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1、本章整合第二章第二章 数列数列专题一专题二专题三专题四专题一等差数列与等比数列的基本运算在等差(或等比)数列中,首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量,一般的等差(或等比)数列的计算问题,都可以设出这两个量求解.在等差数列中的五个量a1,d,n,an,Sn(或等比数列中的五个量a1,q,n,an,Sn)中,可通过列方程组的方法知三求二.专题一专题二专题三专题四应用已知an为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求数列an的通项公式;(2)若等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n项和公式.解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.an=-10+(n-1)2=2n
2、-12.(2)设等比数列bn的公比为q.b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,-8q=-24,即q=3.专题一专题二专题三专题四专题二以数阵为背景的数列问题所谓数阵是指将某些数,按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵不仅有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常解题中最常见的是前两种.数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列.解决此类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生具有较强的观察
3、分析、归纳猜想以及对数列知识融合迁移的能力.下面看一下几种题型.专题一专题二专题三专题四应用1如图所示的数阵,第n行最右边的数是.解析:设第n行左边第一个数为an,则a1=1,a2=3=a1+21,a3=7=a2+22,an=an-1+2(n-1),把这些式子左右两边分别相加,得an=n2-n+1.又每一行都是公差为2的等差数列,且第n行有n个数,则第n行最右边的数是(n2-n+1)+(n-1)2=n2+n-1.答案:n2+n-1专题一专题二专题三专题四应用2德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是分子为1、分母为正整数的分数)称为莱布尼茨三角形.根据前5行的规律,写出第6
4、行的数从左到右依次是.专题一专题二专题三专题四应用3自然数按如图所示的规律排列,则2 016是第行第个数.解析:设第n行最右边的数即第n行第n个数是an,则a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+5,an=1+2+3+n则2 016是第63行第63个数.答案:6363专题一专题二专题三专题四应用4给定81个数排成数阵如图所示,若每一行,每一列都构成等差数列,且正中间一个数a55=5,则此数阵中所有数之和为. a11a12a19a21a22a29a91a92a99专题一专题二专题三专题四解析:由于每一行都成等差数列, 同理可得,a
5、21+a22+a29=9a25,a91+a92+a99=9a95.又每一列都成等差数列,则此数阵中所有数之和S=(a11+a12+a19)+(a21+a22+a29)+(a91+a92+a99)=9(a15+a25+a95)=9(9a55)=81a55=815=405.答案:405专题一专题二专题三专题四专题三数列的综合问题数列是高中代数的重点内容,也是高考的必考内容,它始终处在知识的交汇点上,如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题.另外,等比数列与等差数列的综合应用也是高考的热点之一,对公式的变形应用是考查的重点,一般多以解答题的形式考查,有时作为压轴题,难度较大.专题一专题二专题
6、三专题四应用1已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;解(1)设等比数列an的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四应用2已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,(1)证明:数列lg(1+an)是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an),求Tn及数列an的通项;专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题
7、二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题四数学思想方法数学思想方法是数学的精髓,是将知识转化为能力的桥梁,数列中含有丰富的数学思想,了解数学思想对我们的解题大有益处.1.函数思想数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决问题,比如求等差数列前n项和Sn的最值时,常转化为求关于n的二次函数的最值或用数形结合或利用函数图象来求值的方法.专题一专题二专题三专题四应用1在等差数列an中,3a8=5a13,a10,若Sn为an的前n项和,则S1,S2,Sn中有没有最大值?请说明理由.解3a8=5a13,a10,此等
8、差数列不是常数列,其前n项和Sn是关于n的二次函数,我们可以利用配方法,结合二次函数的性质求解.设数列an的首项为a1,公差为d,故当n=20时,Sn最大,即该数列前20项之和最大.专题一专题二专题三专题四2.分类讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统一研究或推理时,需通过分类讨论解决,如运用等比数列求和公式时,需对q分q=1和q1两种情况进行讨论;an与Sn的关系需分n=1和n2两种情况讨论;等差数列的单调性需分d0,d=0和d0(或a11,q=1,0q1,q0四种情况讨论.专题一专题二专题三专题四应用2数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*).(1)求数列an的通项a
9、n;(2)求数列nan的前n项和Tn.又S1=a1=1,数列Sn是首项为1,公比为3的等比数列,Sn=3n-1(nN*).当n2时,an=2Sn-1=23n-2(n2),专题一专题二专题三专题四(2)Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时,T1=1;当n2时,Tn=1+430+631+2n3n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-,得-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1专题一专题二专题三专题四3.化归与转化思想化归与转化思想就是把待解决的问题或未知解的问题转化归纳为已有知识范围内可解的问题的一种数学思想.数列中一些很复杂的问题往往可以转化为等差数列或
10、等比数列来解决.专题一专题二专题三专题四应用3已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=4an+2(nN*),求an的通项公式.解当n2时,Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2.两式相减,得an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1),可见数列an+1-2an是公比为2的等比数列.又a1+a2=S2=4a1+2,a1=1,得a2=5,则a2-2a1=3.因此an+1-2an=32n-1.123456789101112131(2015课标全国高考)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=().答案
11、:B 123456789101112132(2015课标全国高考)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=().A.21B.42C.63 D.84答案:B 123456789101112133(2015课标全国高考)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=().A.5B.7C.9D.11答案:A 12345678910111213答案:C 123456789101112135(2016北京高考)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=.解析:an是等差数列,a3+a5=2a4=0.a4=0.a4-a1=
12、3d=-6.d=-2.S6=6a1+15d=66+15(-2)=6.答案:6123456789101112136(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.答案:1121 12345678910111213解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2
13、+36=20.答案:20123456789101112138(2016上海高考)无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和.若对任意nN*,Sn2,3,则k的最大值为.解析:由于对任意nN*,Sn2,3,所以当n=1时,a1=S1=2或a1=S1=3.即数列an的首项是2或3.当n2时,由an=Sn-Sn-1及题意知有下列几种情况:an=2-2=0,an=3-3=0,an=3-2=1,an=2-3=-1.由上可知组成这个数列an的数为-1,1,0,2,3这5个数或只有这5个数中的一部分.12345678910111213下面说明2和3不能同时出现在an中.当a1=2时,假设an=3,
14、n2,则Sn=an+Sn-1=3+Sn-1,由于Sn-12,3,所以Sn2,3,不符合题意,同理,a1=3时,an中也不会出现2.所以an中只可能出现-1,1,0,2或-1,1,0,3,故k的最大值为4.答案:4123456789101112139(2015课标全国高考)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.an是以2为公比的等比数列.又a1=2,2n=64,n=6.答案:61234567891011121310(2016全国甲高考)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lgan,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=
15、0,lg99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和.解(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.所以数列bn的前1 000项和为190+2900+31=1 893.1234567891011121311(2016全国丙高考)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;123456789101112131234567891011121312(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;解(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.123456789101112131234567891011121312345678910111213
