2022年第八章向量代数与空间解析几何教案

《2022年第八章向量代数与空间解析几何教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第八章向量代数与空间解析几何教案（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1 第八章向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的： 将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念2. 空间两点间的距离公式3. 向量的概念4. 向量的运算教学难点： 1. 空间思想的建立2. 向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1向量： 既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量） 。2 量的表示方法有: a、i、F、OM等等。3 向量相等ba：如

2、果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量） 。4 量的模： 向量的大小，记为a、OM。模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 量平行ba/：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6 负向量： 大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的线性运算1加减法cba： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则） ，其满足的运算规律有交换率和结合率见图74 abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页2 2cba即cba)(3向量与数的乘法

3、a：设是一个数，向量a与的乘积a规定为0)1(时，a与a同向，|aa0)2(时，0a0)3(时，a与a反向，|aa其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0a表示与非零向量a同方向的单位向量，那么aaa0定理 1：设向量 a0，那么， 向量 b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，使 ba例 1：在平行四边形ABCD 中，设aAB，bAD，试用a和 b 表示向量MA、MB、MC和MD， 这里 M 是平行四边形对角线的交点。 （见图 7 5）图 74 解：AMAC2ba，于是)(21baMA由于MAMC，于是)(21baMC又由于MDBD2ba，于是)(21abMD由于MDMB，于是)(21

4、abMB三、空间直角坐标系1将数轴（一维） 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图 7 1，其符合右手规则。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页3 2 间直角坐标系共有八个卦限， 各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。 坐标面以及卦限的划分如图72 所示。图 71 右手规则演示图72 空间直角坐标系图图 73 空间两点21MM的距离图3 空间点),(zyxM的

5、坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a) 在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4空间两点间的距离。若),(1111zyxM、),(2222zyxM为空间任意两点，则21MM的距离（见图73） ，利用直角三角形勾股定理为：2222122212212NMpNpMNMNMMMd而121xxPM12yyPN122zzNM所以21221221221)()()(zzyyxxMMd特殊地：若两点分别为),(zyxM，)0, 0,0(o222zyxoMd例 1：求证以)1 ,3 ,4(1M、)2, 1 ,7(2M、)3 ,2,5

6、(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明 :14)21()13()74(222221MM6)23()12()75(222232MM6) 13()32()45(222213MM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页4 由于1332MMMM，原结论成立。例 2：设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点) 1, 1 ,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标。解：因为P在x轴上，设P点坐标为)0,0,(x113222221xxPP21122222xxPP212 PPPP221122xx1x所求点为：)0 ,0, 1(

7、，)0 ,0, 1(四、利用坐标系作向量的线性运算1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法， 使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a =21MM是以),(1111zyxM为起点 、),(2222zyxM为终点的向量，i、j、k 分别表示图 7 5 沿 x，y，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图75，并应用向量的加法规则知：)(1221xxMMi + )(12yyj+)(12zzk 或a = axi + ayj + azk 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。有序数组ax

8、、ay、az与向量 a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a 的坐标，并记为a ax，ay，az。上式叫做向量a 的坐标表示式。于是，起点为),(1111zyxM终点为),(2222zyxM的向量可以表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页5 ,12121221zzyyxxMM特别地，点),(zyxM对于原点O 的向径,zyxOM注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量 a 在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量ax

9、i 、 ayj 、 azk. 2向量运算的坐标表示设,zyxaaaa，,zyxbbbb即kjiazyxaaa，kjibzyxbbb则(1) 加法：kjiba)()()(zzyyxxbababa减法：kjiba)()()(zzyyxxbababa乘数：kjia)()()(zyxaaa或,zzyyxxbabababa,zzyyxxbabababa,zyxaaaa平行： 若 a0 时，向量ab/相当于ab， 即,zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例即zzyyxxababab五、向量的模、方向角、投影设,zyxaaaa，可以用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于0，小于等于） 来表示它的

10、方向， 称、为非零向量a 的方向角，见图76，其余弦表示形式coscoscos、称为方向余弦。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页6 1 模222zyxaaaa2 方向余弦由性质 1 知coscoscoscoscoscos212121aaaMMaMMaMMazyx，当0222zyxaaaa时，有222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa任意向量的方向余弦有性质：1coscoscos222与非零向量a 同方向的单位向量为：cos,cos,cos,1zyxaaa

11、aaaa0例： 已知两点 M1(2,2,2)、 M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。解：21MM1-2 ，3-2， 0-2=-1 ，1，-2 2)2(1)1(22221MM21cos，21cos，22cos32，3，43设0a为与21MM同向的单位向量，由于cos,cos,cos0a即得22,21,210a3 向量在轴上的投影精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页7 (1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正

12、的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值 ，记做 AB，即AB。设 e 是与u轴同方向的单位向量，则eAB(2)设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和 b，任取空间一点O，作aOA，bOB， 规定不超过的AOB称为向量a和 b 的夹角，记为),( ba(4) 空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A 作轴u的垂直平面， 该平面与轴u的交点A叫做点 A 在轴u上的投影。(5) 向量AB在轴u上的投影： 设已知向量AB的起点 A 和终点 B 在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段

13、的值BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做ABjuPr。2投影定理性质 1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：cosPrABABju性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即2121aaaajjjuPrPr)(Pr性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即aajjuPr)(Pr小结： 本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系 （轴、 面、卦限） ，空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向

14、量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别 ） 、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页8 作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页9 第二节数量积 向量积教学目的： 让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点： 1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用教学难点： 1. 活学活用数量积

15、、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论教学内容：一、数量积：a)定义：cosbaba，式中为向量 a 与 b 的夹角。b)物理上： 物体在常力F 作用下沿直线位移s，力 F 所作的功为cossFW其中为 F 与 s 的夹角。c)性质： .2aaa. 两个非零向量a 与 b 垂直ba的充分必要条件为：0ba. abba. cbcacba)(. )()(caca为数d)几个等价公式：. 坐标表示式： 设,zyxaaaa，,zyxbbbb则zzyyxxbabababa. 投影表示式：abbababajjPrPr. 两向量夹角可以由babacos式求解e)例子： 已知三点 M(1,1,1)、

16、A(2,2,1)和 B(2,1,2)，求AMB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页1 0提示：先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。二、向量积：a)概念： 设向量c是由向量a 与 b 按下列方式定义：c的模sinbac，式中为向量 a 与 b 的夹角。c的方向垂直与a 与 b 的平面，指向按右手规则从a 转向 b。注意： 数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。b)公式：bacf)性质： .0aa. 两个非零向量a 与 b 平行 ab 的充分必要条件为：0ba. abba. cbcacba)(. )()()

17、(cacaca为数c)几个等价公式：. 坐标表示式：设,zyxaaaa，,zyxbbbb则kjiba)()()(xyyxzxxzyzzybabababababa. 行列式表示式：zyxzyxbbbaaakjibad)例子： 已知三角形ABC 的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和 C(2,4,7)，求三角形 ABC 的面积。解：根据向量积的定义，ACABCACABSABC21sin21由于AB2,2,2 ，AC1,2,4 因此kjikji264421222ACAB于是142)6(42121222ACABSABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

18、- - - - -第 10 页，共 24 页1 1小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页1 2第三节平面及其方程教学目的： 介绍最简单也是非常常用的一种曲面平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。教学重点： 1. 平面方程的求法2. 两平面的夹角教学难点： 平面的几种表示及其应用教学内容：一、平面的点

19、法式方程1平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2平面的点法式方程已知平面上的一点),(0000zyxM和它的一个法线向量,CBAn，对平面上的任一点),(zyxM，有向量MM0n，即n00MM代入坐标式有：0)()()(000zzCyyBxxA（1）此即平面的点法式方程。例 1：求过三点1M（2， 1，4） 、2M（ 1，3， 2）和3M（0，2， 3）的平面方程 。解：先找出这平面的法向量n，kjikjin9141326433121MMMM由点法式方程得平面方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

20、 - - - - - - -第 12 页，共 24 页1 30)4()1(9)2(14zyx即：015914zyx二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：0DCzByAx几个平面图形特点：1）D0：通过原点的平面。2）A0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面 。同理： B0 或 C0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面 。3）AB0：方程为0DCZ，法线向量,0,0C，方程表示一个平行于xoy面的平面 。同理 ：0DAX和0DBY分别表示平行于yoz面和xoz面的平面 。4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765zyx都表示一个平面，该平面的法向

21、量为7,6 ,5n例 2：设平面过原点及点)2, 3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程。解：设平面为0DCzByAx，由平面过原点知0D由平面过点)2, 3,6(知0236CBA，2, 1, 4n024CBACBA32所求平面方程为0322zyx三两平面的夹角定义： 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面0:11111DzCyBxA，0:22222DzCyBxA,1111CBAn，,2222CBAn按照两向量夹角余弦公式有：222222212121212121|cosCBACBACCBBAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

22、- -第 13 页，共 24 页1 4三、几个常用的结论设平面 1 和平面 2 的法向量依次为,1111CBAn和,2222CBAn1) 两平面垂直：0212121CCBBAA（法向量垂直）2) 两平面平行：212121CCBBAA（法向量平行）3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点),(0000zyxP， 平面的方程为0DCzByAx，则点到平面的距离为222000CBADCzByAxd例 3：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解： (1)60131) 1(2)1(|311201|c

23、os22222，两平面相交，夹角601arccos 1, 1,21n， 2,2,42n212142两平面平行21)0 ,1 , 1 ()0, 1 , 1(MM两平面平行但不重合。（3）212142两平面平行21)0, 1 , 1 ()0, 1 , 1(MM所以两平面重合小结： 平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页1 5第四节空间直线及其方程教学目的： 介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点： 1.

24、 直线方程 2. 直线与平面的综合题教学难点： 1. 直线的几种表达式 2. 直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：0022221111DzCyBxADzCyBxA二、 空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点),(0000zyxM和它的一方向向量,pnms， 设直线上任一点为),(zyxM，那么MM0与 s 平行，由平行的坐标表示式有：pzznyymxx000此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。 （写时参照书上注释）如设tpzznyymxx000就可将对称式方程变

25、成参数方程（ t 为参数 ）ptzzntyymtxx000三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例 1：用对称式方程及参数方程表示直线043201zyxzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页1 6解：在直线上任取一点),(000zyx，取10x063020000zyzy解得2,000zy，即直线上点坐标)2,0, 1(因所求直线与两平面的法向量都垂直取3, 1,421nns对称式方程为：321041zyx参数方程：tztytx3241例 2 一直线过点)4 ,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程解：因为直

26、线和y轴垂直相交 , 所以交点为)0,3, 0(B4,0 ,2BAs，所求直线方程：440322zyx两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线1L和2L的方向向量依次为,1111pnms和,2222pnms，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算222222212121212121cospnmpnmppnnmm两直线1L和2L垂直：0212121ppnnmm（充分必要条件）两直线1L和2L平行：212121ppnnmm（充分必要条件）例 3：求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程解：设所求直线的方向向量为,pnms，根据题意知

27、直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取 1,3,421nns所求直线的方程153243zyx三、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角)20(称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为2。设直线L的方向向量为,pnms，平面的法线向量为,CBAn，直线与平面的夹角为，那么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页1 7222222sinpnmCBACpBnAm直线与平面垂直：s/n相当于pCnBmA（充分必要条件）直线与平面平行：sn 相当于0CpBnAm

28、（充分必要条件）平面束方程：过平面直线0101zyxzyx的平面束方程为0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA四、杂例：例 1：求与两平面x4z3 和 2xy 5z1 的交线平行且过点（ 3，2，5）的直线方程。解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以)34(512401kjikjis因此，所求直线的方程为153243zyx例 2：求过点 （2，1，3）且与直线12131zyx垂直相交的直线方程解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为0)3() 1(2

29、)2(3zyx再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为x= -1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t73，从而求得交点为)73,713,72(以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页1 84, 1, 276733,7131 ,722s故所求直线方程为431122zyx例 3：求直线0101zyxzyx在平面0zyx上的投影直线的方程解：应用平面束的方法设过直线0101zyxzyx的平面束方程为0) 1() 1(zyxz

30、yx即01)1()1()1(zyx这平面与已知平面0zyx垂直的条件是01)1(1)1(1)1(解之得1代入平面束方程中得投影平面方程为yz 10 所以投影直线为001zyxzy小结： 本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（ 注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页1 9第五节曲面及其方程教学目的： 介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知

31、道所表示曲面的形状。教学重点： 1. 球面的方程 2.旋转曲面的方程教学难点： 旋转曲面教学内容：一、曲面方程的概念1.实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。2.曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),(zyxF（ 1）有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（ 1）的图形。3几种常见曲面（1）球面例 1：建立球心在),(0000zyxM、半径为R 的球面的方程。解：设),(0000zyxM是球面上的任一点，那么RMM0即：Rzzyyxx20

32、2020)()()(或：2202020)()()(Rzzyyxx特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）2222Rzyx（2）线段的垂直平分面（平面方程）例 2：设有点)3 ,2, 1 (A和)4, 1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程。解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设),(zyxM是所求平面上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页2 0的任一点，由于|MBMA，那么222222412321zyxzyx化简得所求方程07262zyx研究空间曲面有两个基本问题：（1） 已知曲面作

33、为点的轨迹时，求曲面方程。（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。二、旋转曲面的方程设在 yoz 坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f（y，z） 0 把这曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面，设), 0(111zyM为曲线C上的任一点，那么有f（y1，z1） 0 （2）当曲线 C 绕 z轴旋转时，点M1也绕 z轴旋转到另一点),(zyxM，这时 zz1保持不变，且点 M 到 z轴的距离122yyxd将 z1z，221yxy代入 （2）式，就有螺旋曲面的方程

34、为0),(22zyxf旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变， 另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（00）双曲抛物面（鞍形曲面）方程为zqypx2222（ p 与 q 同号 ）当 p 0， q 0 时，其形状如图所示。2双曲面单叶双曲面方程为1222222czbyax双叶双曲面方程为1222222czbyax各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。小结： 曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念( 母线、准线 )。作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

35、22 页，共 24 页2 3第六节空间曲线及其方程教学目的： 介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。教学重点： 1. 空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影教学难点： 空间曲线在坐标面上的投影教学内容：一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。0),(0),(zyxGzyxF特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。二、空间曲线的参数方程将曲线 C 上的动点的坐标表示为参数t

36、 的函数：)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为0),(0),(zyxGzyxF（3）消去其中一个变量（例如z）得到方程0),(yxH（4）曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。此柱面（垂直于xoy平面）称为 投影柱面 ， 投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页2 400),(zyxH同

37、理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线。在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。例 1：设一个立体由上半球面224yxz和锥面)(322yxz所围成，见右图，求它在xoy面上的投影。解：半球面与锥面交线为)(34:2222yxzyxzC消去 z 并将等式两边平方整理得投影曲线为：0122zyx即xoy平面上的以原点为圆心、1 为半径的圆。 立体在xoy平面上的投影为圆所围成的部分：122yx小结： 1. 空间曲线的一般方程、参数方程：0),(0),(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx2. 空间曲线在坐标面上的投影00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页