶齐次线性差分方程（1-7 ）的线性无关特解，则)()()(2211tyCtyCtyC是该方程的通解， 其中1C、2C是任意常数。定理 3 （非齐次线性差分方程解的结构定理）若)(*ty是二阶非齐次线性差分方程（1-6 ）的一个特解，)(tyC是齐次线性差分方程（1-7 ）的通解，则差分方程（1-6 ）的通解为)()(*tytyyCt。定理 4 (解的叠加原理 ) 若函
11、数)(*1ty，)(*2ty分别是二阶非齐次线性差分方程)()()(112tfytbytayttt与)()()(212tfytbytayttt的特解，则)()(*2*1tyty是差分方程)()()()(2112tftfytbytayttt的特解。2 一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1tfayytt，（2-1 ）其中常数0a，)(tf为t的已知函数，当)(tf不恒为零时，（2-1 ）式称为一阶非齐次差分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页精品资料欢迎下载方程；当0)(tf时，差分方
12、程01ttayy。（2-2 ）称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。下面给出差分方程（2-2 ）的迭代解法。一、求齐次差分方程的通解把方程（ 2-2 ）写作ttyay)(1，假设在初始时刻，即0t时，函数ty取任意常数C。分别以,2 ,1 ,0t代入上式，得,2, 1 ,0)()()()(),()(020201taCyayaCyayaCyayttt，最后一式就是齐次差分方程（2-2 ）的通解。特别地，当1a时，齐次差分方程（2-2 ）的通解为Cyt，, 2, 1 ,0t。二、求齐次线性差分方程的通解1、设btf)(为常数此时，非齐次差分方程（2-1 ）可写作byaytt)(1。分别
13、以,2, 1 ,0t代入上式，得)()()(1 )()()(1)()()(1)()()(12020323021201tttaaabyayaabyabyayabyabyaybyay。（2-3 ）若1a，则由（ 2-3 ）式用等比级数求和公式，得aabyayttt1)(1)(0，, 2, 1 ,0t，或abaCababyayttt1)(1)1()(0，,2 ,1 ,0t，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页精品资料欢迎下载其中abyC10为任意常数。若1a，则由（ 2-3 ）式，得btCbtyyt0，,2, 1 ,0t，
14、其中0yC为任意常数。综上讨论，差分方程bayytt 1的通解为。，1,1,1)(abtCaabaCyt（2-4 ）上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（2-2 ）的通解，第二项是非齐次差分方程（ 2-1 ）的一个特解。这里，当1a时，由上式所确定的解序列)2,1(tyt的特性作两点说明：例 1 求解差分方程51321ttyy。解：由于32a，51b，531ab。由通解公式（2-4 ） ，差分方程的通解为53)32(ttCy， （C为任意常数）。2、)(tf为一般情况此时，非齐次差分方程可写作)()(1tfyaytt。分别以,2, 1 ,0t代入上式，得。，) 1()()()
15、1()2()()1 ()()0()()()2() 1(0()0()()()2()()1 ()0()()()1 ()()0()(1021020323021201ktfaaCtftfafafayayffafayafyayffayafyayfyaytkkttttt（2-5 ）其中0yC是任意常数。（2-5 ）式就是非齐次差分方程（2-1 ）的通解。其中第一项是齐次差分方程（ 2-2 ）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2-1 ）的一个特解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页精品资料欢迎下载例 1 求差分方程tttyy2
16、1的通解。解由于1a，ttf2)(。由通解式（ 2-5 ）得非齐次线性差分方程的特解tttttkktkttkkty131231211)21(12)21(22) 1()(1101110*，于是，所求通解为ttttttCCy231)1()1(31231) 1(1。其中311CC为任意常数。3 常系数线性差分方程一、一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1tfayytt，（3-1 ）与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程为01ttayy。（3-2 ） 1、求齐次线性差分方程的通解为了求出一阶齐次差分方程（3-2 ）的通解，由上节定理2，只要求出其一非零的特解即可。注
17、意到方程（3-2）的特点，1ty是ty的常数倍，而函数tt1恰满足这个特点。不妨设方程有形如下式的特解tty，其中是非零待定常数。将其代入方程（3-2 ）中，有01tta，即0)(at。由于0t，因此tty是方程（ 3-2 ）的解的充要条件是0a。所以a时，一阶齐次差分方程（2）的非零特解为ttay）（。从而差分方程（3-2 ）通解为tcaCy)(（C为任意常数） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页精品资料欢迎下载称一次代数方程0a为差分方程（3-1 ）或（ 3-2 ）的特征方程；特征方程的根为特征根或特征值。由
18、上述分析，为求出一阶齐次差分方程（2）的通解，应先写出其特征方程，进而求出特征根，写出其特解；最后写出其通解。2、求非齐次线性差分方程的特解和通解下面仅就函数)(tf为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（3-1 ） 的特解。根据)(tf的形式，按表1 确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解)(*ty。表 1：)(tf的形式确定待定特解的条件待定特解的形式)(tPmt)0()(tPm是m次多项式不是特征根)(tPmt)(tQm是m次多项式是特征根)(ttPmt)sincos(tbtat)0(令)sin(costit不是特征根)sincos(tBtAt是特征根)sincos(tB
19、tAtt说明：当)sincos()(tbtatft时，因和为已知，令)sin(costit，则可计算出。例 1 求差分方程tttyy21的通解。解：特征方程为01，特征根1。齐次差分方程的通解为tCCy)1(。由于)(2)(0tPtftt，2不是特征根。因此设非齐次差分方程特解形式为tBty2)(*。将其代入已知方程，有tttBB2221，解得31B，所以tty231)(*。于是，所求通解为ttCtCtyyy231)1()(*， （C为任意常数） 。例 2 求差分方程tyytt231的通解。解：特征方程为01，特征根1。齐次差分方程的通解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
20、归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页精品资料欢迎下载CyC。由于)(23)(1tPttft，1是特征根。因此非齐次差分方程的特解为)()(10*tBBtty。将其代入已知差分方程得ttBBB232110，比较该方程的两端关于t的同次幂的系数，可解得20B，11B。故2*2)(ttty。于是，所求通解为2*2ttCyyyct， （C为任意常数） 。例 3 求差分方程13331ttttyy的通解。解：已知方程改写为13)1(3311ttttyy，即313) 1(1ttttyy。求解如下两个方程)1(31tyyttt，（3-3 ）311ttyy，（3-4 ）对方程（ 3-3
21、） ：特征根1，)()1(3)(1tPttftt，3不是特征根，设特解为)(3)(10*1tBBtyt，将其代入方程（3-3 ）有) 1(3)(3) 1(310101ttBBtBBttt，可解得410B，211B。故)2141(3)(*1ttyt。对方程（ 3-4 ） ： 特征根1，)(31)(0tPtft，1是特征根， 设特解为Btty)(*2。将其代入方程（3-4 ）解得31B。于是，tty31)(*2。因此，齐次差分方程的通解为CtyC)(。所求通解为ttCyyyytct31)4121(3*2*1， （C为任意常数） 。例 4 求差分方程tyytt2sin31的通解。解：因特征根3，齐次
22、差分方程的通解tCCy3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页精品资料欢迎下载)sincos(2sin)(tbtattft，0a，1b，1，2。令iii2sin2cos)sin(cos。因为i不是特征根，设特解tBtAty2sin2cos)(*。将其代入原方程有ttBtAtBtA2sin2sin2cos312sin12cos）（）（）（。（3-5 ）因为tt2sin12cos）（，tt2cos) 1(2sin，将其代入（3-5 ）式，并整理得ttBAtAB2sin2sin)3(2cos)3(。比较上式两端的系数，解得
23、101A，103B。故非齐次差分方程的特解ttty2sin1032cos101)(*。于是，所求通解为ttCyyytCt2sin1032cos1013*， （C为任意常数） 。二、 二阶常系数线性差分方程的解法二阶常系数线性差分方程的一般形式为)(12tfbyayyttt，（3-6 ）其中a，b为已知常数，且0b，)(tf为已知函数。与方程（7）相对应的二阶齐次线性差分方程为012tttbyayy。（3-7 ）1、求齐次线性差分方程的通解为了求出二阶齐次差分方程（3-7 ）的通解，首先要求出两个线性无关的特解。与一阶齐次差分方程同样分析，设方程（3-7 ）有特解tty，其中是非零待定常数。将其
24、代入方程（3-7 ）式有0)(2bat。因为0t，所以tty是方程（ 3-7 ）的解的充要条件是02ba。（3-8 ）称二次代数方程（3-8）为差分方程（3-7 ）或（ 3-8 ）的特征方程，对应的根称为特征根。（1） 、特征方程有相异实根1与2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页精品资料欢迎下载此时，齐次差分方程（3-7 ）有两个特解tty11)(和tty22)(，且它们线性无关。于是，其通解为ttCCCty2211)(， （1C，2C为任意常数）。（2） 、特征方程有同根21这时，a2121，齐次差分方程（3-
25、7 ）有一个特解taty)21()(1，直接验证可知tatty)21()(2也是齐次差分方程（3-7 ）的特解。 显然，)(1ty与)(2ty线性无关。于是，齐次差分方程（8）的通解为tCatCCty)21)()(21， （1C，2C为任意常数） 。（3） 、特征方程有共轭复根i此时，直接验证可知，齐次差分方程（3-7 ）有两个线性无关的特解trtytcos)(1，trtytsin)(2，其中22br，由241tanaba确定，),0(。于是，齐次差分方程（ 3-7 ）的通解为)sincos()(21tCtCrtytC， （1C，2C为任意常数） 。例 5求差分方程09612tttyyy的通解
26、。解：特征方程是0962，特征根为二重根321，于是，所求通解为tCtCCty3)()(21， （1C，2C为任意常数）。例 6求差分方程016412tttyyy满足初值条件322, 110yy的特解。解 ： 特 征 方 程 为01642， 它 有 一 对 共 轭 复 根i 32221，。 令416r，由241tanaba，得3。于是原方程的通解为)3sin3cos(4)(21tCtCtytC。将初值条件322, 110yy代入上式解得11C，12C。于是所求特解为)3sin3(cos4)(tttyt。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
27、 11 页，共 18 页精品资料欢迎下载2、求非齐次线性差分方程的特解和通解利用待定系数法可求出)(tf的几种常见形式的非齐次差分方程（3-6 ）的特解。如表3 表 3 )(tf的形式确定待定特解的条件待定特解的形式)(tPmt)0()(tPm是m次多项式不是特征根)(tPmt)(tQm是m次多项式是单特征根)(ttPmt是 2 重特征根)(tPtmkt)sincos(tbtat)0(令)sin(costit不是特征根)sincos(tBtAt是单特征根)sincos(tBtAt是 2 重特征根)sincos(tBtAtkt例 7求差分方程)12(3612tyyytttt的通解。解：特征根为2
28、1，32。)(123)(1tPttftt，其中1m，3。因3是单根，故设特解为)(3)(10*tBBttyt。将其代入差分方程得12336) 1() 1(3)2()2(310101102ttBBttBBttBBttttt，即1233)331530(101tBBtBtt。解得2520B，1511B，因此特解为)252151(3)(*tttyt。所求通解为)252151(33)2(21*ttCCyyytttCt， （1C，2C为任意常数 ） 。例 8求差分方程ttttyyy39612的通解。解：特征根为321。)(3)(0tPtftt，其中0m，3。因3为二重根，应设特解为tBtty3)(2*。精
29、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页精品资料欢迎下载将其代入差分方程得ttttBttBtB3393) 1(63)2(21222，解得181B，特解为ttty3181)(2*。通解为ttCtttCCyyy31513)(221*， （1C，2C为任意常数 ） 。例 9求差分方程53312tttyyy满足初值条件50y，81y的特解。解: 特征根为i232321，。因为3r，由33tan，得3。所以齐次差分方程的通解为)6sin6cos()3()(21tCtCtytC。)(5)(0tPtft，其中0m，1。因1不是特征根，
30、故设特解Bty)(*。将其代入差分方程得533BBB，从而5B。于是所求特解5)(*ty。因此原方程通解为5)6sin6cos()3()(21tCtCtyt。将8,510yy分别代入上式，解得01C，322C。故所求特解为56sin)3(2)(1*ttyt。4 差分方程在经济学中的应用一、筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划 20 年后开始从投资帐户中每月支取1000 元，直到10 年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20 年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。设第n个月投资帐户资金为n
31、S元，每月存入资金为a元。于是， 20 年后关于nS的差分方程模型为0001005.11nnSS。（4-1 ）并且xSS0120,0。解方程（ 4-1 ） ，得通解000200005.1005.111000005. 1CCSnnn，以及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页精品资料欢迎下载,000200,0000200005.10120120xCSCS从而有45.07390005.1000200000200120x。从现在到 20 年内，nS满足的差分方程为aSSnn005.11，（4-2 ）且45.07390,02
32、400SS。解方程（ 4-2 ） ，得通解aCaCSnnn200005.1005.11005. 1，以及, 0200,45.07390200005. 10240240aCSaCS从而有95.194a。即要达到投资目标，20 年内要筹措资金90 073.45 元，平均每月要存入银行194.95 元。二、价格与库存模型设tP为第t个时段某类产品的价格，tL为第t个时产品的库存量，L为该产品的合理库存量。 一般情况下， 如果库存量超过合理库存，则该产品的价格下跌，如果库存量低于合理库存，则该产品的价格上涨，于是有方程)(1tttLLcPP，（4-3 ）其中c为比例常数。由（4-3）式变形可得)(21
33、12tttttLLcPPP。（4-4 ）又设库存量tL的改变与产品销售状态有关，且在第1t时段库存增加量等于该时段的供求之差，即11tttttDSLL，（4-5 ）若设供给函数和需求函数分别为)(),(PbDPaS，代入到（ 4-5 ）式得baPbaLLtttt)(1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页精品资料欢迎下载再由（ 4-4）式得方程)( 2)(12baPPbacPttt。（4-6 ）设方程（ 4-6 ）的特解为APt，代入方程得A，方程（ 4-6 ）对应的齐次方程的特征方程为012)(2bac，解得 2
34、)(21,122, 1bacrrr，于是若1| r，并设cosr，则方程（ 4-6 ）的通解为nBnBPtsincos21。若1| r，则21,为两个实根，方程（4-6 ）的通解为nntAAP2211。由于1122rrr，则当t时，n2将迅速变化，方程无稳定解。因此， 当11r， 即210r， 亦即bac40时， 价格相对稳定。 其中cba,为正常数。三、动态经济系统的蛛网模型在自由市场上你一定注意过这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量远大于需求量时，销售不畅会导致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副产品。过一段时间猪肉上市量减少， 供不应求导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，
35、又重操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求价格下跌的局面。在没有外界干预的条件下，这种现象将一直循环下去， 在完全自由竞争的市场体系中，这种现象是永远不可避免的。由于商品的价格主要由需求关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，因而价格越低。而下一个时期商品的数量是由生产者的供求关系决定，商品价格越低， 生产的数量就越少。当商品数量少到一定程度时， 价格又出现反弹。 这样的需求和供给关系决定了市场经济中价格和数量必然是振荡的。有的商品这种振荡的振幅越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越大，最后导致经济崩溃。现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究上述振荡现象。设第 n 个时期（长度假
36、定为一年）猪肉的产量为snQ ，价格为nP ，产量与价格的关系为)(snnQfP，本时期的价格又决定下一时期的产量，因此，)(1ndnPgQ。这种产销关系可用下述过程来描述：1A图 1：蛛网模型图)(PgQ)(QfPoP3A4A2AQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页精品资料欢迎下载nsnsssPQPQPQPQ332211，设),(),(),(),(234223122111PQAPQAPQAPQAssss，),(),(1212kskkkskkPQAPQA。以产量 Q 和价格P分别作为坐标系的横轴和纵轴，绘出图 1
37、。这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型。对于蛛网模型，假定商品本期的需求量dtQ决定于本期的价格tP ，即需求函数为)(tdtPfQ，商品本期产量stQ 决定于前一期的价格1tP，即供给函数为)(1tstPgQ。根据上述假设，蛛网模型可以用下述联立方程式来表示stdttsttdtQQPQPQ1，其中，,均为常数且均大于零。蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。现在只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。即当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。假设，在第一期由于某种外在原
38、因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平eQ减少为1Q。根据需求曲线，消费者愿意支付1P 的价格购买全部的产量1Q ，于是，实际价格上升为1P 。根据第一期较高的价格水平1P ，按照供给曲线， 生产者将第二期的产量增加为2Q ；在第二期，生产者为了出售全部的产量2Q ，接受消费者所愿意支付的价格2P ，于是，实际价格下降为2P。根据第二期的较低的价格水平2P ，生产者将第三期的产量减少为3Q ；在第三期，消费者愿意支付3P的价格购买全部的产量3Q ，于是，实际价格又上升为3P。根据第三期较高的价格水平3P，生产者又将第四期的产量增加为4Q 。如此循环下去 （如图 2 所示），实际产量和实
39、际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点e所代表的水平。由此可见，图2 中的平衡点e所代表的平衡状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离平衡点),(eeQP后，经济制度中存在着自发的因素，能使价格和产eoPQ2431QQQQQe2PePPP31ds图 2：收敛型蛛网精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页精品资料欢迎下载量自动地恢复均衡状态。产量和价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛网模型名称的由来。下面给出具体实例：据统计，某城市2001 年的猪肉产量为30 万吨，价格为6.00 元/公
40、斤。 2002 年生产猪肉25 万吨，价格为8.00 元/公斤。已知2003 年的猪肉产量为25 万吨，若维持目前的消费水平与生产方式， 并假定猪肉产量与价格之间是线性关系。问若干年以后的产量与价格是否会趋于稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格。设 2001 年猪肉的产量为1x ，猪肉的价格为1y ，2002 年猪肉的产量为2x ，猪肉的价格为2y ，依此类推。根据线性假设，需求函数)( xfy是一条直线，且)6,30(1A和)8 ,25(3A在直线上，因此得需求函数为), 3,2, 1(5218nxynn，（4-7）供给函数)(ygx也是一条直线，且)6,25(2A和)8 ,28(3A在直线上
41、，因此得供给函数为), 3, 2, 1(23161nyxnn，（4-8）将（ 4-7）式代入到（ 4-8）式得关于nx 的差分方程nnxx53431。（4-9）利用迭代法解方程（4-9） 。于是有)()53(1211xxxxkkk，所以nknkkkknxxxxxx11112111)53()()(，从而nkknkknxxxx11111211)53(530)53()(，于是，875.2682155311530lim1nnx（万吨）。类似于上述推导过程，得到关于ny的表达式nkknkknyyyy11111211)53(26)53()(，于是，25.7858531126lim1nny（元 /公斤） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页精品资料欢迎下载若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量为875.26（万吨），稳定的价格为25. 7（元 /公斤）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页
