《2022年史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果是常数，那么 y 叫做 x 的二次函数 . 2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数的图像与 a 的符号关系 . 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为x2（）. 3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 . b 224.二次函数用配方法可化成：的形式， 其中，25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：； ； ；6.抛物线的三要素：开口方向、
2、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y 轴（或重合）的直线记作特别地， y 轴记作直线7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同， 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：（） ，对称轴是直线，顶点是 . 2a2a4a 2b2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是直线（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛
3、物线的对- 1 - 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线中， a,b,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与中的 a完全一样 . （2）b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线b2a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页，故：时，对称轴为y 轴；ba （即 a、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；ba （即 a、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 . （3）c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置 . 当时，抛
4、物线与 y 轴有且只有一个交点（0，c） ：，抛物线经过原点; 与 y 轴交于正半轴； 与 y 轴交于负半轴. 以上三点中， 当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在y 轴右侧， 则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：ba 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：已知图像上三点或三对x、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2 2 （3） 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1、 x2， 通常选用交点式：12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线得交点为 (0, c). - 2 - 2 （2）与 y 轴平行的直线与抛物线有
5、且只有一个交点(h,ah （ 3）抛物线与 x 轴的交点2 二次函数的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程的两个实数根 .抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与x 轴相交；有一个交点 （顶点在x 轴上）抛物线与x 轴相切；没有交点抛物线与x 轴相离 . （ 4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像 l 与二次函数的图像 G 的精选学习资料 - - - - - - - -
6、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页交点，由方程组2 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时与 G 只有一个交点；方程组无解时与 G 没有交点 . （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线与 x 轴两交点为，由于 x1、x2 是方程的两个根，故ba ca 2 2 2 2 第二部分典型习题.抛物线 yx2 2x2 的顶点坐标是（D ）A.（ 2， 2）B.（1， 2）C.（1， 3）D.（ 1， 3） .已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（C ） ab0，c0 ab0， c0 ab0， c0 ab 0，c0 第 ,题图第 4题图- 3 -
7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页.二次函数yax2bxc 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca 0，b0，c 0 Da0，b0，c0 .如图，已知中， BC=8，BC 上的高，D 为 BC 上一点， EF/BC ，交 AB 于点E，交 AC 于点 F（EF 不过 A、B） ，设 E 到 BC 的距离为 x，则的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（）C 2 D EF8 .抛物线与 x 轴分别交于A、B 两点，则AB 的长为6.已知二次函数ykx2(2k1)x1 与
8、 x 轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2） ，则对于下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页列结论：当x 2 时， y1；当xx2 时， y0；方程kx2(2k0 有两个不相等的实数根x1、x2； x1， x2 1；k x2 x1，其中所有正确的结论是（只需填写序号） 7.已知直线与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B；一抛物线的解析式为（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P 在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线的解析式 .
9、解： （1）或4 2 2 2 将得顶点坐标为 (（0，b)代入，由题意得4 2 ，解得（2）8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为时, 相应的输出值分别为（1）求此二次函数的解析式；- 4 - （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围 . 解： （1）设所求二次函数的解析式为则即解得故所求的解析式为（2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值 x 的取值范围是或9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每
10、昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围2 2 夜的体温变化情况绘制成下的体温是上升的?它的体温第9 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页10.已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C是否存在实数a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点C 的坐标为（ 0，4） 设点 A、B 的坐标分别为（x1，0） ， （x2，0） ，- 5 - 由，解得，4 3a 243a 点 A、B 的坐标分别为（-3，0） ， （，0
11、） ，4 4 16 43a169a222 ，当时， ACB 90 由，得 16 1 解得 当4 163 时，点 B 的坐标为（，0） ，9，9于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页 当214 时， ABC 为直角三角形22 当时， ABC 90 222 由，得解得当9492 时，点 B（-3，0）与点 A 重合，不合题意当时，BAC 90 由，得解得 不合题意1 4 综合、 、 ，当时， ABC 为直角三角形11.已知抛物线y x2mxm 2. - 6 - （1）若抛物线与x 轴的两个交点A、B 分别在原点的两侧，
12、并且AB ，试求 m 的值；（2）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且MNC 的面积等于27，试求 m 的值 . 解 : (1)（ x21，0）,B(x2，0) . 则 x1 ，x2 是方程xmxm20 的两根 . x1 x2 m , x1 x2 =m2 0 即 m2 ; 又 AB x1 x2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页 m24m3=0 . 解得： m=1 或 m=3(舍去 ) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a， b) . M、 N 是抛物线上的
13、两点, 2得：2a22m40 . a2 m2 . 当 m2 时，才存在满足条件中的两点M、N. 这时 M、N 到 y 又点 C 坐标为（ 0，2m）,而 S M N C = 27 , 231 23 （2m 解得 m=7 . 12.已知：抛物线y ax24axt 与 x 轴的一个交点为A（ 1，0） （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以AB 为求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限抛物线与x 轴的一个交点为A（ 1，0） ，由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（ 3，0） - 7 - 一底的梯形AB
14、CD 的面积为9，点 E 在（ 2）中的抛物线上，是否存在点P，使 APE的周精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页（2） 抛物线 yax24axt 与 x 轴的一个交点为A （ 1， 0） ，a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3aD（0，3a） 梯形 ABCD 中， ABCD，且点 C 在抛物线yax24ax3a 上，C（ 4，3a） AB 2，CD 4梯形 ABCD 的面积为9，a 1所求抛物线的解析式为yx24x3 或 y（3）设点 E 坐标为（ x0，y0）.依题意， x00，y00，且 y0 x09
15、12(24)3a9 y0 52x0设点 E 在抛物线y x24x3 上，2y0x0 4x0 3， x0,2 解方程组得15；x24x点 E 与点 A 在对称轴x 2 的同侧，点 E 坐标为（2，5 4） 设在抛物线的对称轴x 2 上存在一点P，使 APE 的周长最小AE 长为定值，要使 APE 的周长最小，只须PA PE 最小点 A 关于对称轴x 2 的对称点是 B（ 3，0） ，由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴x 2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为 ymxn，n,2 解得3mn直线 BE 的解析式为y点 P坐标为（ 2，1 212x32把 x 2 代入上式，得y12 ） -
16、 8 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页2 设点 E 在抛物线y上，y0 2 解方程组消去 y0， 得30 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P（ 2，解法二：（1）抛物线 yax2 4axt 与 x 轴的一个交点为A（ 1，0） ，a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3a令y 0，即 ax24ax3a0解得x1 1，x2 3抛物线与 x 轴的另一个交点B 的坐标为（ 3，0） （2）由 yax24ax3a，得 D（ 0，3a） 梯形 ABCD 中， AB CD，且点 C 在抛物线ya
17、x4ax3a 上，212） ，使 APE 的周长最小C（ 4，3a） AB 2，CD4梯形 ABCD 的面积为9，(AB9解得 OD3 21 3a3a 1所求抛物线的解析式为yx4x3 或 y x4x3（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴x 2 的交点如图，过点E 作 EQx轴于点 Q设对称轴与x 轴的交由 PFEQ，可得 BF BQPF EQ 1 222 点为 F 152 PF54PF12点 P坐标为（ 2，以下同解法一） 13.已知二次函数的图象如图所示- 9 - （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点N 作 x 轴的垂线， 垂足
18、为点Q当点 N 在线段 BM上运动时（点N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为S，求 S与 t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使 PAC 为直角三角形 ?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将 OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过点，第三个顶点落在矩程） 解： （1）设抛物线的解析式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，
19、共 15 页其顶点 M 的坐标是，（2）设线段BM 所在的直线的解析式为，点 N 的坐标为N（t，h） ，解得，线段 BM 所在的直线的解析式为，其中 1 s与 t 间的函数关系式是，自变量t 的取值范围是（3）存在符合条件的点P，且坐标是，P ，设点 P 的坐标为P(m，n)，则，分以下几种情况讨论：i）若 PAC90 ，则，解得：2，（舍去） 点4- 10 - ii）若 PCA90 ，则，解得：点， ，（舍去）iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，所以边AC 的对角 APC 不可能是直角（4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边
20、OC）的对边上，如图a，此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页时未知顶点坐标是点D（ 1， 2） ，以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是，图 a 图 b 14.已知二次函数yax2 的图象经过点（1， 1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数解：根据题意，得a2 1. a1 这个二次函数解析式是y因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0， 2） ，所以该函数图象与x 轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一
21、部分在大桥截面111000 的比例图上，跨度AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（ 1） 在比例图上，以直线AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） 22 - 11 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页（1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱yax9 10 559185 因为点 A（，0） （或 B（
22、， 0） ）在抛物线上，所以 0，得 a22210125 因此所求函数解析式为y （ 2）因为点D、E 的纵坐标为所以点 D 的坐标为（54 5454 9 18125 x2 910 920 52 125 52 2 )910 20 ， 所以920 x54 ，得 x2，920 54 22， ） ，点 E 的坐标为（） 所以 DE 2522 因此卢浦大桥拱，2 据题意， x1、x2 是方程 ax bx的两个根ca - 12 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页由题意，得OC2，即 cc2ac2 所以当线段OC 长是线
23、段OA 、OB 长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当时，由（ 2）知， x1x2 ba4 a0，a 0解法一： AB OBOA x2x1(x1，23 ， 43得2c2. 解法二：由求根公式，x2a2aa3，x1，x2ABOBOA x2x123 a 1 223aAB 43，3 323a343，得 ac2 17.如图，直线分别与 x 轴、 y 轴交于点A、B，E 经过原点O 及 A、B 两点（1）C 是 E 上一点， 连结 BC 交 OA 于点 D，若 COD CBO，求点 A、B、C 的坐标；（2）求经过O、C、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到 P，使 DP2，连结 AP，试判
24、断直线PA 与 E 的位置关系，并说明理由解： （1）连结 EC 交 x 轴于点 N（如图） A、B 是直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页分别与 x 轴、 y 轴的交点A（3，0） ，B(0,3) 的中点 ECOA 又 COD CBO CBO ABC C 是2- 13 - 连结 OE 2C 点的坐标为（） （2）设经过O、C、A 三点的抛物线的解析式为 C（） 8为所求3 3（3）， BAO 30 ， ABO 50 1 由（ 1）知 OBD ABD ODOB2tan30 1DA 2 ADC BDO60 ，PDAD 2 ADP 是等边三角形 DAP 60 BAP BAO DAP 30 60 90 即PAAB 即直线 PA 是 E 的切线- 14 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
