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1、第三节第三节 区间估计区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000 条.概率论参数估计2区间估计也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个很小的正数.概率论参数估计2区间估计一. 置信区间与置信度 区间估计要求根据样本给
2、出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。定义：设总体含一待估参数对于样本找出两个统计量使得：称区间为的置信区间，为该区间的置信度是一个随机区间；给出该区间含真值 的可靠度。可能性。表示该区间不包含真值的区间概率论参数估计2区间估计通常通常, 采用采用95%的置信度的置信度, 有时也取有时也取99% 或或 90%.即置信度为即置信度为这时重复这时重复抽样抽样 100次次, 则在得到的则在得到的100个区间中包含个区间中包含真值真值的有的有95个左右个左右, 不包含不包含真值的有真值的有5个左右。个左右。例如例如 若若具体的计算方法具体的计算方法 由样本由样本寻找一个样本函数寻
3、找一个样本函数，其中只含有一个未知参数，其中只含有一个未知参数 对于给定的置信水平对于给定的置信水平，找，找 a , b 使得使得概率论参数估计2区间估计 由由解出等价的解出等价的不等式不等式是是的置信度为的置信度为的置信区间。的置信区间。 对于给定的置信水平对于给定的置信水平，找，找 a , b 使得使得概率论参数估计2区间估计二二 、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计设设为总体为总体的一个样本的一个样本设已知方差设已知方差且且是是的的一个无偏点估计，一个无偏点估计，置信度置信度下，来确定下，来确定的置信区间的置信区间 已知方差已知方差，估计均值，估计均值又又概率论参
4、数估计2区间估计对于给定的置信度查正态分布表，找出临界值使得：由此可找出无穷多组通常我们取对称使：且区间由上 点的定义式, 概率论参数估计2区间估计推得，随机区间：查正态分布表找出得：概率论参数估计2区间估计所以所以的置信水平为的置信水平为1-的置信区间为的置信区间为简记为简记为例例 若取若取查表得查表得值算得样本均值的观察值值算得样本均值的观察值则得到一个置信度为则得到一个置信度为0.95的的的的置信区间置信区间，若由一个样本，若由一个样本概率论参数估计2区间估计注：注： 的置信水平的置信水平1的置信区间不唯一。的置信区间不唯一。 上例中上例中同样给定同样给定,可以取标准正态分可以取标准正态
5、分布上布上分位点分位点- -Z0.04和和Z0.01，则也有则也有则则的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间为的置信区间为但对称时的区间长度但对称时的区间长度最短。最短。194页页概率论参数估计2区间估计例1： 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差置信度为95%; 试求总体均值的置信区间解：已知由样本值算得：查正态分布表得由此得置信区间：概率论参数估计2区间估计例2： 从一批零件中随机抽取16个, 测得长度（单位:厘米) 为 2.14, 2.10
6、, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11设零件长度求总体均值的置信水平为 0.90 的置信区间。解：查表得所以的置信水平为0.90的置信区间为即:概率论参数估计2区间估计例3： 设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95 的置信区间的长度不大于 0.49 ?解: 设需要抽取容量为 的样本, 其样本均值为查表得于是的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度要使只要即取概率论参数估计2区间估计 方差未知，估计均值所以的置信水平为1-的置信区间为简记为概率
7、论参数估计2区间估计例4： 用仪器测量温度, 重复测量7次, 测得温度分别为:115, 120, 131, 115, 109, 115, 115cm; 设温度 在置信度为95%时, 试求温度的真值所在范围。解：设 是温度的真值，是测量值已知由样本值算得：得区间：查表概率论参数估计2区间估计例5：对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验, 测 得最大飞行速度(单位: 米/秒)为420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度 422.2, 417.2, 425.6413.5, 441.3, 4
8、23.0, 428.2, 根据长期经验, 可以认为的期望值的置信水平为 0.95 的置信区间。 解: 以表示该飞机的最大飞行速度, 则 概率论参数估计2区间估计查表得由于总体方差未知, 因此的置信水平为0.95的置信区间为:即:由概率论参数估计2区间估计3） 方差的区间估计设为总体的一个样本是的无偏估计并且样本函数：由于分布无对称性即：概率论参数估计2区间估计由分布表的构造置信区间：即概率论参数估计2区间估计标准差的一个置信水平为的置信区间注意：注意：在密度函数不对称时，如习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。概率论参数估计2区间估计例6：在某班级中, 随机抽取25名同学测
9、量其身高, 算得平均身高为170cm,标准差为12cm. 假设所测 身高近似服从正态分布, 求该班学生平均身高 和身高标准差的0.95置信区间。解：设身高由题设得(1)的0.95置信区间为概率论参数估计2区间估计(2)即:的0.95置信区间为即:的0.95置信区间为所以概率论参数估计2区间估计设某机床加工的零件长度16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时，试
10、求总体方差 的置信区间例7：今抽查解: 已知查得查得由此得置信区间:概率论参数估计2区间估计三三 、两个正态总体均值与方差的区间估计、两个正态总体均值与方差的区间估计设为总体的一个样本的置信区间为总体的一个样本, X与Y相互独立。均为已知 ,且是的一个无偏估计， 因为X与Y 相互独立,所以概率论参数估计2区间估计所以的置信水平为1-的置信区间为概率论参数估计2区间估计未知所以的置信水平为1-的置信区间为概率论参数估计2区间估计的置信区间所以的置信水平为1-的置信区间为概率论参数估计2区间估计本章知识小结本章知识小结1.重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有
11、 效性、单个正态总体参数的区间估计效性、单个正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计难点：最大似然估计概率论参数估计2区间估计作业作业 210页页 14、15、18 19、20概率论参数估计2区间估计四. 分布参数的区间估计若总体 X 的分布律其中为未知参数，则设为总体的一个大样本由中心极限定理（近似）（近似）概率论参数估计2区间估计整理从中解得的范围概率论参数估计2区间估计 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这
12、样求得的置信区间叫单侧置信区间.五、单侧置信区间五、单侧置信区间概率论参数估计2区间估计于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,Xn确定的统计量则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间.称为单侧置信下限.概率论参数估计2区间估计又若统计量 满足则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间. 称为单侧置信上限.概率论参数估计2区间估计设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限. 例8 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差 未知，解
13、： 的点估计取为样本均值 选取统计量为概率论参数估计2区间估计 对给定的置信水平 ，确定分位数使即于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为 概率论参数估计2区间估计 将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是1065小时的置信水平为 的单侧置信下限为即概率论参数估计2区间估计例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时（单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下10.5 11.0 11.2 12.5 12.8假设制造单位产品所需工时试求平均工时的置信水平为0.95的单侧置信上限.解 由于,其中未知,因此概率论参数估计2区间估计对于给定的, 由分布的分位点的定义,存在,使得而, 所以概率论参数估计2区间估计即 故的单侧置信区间为单侧置信上限为概率论参数估计2区间估计, 经计算得, 由 得可得单侧置信上限因此, 加工这种产品的平均工时不超过12.55小时的可靠程度是95%.概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计概率论参数估计2区间估计
