《湖南大学微积分08第8讲无穷小量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南大学微积分08第8讲无穷小量（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第八讲第八讲第八讲第八讲 无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解
2、极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第二节 无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二. 无穷大量一、无穷小量及其运算性质 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 1.无穷小量的定义定义定义定义定义2. 函数的极限与无穷小量的关系
3、分析反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理定理定理定理 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 3.3.无穷小量的运算法则无穷小量的运算法则 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.证证 证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.证证例
4、2证证证明有界量与无穷小量的乘积证明：在某极限过程中以极限不为零的函数 除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.证证有界量与无穷小量之积有界量与无穷小量之积(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.注意注意：例3解二二. . 无穷大量无穷大量定义定义定义定义1.无穷大量的定义例4(iii), (iv) 自己画画图会更清楚.例5解无穷大量是按绝对值定义的.例6无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?但该数列是无界的. 当 x 时,
5、 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. 2. 无穷大量与无穷小量的关系( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 )( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 )则例7在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明.定理定理定理定理无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真反之不真3.无穷大量的运算性质在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.不是无穷大量不是无穷大量是无穷大量是无穷大量例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题:例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题:不一定再是无穷大量.结论:在某个极限过程中, 无穷大量一定是无界量, 但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量. 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.
