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1、 由由于于有有限限元元法法的的概概念念首首先先是是从从航航空空结结构构的的受受力力分分析析提提出出的的，而而弹弹性性力力学学是是目目前前进进行行工工程程结结构构受受力力分分析析的的基基本本理理论论，因因此此理理解解和和掌掌握握弹弹性性力力学学的的基基本本知知识识，是是学学习习有有限限元元分分析析方方法的基础。法的基础。弹性力学研究基本内容弹性力学研究基本内容 研究研究弹性变形体弹性变形体(结构结构)或构件，在或构件，在外力或温度等外力或温度等因素作因素作用下而产生的用下而产生的应力、变形和位移变化规律应力、变形和位移变化规律，其目的是校核它，其目的是校核它们是否具有所需的们是否具有所需的强度、
2、刚度和稳定性强度、刚度和稳定性，并由此确定结构是，并由此确定结构是否否安全可靠和经济安全可靠和经济。第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础1_9_21有限元讲稿rev弹性力学研究基本内容弹性力学研究基本内容 弹弹性性力力学学和和材材料料力力学学的的任任务务是是相相同同的的，都都是是分分析析各各种种工工程结构或构件在弹性阶段的应力和位移变化情况。程结构或构件在弹性阶段的应力和位移变化情况。 但但弹弹性性力力学学研研究究的的问问题题比比材材料料力力学学更更为为广广泛泛和和深深入入，研研究究方方法法(数数学学方方法法)更更为为严严密密。如如在在材材料料力力学学中中，梁梁的的弯弯曲曲问问题题，需需引引
3、入入平平截截面面的的假假设设，而而在在弹弹性性力力学学中中可可以以给给出出梁梁弯弯曲的精确解，并检查上述假设的有效性。曲的精确解，并检查上述假设的有效性。 在在工工程程中中的的应应力力集集中中问问题题，只只能能采采用用弹弹性性力力学学分分析析方方法法加加以以解解决决。材材料料力力学学只只研研究究一一些些简简单单的的结结构构(如如杆杆件件、梁梁、柱构件等柱构件等)，是弹性力学的一种特例，是弹性力学的一种特例。第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础2_9_21有限元讲稿rev弹性力学基本假设弹性力学基本假设( (比材料力学更为广泛与普遍比材料力学更为广泛与普遍) )(1)(1)、假设物体是完全弹性
4、的假设物体是完全弹性的； 应力应力- -应变关系为线性（正比）的，即服从虎克定律。应变关系为线性（正比）的，即服从虎克定律。 (2)(2)、假设物体是连续的假设物体是连续的； 应力、应变、位移是连续变量；应力、应变、位移是连续变量； 用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。(3)(3)、假设物体是均匀的假设物体是均匀的 整个物体由同一材料组成；整个物体由同一材料组成； 物体内部任一点的力学性能都是完全相同的。物体内部任一点的力学性能都是完全相同的。(4)(4)、假设物体是各向同性的假设物体是各向同性的 物体的各向同性是指在物体内的每一点处；物体的各向同性是指
5、在物体内的每一点处； 沿所有方向上的物理性质都是相同的。沿所有方向上的物理性质都是相同的。 凡是符合上述四个假设的物体，称为理想弹性体。凡是符合上述四个假设的物体，称为理想弹性体。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础3_9_21有限元讲稿rev弹性力学基本假设弹性力学基本假设(5)(5)、假设位移和变形是微小的假设位移和变形是微小的 物物体体在在载载荷荷或或温温度度变变化化等等外外界界因因素素作作用用下下，整整个个物物体体内内每每点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体原原来来的的尺尺寸寸，因因而而应应变变和和转转角角都都远小于远小于1 1。 应应该该指指出出，小小变变形形的的概概念念是是
6、相相对对而而言言的的，如如对对（几几十十米米或或上上百百米米）桥桥梁梁、高高层层建建筑筑等等，在在外外载载作作用用下下会会产产生生较较大大的的（可可见见）变变形形和和位位移移，但但与与其其结结构构尺尺寸寸仍仍属属于于小小变变形形的研究范畴。的研究范畴。线线弹弹性性力力学学：是是目目前前理理论论严严密密、体体系系较较完完整整，在在工工程程中中广广泛应用的、进行结构受力分析的基本理论。泛应用的、进行结构受力分析的基本理论。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础4_9_21有限元讲稿rev弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 (1)(1)、外力外力 作作用用于于物物体体上上的的外外力力可可以以
7、分分为为体体积积力力和和表表面面力力，分分别别简简称称为为体体力力和和面力面力。 “体体力力”是是指指分分布布在在物物体体整整个个体体积积内内部部的的力力，如如重重力力和和惯惯性性力力等等，体体力的量纲为力的量纲为 力力长度长度 -3-3 (a)(a)。 “面面力力”是是指指分分布布在在物物体体表表面面上上的的力力，如如流流体体压压力力、物物体体间间接接触触力力和分布载荷等。面力的量纲为和分布载荷等。面力的量纲为 力力长度长度 -2-2(b)(b)。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础5_9_21有限元讲稿rev弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 (2)(2)、应力应力 物体受到外力
8、的作用，或温度发生变化，其内部将产生内力。物体受到外力的作用，或温度发生变化，其内部将产生内力。 对物体内部任一点受力状态：对物体内部任一点受力状态： a a、如何表示？、如何表示？ b b、用几个参量表示？、用几个参量表示？ 为为了了分分析析物物体体内内任任一一点点的的内内力力状状态态，采采用用截截面面法法（研研究究内内力力的的基基本本方方法）围绕该点取出一个微元体法）围绕该点取出一个微元体 dxdydzdxdydz。 由由于于与与该该点点处处物物体体材材料料的的强强度度直直接接相相关关的的内内力力，是是微微元元体体表表面面的的法法向向和和切切向向力力的的分分量量( (指指单单位位面面积积上
9、上的的力力) )，所所以以将将微微元元体体每每一一个个面面上上的的内内力力分解为一个正应力和两个剪应力分解为一个正应力和两个剪应力。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础6_9_21有限元讲稿rev应力应力 (1)：正应力：正应力+剪切应力剪切应力7_9_21有限元讲稿rev应力应力(2): 切割平面应力分量切割平面应力分量y facey directiony facex directiony facez directionxyz对其余的对其余的(x, z)2个面进行同样操作个面进行同样操作:定义定义 3 x 3 = 9 应力应力分量：分量：3个正应力、个正应力、6个剪切应力个剪切应力8_9
10、_21有限元讲稿rev应力应力(2): 剪切应力对称性剪切应力对称性xyz微元立方体的力矩平衡要求剪切应力分量微元立方体的力矩平衡要求剪切应力分量必须是对称的必须是对称的: 9 应力分量中只有应力分量中只有6个是独立的。写成个是独立的。写成“张量张量”的形式：的形式：作用在作用在Z面的应力分量面的应力分量F=9_9_21有限元讲稿rev弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 (3)(3)、应变应变 物物体体受受力力作作用用后后，其其形形状状和和尺尺寸寸将将发发生生变变化化，这这种种变变化化归归结结为为长长度度和和角度的改变。角度的改变。 同样有物体内部任一点变形：同样有物体内部任一点变形：
11、a a、如何表示？、如何表示？ b b、用几个参量表示？、用几个参量表示？ 与与分分析析应应力力状状态态的的方方法法类类似似，选选取取一一微微元元立立方方体体进进行行变变形形状状态态分分析析，与应力分量相对应：与应力分量相对应： 正应力正应力 正应变正应变 剪切应力剪切应力剪切应变剪切应变第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础10_9_21有限元讲稿rev应变应变 (1) 对称应变张量：三个正应变、对称应变张量：三个正应变、 三个剪切应变三个剪切应变 正应力正应力拉伸拉伸正应变正应变 剪切剪切 11_9_21有限元讲稿rev弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 (4)(4)、位移位移 位移
12、就是物体中任一点位移就是物体中任一点位置的移动距离位置的移动距离。 在在物物体体内内任任一一点点的的位位移移，用用其其在在x,y,zx,y,z坐坐标标轴轴上上的的投投影影u,v,wu,v,w表表示示该该点处的位移分量，点处的位移分量，沿坐标轴正向移动为正，负方向移动为负沿坐标轴正向移动为正，负方向移动为负。 位移的量纲为位移的量纲为 长度长度 。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础12_9_21有限元讲稿rev弹性平面问题的基本方程弹性平面问题的基本方程 对对任任何何一一个个弹弹性性物物体体而而言言，都都是是三三维维的的空空间间问问题题。但但在在工工程程实实际际中中，我我们们可可以以根根据
13、据研研究究对对象象的的具具体体情情况况进进行行具具体体分分析析，把把空空间间问问题题简简化化为近似的平面问题，因为实际的为近似的平面问题，因为实际的三维问题确实很复杂三维问题确实很复杂。 这这样样简简化化可可以以大大大大减减少少问问题题复复杂杂性性和和计计算算工工作作量量，并并使使问问题题能能够够求求解，获得满足工程精度要求的结果。解，获得满足工程精度要求的结果。弹性平面问题主要分为两类：弹性平面问题主要分为两类： 1 1、平面应力问题、平面应力问题 2 2、平面应变问题、平面应变问题 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础13_9_21有限元讲稿rev(1) (1) 平面应力问题平面应力问题
14、 在在工工程程中中经经常常存存在在厚厚度度尺尺寸寸与与长长度度和和宽宽度度比比较较很很小小板板状状结结构构体体，这这类类物物体体只只在在板板边边受受有有平平行行于于板板平平面面的的外外力力，且且外外力力沿沿厚厚度度方方向向不不变变，体体力也平行于板面并且不沿厚度变化。力也平行于板面并且不沿厚度变化。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础14_9_21有限元讲稿rev(1) (1) 平面应力问题平面应力问题 对对这这类类问问题题，假假设设薄薄板板的的厚厚度度为为t，以以板板厚厚度度的的中中面面为为xy坐坐标标平平面面，垂垂直于板平面方向为直于板平面方向为z轴，由于板表面不受力，其表面应力分量必
15、为零：轴，由于板表面不受力，其表面应力分量必为零：第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础( ( z z) )z=z= t/2t/2=0, =0, ( ( zxzx) ) z=z= t/2t/2=0, =0, ( ( zyzy) ) z=z= t/2t/2=0=015_9_21有限元讲稿rev平面应力平面应力2-D 变形的理想情况，应力状态：变形的理想情况，应力状态：3-D 应力应力-应变状态，简化为一个较简应变状态，简化为一个较简单的单的 2-D 数学模型；数学模型；有用的理想化处理对远离裂纹前缘的有用的理想化处理对远离裂纹前缘的“薄薄”金属结构；金属结构；简化的简化的Hooke定律；定律；a
16、nd .yxzInvert 16_9_21有限元讲稿rev(2) (2) 平面应变问题平面应变问题 与与上上述述情情况况相相反反，在在工工程程中中又又会会存存在在截截面面不不变变化化但但长长度度很很长长的的柱柱形形结构体，它们只受到平行于截面、并且沿长度不变化的体力和面力：结构体，它们只受到平行于截面、并且沿长度不变化的体力和面力：第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础17_9_21有限元讲稿rev(2) (2) 平面应变问题平面应变问题 对对这这类类问问题题，假假设设该该柱柱状状结结构构体体为为无无限限长长，以以任任意意横横截截面面为为xyxy坐坐标标平平面面，垂垂直直于于截截面面沿沿柱柱长
17、长度度方方向向为为z z轴轴，则则所所有有的的应应力力、应应变变和和位位移移分分量仅为量仅为x,yx,y的函数，不随的函数，不随z z方向变化。方向变化。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础w=0 ；z=zx=zy=0 18_9_21有限元讲稿rev平面应变平面应变2-D 变形的理想情况，应变状态：变形的理想情况，应变状态：3-D 应力应力-应变状态，简化为一个较简单的应变状态，简化为一个较简单的 2-D 数学模型；数学模型；有用的理想化处理对裂纹前缘的有用的理想化处理对裂纹前缘的“约束约束”条件条件远离边界处；远离边界处；简化的简化的Hooke定律；定律；yxzxyand .Invert
18、 19_9_21有限元讲稿rev(3) (3) 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学分析中从三方面考虑建立控制方程：在弹性力学分析中从三方面考虑建立控制方程：第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础1、静力平衡微分方程静力平衡微分方程(应力参量之间关系应力参量之间关系)；2、几何方程几何方程(应变参量与位移参量之间关系应变参量与位移参量之间关系)；3、物理方程物理方程(应力和应变的关系应力和应变的关系)；20_9_21有限元讲稿rev(3)平衡微分方程平衡微分方程 基基本本研研究究思思路路：从从弹弹性性体体中中任任一一点点取取出出一一个个微微元元体体，根根据据静静力力平平衡衡条条件件就就可可以以
19、推推导导出出平平衡衡微微分分方方程程。由由静静力力学学可可知知，物物体体中中任任一一点点的的平平衡衡条条件件为为： Fx=0, Fy=0, Mo=0。假假设设从从平平面面问问题题中中任任选选一一微微元元体。微元体在体。微元体在x,y方向的尺寸分别为方向的尺寸分别为dx,dy，在在z方向的厚度为方向的厚度为t。 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础21_9_21有限元讲稿rev(3)(3)平衡微分方程平衡微分方程 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础由泰勒级数展开公式可得：由泰勒级数展开公式可得：22_9_21有限元讲稿rev(3)(3)平衡微分方程平衡微分方程 第二章第二章 弹性力学基础弹
20、性力学基础23_9_21有限元讲稿rev(3)(3)平衡微分方程平衡微分方程 第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础 Fx=024_9_21有限元讲稿rev平衡微分方程平衡微分方程xy同样可以包括体力同样可以包括体力 Xb 和和 Yb25_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础 考虑平面问题的几何关系，推导应变分量和位移分量的关系，即考虑平面问题的几何关系，推导应变分量和位移分量的关系，即平面问题的几何方程。假设在弹性体中任选一点平面问题的几何方程。假设在弹性体中任选一点P，沿沿x和和y方向取两方向取两个微小线段个微小线段PA=dx和和P
21、B=dy，如图所示，在外力作用下，如图所示，在外力作用下，P, A, B三点三点分别移动到分别移动到P, A, B。 26_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础正应变正应变 xx和和 yy与位移分量与位移分量u,v的关系。设的关系。设P点移动至点移动至P点位移为点位移为u，则则A点的位点的位移由于坐标移由于坐标x的变化为：的变化为： 27_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础这样这样PA线段的正应变为：线段的正应变为： 28_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方
22、程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础同样可得同样可得PB线段的正应变为：线段的正应变为： 29_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础剪应变与位移分量的关系，剪应变与位移分量的关系，即即PA和和PB线段之间直角的线段之间直角的变化。设变化。设P点在点在y方向的位移方向的位移为为v，则则A点由于点由于x的变化在的变化在y方向的位移为：方向的位移为： 30_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础这样，这样，PA线段的转角为：线段的转角为： 31_9_21有限元讲稿rev(4) (4)
23、 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础同样可得同样可得PB线段的转角为：线段的转角为： 32_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础PA和和PB线段之间的直角改变线段之间的直角改变（减小为正），即剪应变（减小为正），即剪应变 xy= yx的大小为：的大小为： 33_9_21有限元讲稿rev(4) (4) 几何方程几何方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础当物体的位移分量当物体的位移分量u,v完全确定后，应变分量也就完全确定了。但反过完全确定后，应变分量也就完全确定了。但反过来，当应变分量确定后，其对应的位移分量并不能
24、完全确定。来，当应变分量确定后，其对应的位移分量并不能完全确定。因为物体的位移分量由两个因素引起：一是物体做刚性运动引起的；因为物体的位移分量由两个因素引起：一是物体做刚性运动引起的；二是物体在外力作用下变形引起的。二是物体在外力作用下变形引起的。有位移的物体不一定有变形，即刚性位移并不产生应变（应力），产有位移的物体不一定有变形，即刚性位移并不产生应变（应力），产生应变（应力）的物体同样可以做刚性运动。但要对物体进行受力分生应变（应力）的物体同样可以做刚性运动。但要对物体进行受力分析，必须给定位移约束条件。析，必须给定位移约束条件。 34_9_21有限元讲稿rev(5) (5) 物理方程物理
25、方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础 弹性体内应力分量和应变分量之间的关系式称为物理方程，只有弹性体内应力分量和应变分量之间的关系式称为物理方程，只有将应力和变形联系起来才能进行弹性结构的受力分析。将应力和变形联系起来才能进行弹性结构的受力分析。 实验表明对完全弹性的各向同性体，应力和变形之间呈线性变化实验表明对完全弹性的各向同性体，应力和变形之间呈线性变化规律，在材料力学中根据广义虎克定律（规律，在材料力学中根据广义虎克定律（Hooke law）可推导出如下可推导出如下关系：关系： 35_9_21有限元讲稿revHooke 定律定律 (1)材料是各项同性的材料是各项同性的 (与方向无关
26、与方向无关)应力应力-应变是线性相关的；应变是线性相关的；应变是微小的应变是微小的 (采用线性应变采用线性应变-位移关系位移关系)；法向和剪切变形模式之间相互不偶合；法向和剪切变形模式之间相互不偶合；从物理观察推导出唯象定律；从物理观察推导出唯象定律；E : (Robert) 杨氏模量杨氏模量 : 泊松比泊松比 + 热热 + 蠕变蠕变 + 残余残余 +.36_9_21有限元讲稿revHooke定律定律 (2)测量弹性常数测量弹性常数转换为用应变表示的应力关系转换为用应变表示的应力关系E : (Robert) Youngs modulus : Poissons ratio 3-D Case37_
27、9_21有限元讲稿rev(5) (5) 物理方程物理方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础 对平面应力问题：对平面应力问题： zz=0, zx= zy=0，代入一般的三维应力代入一般的三维应力-应变应变关系可简化为：关系可简化为： 38_9_21有限元讲稿rev(5) (5) 物理方程物理方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础由由z方向的应变分量关系可得：方向的应变分量关系可得： 39_9_21有限元讲稿rev(5) (5) 物理方程物理方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础 对平面应变问题：对平面应变问题： zz=0, zx= zy=0，代入代入z方向的方向的应变分量关系分量关系可得：可得： 40_9_21有限元讲稿rev(5) (5) 物理方程物理方程第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础 对平面应变问题：将上式对平面应变问题：将上式代入一般的三维应力代入一般的三维应力-应变关系可简化为：应变关系可简化为： 41_9_21有限元讲稿rev
