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1、多练出技巧巧思出硕果华杯赛初二辅导第十讲 高斯函数一、 知 识概要1. 定义： 设xR，用x表示不超过x的最大整数 . 则yx称为高斯函数，也叫取整函数. 显然，yx的定义域是R，值域是 Z. 任一实数都能写成 整 数 部 分 与 非 负 纯 小 数 之 和 ， 即01xxaa， 因 此 ，xx1x，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分 . 2性质（ 1）函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当12xx时，有12xx；（2）nxnx，其中nZ；（3）11xxxx；（4）若xyn，则,xna ynb其中0,1a b；（5）对于一切实数,x y有xyxy；（6）若0,0xy，则xyx
2、y；（7）1xxx（8）若nN，则xxnn；当1n时，xx；（x不是整数时）（x是整数时 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果（ 9）若 整数,a b适 合abqr（0, ,bq r是整 数，0rb） ， 则aqb；（10）x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有xn个；（11）设p为任一素数，在!n中含p的最高乘方次数记为!p n，则有：12!mmmnnnp npnpppp证明：由于p是素数，所有!n中所含p的方次数等于!n的各个因数1,2,n所含p的方次数之总和。 由性质
3、 10 可知， 在1,2,n中，有np个p的倍数，有2np个2p的倍数，有3np个3p的倍数，当1mmpnp时，120mmnnpp，所以命题成立高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果等二、 解 题示例例1若 实 数r使 得1 92 09 1546
4、100100100rrr， 求100r解：等式左边共73 项，且因192091,100 100100都小于 1，则每一项为r或1r，注意到73754673 8，故必有7r。进一步有：73735546，所以原式左边从第1 项至第 38 项其值为7，自第 39 项以后各项值为8。即：56577;8.0.568,0.5787.437.44100100rrrrr例 2，计算：100123101nn的值 解：由题意得：对于任意的2310123231,2,100,101101101nnnnZ，10012310123 1012323231;22.22 50 1100101101101101101nnnnnn
5、说明：本例采用了分组凑整的思想例 3，对自然数n及一切实数x，求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果121nxxxxnxnnn（厄尔密特等式）证明：对任意的自然数n，构造函数121nfxnxxxxxnnn，则：112111nfxnxxxxxfxnnnn， 所以， 函数fx为周期函数，其周期1Tn， 因此，原命题只需证0fx在区间10,n内成立即可。而这一结论显然是成立的例 4 对任意的nN，证明：1414243nnnnn证 明 ： 首 先 证 明41143nn 令411xn， 则241xn当2
6、xm mZ时，22441xmn，于是21mn，那么2244443xmnn；当21xmmZ时，2244141xmmn，2mmn即21mmn，那么22414543xmmnn所以命题成立，也就是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果41414243411nnnnn故：414243nnn又：22121221241nnnnnnnn221212212143nnnnnnnn41143nnnn1414243nnnnn注：本例的证明采用了“两边夹”法则例 5，解方程5615785xx解 ： 令1575xn nZ，
7、则5715nx， 带 入 原 方 程 整 理 得 ：1 03940nn， 由 高 斯 函 数 的 定 义 有10390140nn， 解 得 ：1133010n，则0,1nn若0n，则715x；若1n，则45x注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解 例 6，解方程1142xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果解：由高斯函数的性质，得：111142xx，即17x，令1111,42xxyy，在同一坐标系中画出二者的图象：分析两者在区间1,7内的图象，显然，当1,1x时，
8、104x而112x，方程不成立；当1,3x时，11042xx；当3,5x时，11142xx；当5,7x时，114x而122x，方程不成立综上所述，原方程的解是：15xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果注：本例为uv型方程。首先由11uv，求出x的取值区间。但此 条 件 为 原 方 程 成 立 的 充 分 但 不 必 要 条 件 ， 故 还 须 利 用ufx和vg x的图象进行分析才能得到正确结果例 7 解方程333xx解：对于次数较高的含x的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。若1x，则33
9、31210.xxxxx原方程不成立；若10x，则33333131 1xxxx。原方程不成立；若01x，则33333033.xxxx原方程不成立；若12x， 则33331.xxx原 方 程 即 为334x； 解 得 ：343x；若2x，则3333324.xxxxxxx原方程不成立；所以，原方程的解为：343x x。例 8 证明：若p是大于 2 的质数，则1252pp被p整除 证明：本例采用“构造法”由二项式定理知：对于任意的, 2525pppZ是一个整精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果数，又因为1
10、251,252525pppp， 于是有：112244212252225252 5pppppppppCCC, 其中p是质数。因为1212,4,1!kpp pppkCkpk都 能 被 质 数p整除，所以原命题成立三、 巩 固练习1如果 x 为任意实数， 用x 表示不大于x 的最大整数， 例如：-7 = 7 ，-3.1 = -4，3=1，则满足等式x-3=0 的 x 的范围是 _2若 x=5 ，y= -3 ，z=-1,mj x y z 可以取值的个数是（） A3 B4 C 5 D6 3设 x 表示不超过x 的最大整数，若M=, xNx，其中 x1，则一定有（） AMN BM=N CM-x D x x
11、 1 8记号 x 表示不超过x 的最大整数，设n 是自然数，且2221)1()1(nnnnIAI0 BI0，求证：xyxyA 卷13 x 4；2 A；3D；4C；5 D；提示：若 u = 42x，则当 x = 2 时，u = 1, u = 1 ， 因而1)4141(4y，与题设 x = 2 时 y = 2 矛盾。所以A 错；同理，令x=3 知 B 错；令 x =2 知 C错，故 D 正确。6B；7D；8A；提示：因为n是正整数，所以有等式2222)1()2)(1() 1()1(nnnnn成立。所以0) 1() 1(22nnnnI故选 A 9对任意x 0，总存在这样的非负整数，使得44)1(ax
12、a。由此得1axa，从而ax 。别一方面22)1(axa在（ 1） 、 （2） 、 （ 3）式中取整数部分，得22)1(axa，开平方，有.1axa因为 a 是整数，所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果以ax 由（ 2） 、 （4）知原等式成立。10x + y = x + y + xy = x + y + 1,由于 x + y + 1是整数，所以x + y = x + y + 1。B 卷114；226；3 由 原 方 程 可 知 ， x必 为 整 数 再 根 据 a a a + 1有841)3
13、(1433xxxx， x = 5,6,7,8. 4124；5 设 x = n + a （n 为整数，0a 1） ， 代入原方程得3n + 3a + 1 2n + 2a - 21，3n + 1 + 3a = 2n + 2a - 21, n + 3a = 2a - 21() 于是 2a - 21是整数，0a 1 2123223a， 因此只有 2a - 23=0,当 2a - 32=0,即 a = 43时， 代入 ()式， n + 49=0, n = -2. 于是得4321x。当 2a - 32= -1 时，a = 41代入 ()式，n + 43 = -1, n = -1. 于是得4112x，2)4
14、11()432(21xx故意抽有根的和是-2。6x = -1 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果7217, 2,2172273731ba，10) 17)(71(4)71(2aba8 设x = n + a （ n为 整 数 ， 0 a1 ）， 则 原 不 等 式 等 价 于)10(222aaaa分成 0a21和21a1 两种情况讨论，不难证明上面这个不等式成立。9由于 x = x x ，所以可把方程3x- x = 3 写成3x- x = 3 x ，因为 0x1 ，所以 23x- x 3.易证，当x2 或 x1 时，都不能使上面的不等式成立。故必须1x2，从而 x=1 ，且该方程变为3x-1=3，它的解是x = 3410 设xy=t (t 0 ， 是 整 数 ) ， 则,ytxytxtxy， 但.,xytxyytxxt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
