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1、学习必备欢迎下载 2015春高三第二轮复习专题三解析几何 A（教）一、选择题1过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A BC D【答案】 A 【解析】又考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）2、设 F1，F2是椭圆 E：a2x2b2y21(ab0)的左，右焦点，P 为直线 x 23a上一点， F2PF1是底角为 30 的等腰三角形，则E 的离心率为() A.21B.32C.43D.54解析 由题意，知F2F1P F2PF1 30 ， PF2x60 .|PF2|2 ac33a2c. |F1F2| 2c，|F1F2| |PF2|，
2、 3a2c 2c， e ac43. 答案C 3设双曲线22221(00)xyabab，的右焦点为F，过点,作与x轴垂直的直线l交两 渐近线于,A B两 点，且与双 曲线在第一象限的交点 为P，设O为 坐标原点，若(,)OPOAOBR ，316，则双曲线的离心率为( )A233 B3 55 C322 D98【解析】【答案】 A试题分析： 直线l的方程为xc， 与双曲线渐近线byxa的交点为( ,),( ,)bcbcA cB caa，与双曲线在第一象限的交点为2( ,)bP ca，所以2( ,)bOPca，( ,),( ,)bcbcOAcOBcaa，精选学习资料 - - - - - - - - -
3、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载由(,)OPOAOBR 得2316cccbbcbcaaa，解之得2 ,cb，所以3ab，2 33e，故选 A.考点：双曲线几何性质、向量运算.4如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，点M在棱AB上，且13AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线11A D 的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）C1D1B1A1CDABPMA圆B抛物线C双曲线D椭圆【解析】【答案】 B 试题分析：根据题意，过点P作11A D的垂线，垂足为N,在平面1A D内，过N过AD的垂线，垂足为P,所
4、以在Rt PNP中，222PNNPPP,且1NP所以，由题意知221PNPM,即22221NPPPPMPP21PM,即22PPPM，且点P为底面AC的动点，M为AB上的定点，根据抛物线的定义知：动点P到定点M的距离和到定直线AD的距离相等，所以,动点P的轨迹为抛物线，答案为B. 考点： 1.勾股定理； 2.抛物线的定义. 5.已知 P 是以 F1，F2为焦点的椭圆22221 (0)xyabab上的任意一点，若PF1F2= ，PF2F1= ，且 cos =55，sin( + )=35，则此椭圆的离心率为（D ）A 43 B 33 C 42D576(2013 高考重庆卷 )已知圆 C1：(x2)2
5、(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆 C1，C2上的动点， P为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为 () A524 B.171 C6 2 2 D.17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载解析： 选 A.设 P(x,0)，设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为C1(2， 3)，那么 |PC1|PC2|PC1 |PC2|C1C2|232 3425 2.而|PM| |PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|4 5 24.7(2013 高考江西卷
6、)过点 (2，0)引直线 l 与曲线 y1x2相交于 A，B 两点， O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 () A.33B33C33D3 解析： 选 B. 由于 y1x2，即 x2y21(y0)，直线 l 与 x2y21(y 0)交于 A，B 两点，如图所示， SAOB12 sinAOB 12，且当 AOB 90 时，SAOB取得最大值，此时AB 2，点O 到直线 l 的距离为22，则 OCB30 ，所以直线l 的倾斜角为150 ，则斜率为33.8、 已知圆 M： x2y22mx 30(m0) 的半径为2， 椭圆 C：x2a2y231 的左焦点为F(c,0)，若垂直
7、于x 轴且经过F 点的直线l 与圆 M 相切，则 a 的值为 () A.34B.1 C.2 D.4 解析：圆M 的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即 m21(m0，直线 l 经过 C1的焦点，依次交C1， C2于 A，B，C，D 四点，则 AB CD的值为 (B) A.p2B.p24C.p22D.p23解析：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB| |AF| |BF| x1p2p2x1，同理 |CD|x2. 又AB CD|AB|CD|x1 x2p24. 10. （2013新课标理） （12）已知点 A （-1 ，0） ；B （1，0） ，C（0，1
8、） ，直线 y=ax+b(a0)将 ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载（A） （ 0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，13 (D)13,12）11. 【2014 重庆高考理第8 题】设21FF，分别为双曲线)0, 0(12222babyax的左、右焦点， 双曲线上存在一点P使得,49| ,3|2121abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为（）34B.35C.49D.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
9、- - - - - -第 4 页，共 20 页学习必备欢迎下载12、如图，焦点在x 轴上的椭圆x24y2b21 的离心率e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求PF PA的最大值和最小值.( ) 解析：设 P 点坐标为 (x0，y0).由题意知a2， eca12， c1， b2a2c23.所求椭圆方程为x24y23 1. 2x02，3y03.又 F(1,0)，A(2,0) ，PF( 1x0，y0)，PA(2 x0， y0)， PF PA x20 x02 y2014x20x0114(x02)2. 当 x02 时， PF PA取得最小值0，当 x0 2 时， PF P
10、A取得最大值4. 二、填空题13 (2013 高考福建卷 )椭圆 ：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线 y3(xc)与椭圆 的一个交点M 满足 MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析： 已知 F1(c,0)，F2(c,0)，直线 y3(xc)过点 F1，且斜率为3，倾斜角 MF1F2 60 . MF2F112MF1F230 ， F1MF290 ，|MF1|c，|MF2|3c.由椭圆定义知|MF1|MF2|c3c2a，离心率 eca21331. 14 (2013 高考江西卷 )抛物线 x22py(p0) 的焦点为F， 其准线与双曲线x23y2
11、31 相交于 A，B 两点，若 ABF 为等边三角形，则p_. 解析： 由于x22py(p0) 的准线为yp2，由yp2，x2y23，解得准线与双曲线x2y23 的交点为 A 314p2，p2， B314p2，p2， 所以 AB 2314p2. 由 ABF为等边三角形，得32AB p，解得 p6. 答案： 6 15已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF，点 P 在双曲线的右支上，且12| 4 |PFPF，则此双曲线的离心率e 的最大值为【解析】【答案】53. 试题分析：由定义知12|2PFPFa，又已知12|4 |PFPF，解得183PFa，精选学习资料 -
12、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页学习必备欢迎下载223PFa，在12PF F中，由余弦定理， 得2222218981732382494964coseaacaaPFF，要求e的最大值，即求21cosPFF的最小值，当1cos21PFF时，解得53e即e的最大值为53. 考点：双曲线的定义，余弦定理，三角函数的最值. 16.（2013广东理） 13. 给定区域D:4440xyxyx,令点集000000,|,TxyD xyZxy是zxy在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定_ 条不同的直线 . 17. 【2014 辽宁高考理第1
13、5 题】已知椭圆C：22194xy，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|ANBN. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页学习必备欢迎下载【答案】 12 18我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：双曲线是黄金双曲线；若，则该双曲线是黄金双曲线；若为左右焦点，为左右顶点，（0，） ，（0，）且，则该双曲线是黄金双曲线；若经过右焦点且，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为 _ 【答案】【解析】对于，则，精选学习
14、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页学习必备欢迎下载，所以双曲线是黄金双曲线；对于，整理得解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；对于由于，把代入双曲线方程得，解得，由对称关系知为等腰直角三角形，即，由可知所以双曲线是黄金双曲线.三、解答题19如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:, 设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由精选学
15、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载【答案】（1）（2）详见解析（ 3）【解析】（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，又点在椭圆上，所以，联立，解得所以所求圆的方程为（2）因为直线：，：，与圆相切，所以, 化简得，同理，所以是方程的两个不相等的实数根，因为点在椭圆 C上，所以，即，所以，即（3）是定值，定值为36，理由如下：法一： （i ）当直线不落在坐标轴上时, 设,联立解得所以，同理，得，由， 所 以（ii ）当直线落在坐标轴上时, 显然有，综上：法二：（i ）当
16、直线不落在坐标轴上时, 设,因为， 所以, 即，因为在椭圆 C上，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页学习必备欢迎下载，所以，整理得，所以，所以（ii ）当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：20 如图， 曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点 A、B，求证：弦 AB 的中点 M 必在曲线的另一条渐近线上；（3）对于（ 1）中的曲线，若直线过点交曲线于点 C、D，求面积的最大值。【答案】（1）和； （
17、2）证明见解析； （ 3）【解析】（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页学习必备欢迎下载则曲线的方程为和。（2）曲线的渐近线为，如图，设直线则又由数形结合知，设点，则，即点 M 在直线上（3）由（ 1）知，曲线，点设直线的方程为则设由韦达定理：令，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页学习必备欢迎下载，当且仅当即时等号成立时，21 （本小题满分12 分）椭圆 C：22221(0)xyabab的长轴是短轴的两倍，点1P( 3,)2在椭圆
18、上 . 不过原点的直线l 与椭圆相交于A、B两点，设直线 OA 、l 、OB的斜率分别为1k、k、2k，且1k、k、2k恰好构成等比数列，记ABO的面积为S.（）求椭圆C的方程 .（）试判断22OAOB是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（）求S的范围 .【解析】【答案】（ 1）2214xy， （2） 5， （3）)1 ,0(S试题分析： 首先借助椭圆的标准方程借助待定系数法求出ba,得出椭圆方程， 第二步设直线l的方程ykxm)0(m，设而不求联立方程组，消去y得出关于x的一元二次方程，根据根与系数关系，得出2121,xxxx，根据直线OA 、l 、OB的斜率分别为1k、k、2
19、k，且1k、k、2k恰好构成等比数列，有2121212y ykk kx x，借助)(2121mkxmkxyy，找出km,关系，进而求出412k，代入0，得出m的范围，最后表示22OAOB，把2121,xxxx代入后得出定值；第三步先求弦长AB，再求原点到直线AB的距离，表示出三角形的面积，再利用1, 2022mm，得出面积的取值范围.试题解析：（ 1）由题意可知2ab且223114ab21b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以椭圆的方程为2214xy（2）设直线l的方程为ykxm)0(m，11
20、22(,)(,)A x yB xy、由2244ykxmxy222(14)8440kxkmxm12221228144414kmxxkmxxk12kkk、 、恰好构成等比数列.2121212y ykk kx x=1212()()kxm kxmx x即222222221484444mkk mkkmm22240k mm214k12k，此时且2216(14)0km216(2)0m，得1, 2022mm，（否则：21xx0，则21,xx中至少有一个为0，直线ONOM、中至少有一个斜率不存在，矛盾！ ） ；12212222xxmxxm2222221122OAOBxyxy=2212324xx212123225
21、4xxx x所以22OAOB是定值为5（3）2122111221mSAB dkxxk21212142xxx xm=2214882mmm22(1)1m（1, 2022mm） ，则：)1 ,0(S考点： 1. 求椭圆方程； 2. 设而不求解题思想；3. 减元思想； 4. 定点定值问题的解题方法；5.取值范围问题；22 （本小题满分14 分）已知圆C经过点 A（ 2,0） ，B（0,2） ，且圆心C在直线 yx 上，又直线 l：ykx 1 与圆C相交于 P、Q 两点（1）求圆C的方程；（2）若2OP PQ，求实数k 的值；（3）过点(0,4)作动直线m交圆C于E，F两点试问：在以EF为直径的所有圆中
22、，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点(2,0)M？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载说明理由【答案】（1）224xy； （2）0k；（3） 在以EF为直径的所有圆中， 存在圆P：2255168120xyxy或224xy，使得圆P经过点(2,0)M【解析】试题分析： （1）根据题意设出圆心,C a a和半径r，列出a和r的方程，求得圆的方程；（2）根据2OP PQ, 求得120POQ，所以圆心到直线m的距离为1，求得k的值；（ 3）若圆P经过点2,0M，则必有0M
23、E MF即1212122()40x xxxy y，当直线m的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线m的斜率存在时，设其斜率为k，直线m的方程为：4ykx，代入圆224xy的方程，由韦达定理，得到1212,xxx x的值，联立解得k的值，存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程. 试题解析：（ 1）设圆心 C（a，a） ，半径为 r.因为圆 C 经过点 A（ 2,0） ，B（0,2） ，所以 |AC|BC| r，易得 a0，r2，所以圆C 的方程是224xy. （2）因为OPOQ2 2 cosOP，OQ 2，且OP与OQ的夹角为 POQ，所以 cos POQ12， POQ120 ，所以圆心C 到直线
24、 l： kxy 10 的距离 d1，又 d211k，所以0k. （联立直线与圆的方程求解酌情给分）（3） （）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为(0,2)E，(0,2)F，EF即为圆C的直径，而点(2,0)M在圆C上，即圆C也是满足题意的圆8 分（）当直线m的斜率存在时，设直线:4m ykx，由224,4,xyykx，消去y整理，得22(1)8120kxkx，由226448(1)0kk，得3k或3k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页学习必备欢迎下载设1122(,),(,)E
25、xyF xy，则有1221228,112,1kxxkx xk9 分由得22121212122164(4)(4)4 ()161ky ykxkxk x xk xxk，1212122844()81yykxkxk xxk，若存在以EF为直径的圆P经过点(2,0)M，则MEMF，所以0ME MF，因此1212(2)(2)0xxy y，即1212122()40x xxxy y，10 分则2222121616440111kkkkk，所以16320k，2k，满足题意12 分此时以EF为直径的圆的方程为2212121212()()0xyxxxyyyx xy y，即22168120555xyxy，亦即225516
26、8120xyxy13 分综上，在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：2255168120xyxy或224xy，使得圆P经过点(2,0)M14 分考点： 1.圆的方程； 2.直线方程； 3.韦达定理 . 23 (2013 高考陕西卷 )已知动点M(x，y)到直线l：x 4 的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点，若A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率. 解： (1) 如图，设点 M 到直线 l 的距离为 d， 根据题意，d2|MN|， 由此得 |4x|2x12y2，化简得x24y231，动
27、点 M 的轨迹 C 的方程为x24y231. (2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载法一： 由题意，设直线m 的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2， y2)，如图 . 将 ykx3 代入x24y231 中，有 (3 4k2)x224kx240，其中， (24k)2424(34k2)96(2k23)0，由根与系数的关系，得x1x224k34k2，x1x22434k2.又 A 是 PB 的中点，故x22x1.将代入，得x18k34k2， x211234k2，可得 (8k34k2)21234
28、k2，且 k232，解得 k32或 k32，直线 m 的斜率为32或32. 法二： 由题意，设直线m 的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2， y2)，如图 . A 是 PB 的中点， x1x22， y13 y22.，又x214y2131，x224y2231，联立，解得x2 2，y2 0或x2 2，y20，即点 B 的坐标为 (2,0)或(2,0)，直线m 的斜率为32或32. 24. 【2014 高考福建理第19 题】 已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21. （1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21
29、,ll于BA,两点（BA,分别在第一，四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页学习必备欢迎下载若存在满足条件的双曲线E,则 E的方程只能为221416xy. 以下证明 : 当直线l不与 x 轴垂直时，双曲线E：221416xy也满足条件 . 25. 【2014 高考湖南理第21 题】如图 7,O为坐标原点 ,椭圆1:C222210xyabab的左右焦点分别为12,F F,离心率为1e
30、;双曲线2:C22221xyab的左右焦点分别为34,FF,离心率为2e,已知1232ee,且2431F F. (1)求12,C C的方程 ; (2)过1F点作1C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点 ,当直线OM与2C交于,P Q两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页学习必备欢迎下载点时 ,求四边形APBQ面积的最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载26.（2013山东理） 22.（本小题满分13 分）椭圆C
31、：222210xyabab的左、 右焦点分别是12,FF，离心率为23，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。（）求椭圆C的方程；（）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF，设12F PF的角平分线PM交C的长轴于点,0Mm，求m的取值范围；（）在（）的条件下，过点P作斜率为k的直线l, 使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的12,PFPF斜率分别为12,k k。若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值。【答案】（）2214xy（）3322m（） -8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
