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1、学习必备欢迎下载抽屉原理知识要点1. 抽屉原理的一般表述(1) 假设有 3 个苹果放入2 个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2 个苹果。它的一般表述为：第一抽屉原理：(mn1)个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m1)个物体。(2) 若把 3 个苹果放入4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn1)个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体。2. 构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例 1 自制的一副玩具牌共计52 张( 含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1 点， 2点， 13点牌
2、各一张 ) ，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3 张牌的点数是相邻的( 不计颜色 ) ，那么至少要取张牌。点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了113 点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13 各 4 张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9， 12 中的一张，在已抽取的牌中必有3 张的点数相邻。解(1)13 2 127( 张) (2)9 4 137( 张) 例 2 证明： 37 人中， (1) 至少有
3、 4 人属相相同；(2) 要保证有5 人属相相同，但不保证有6 人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？点拨可以把 12 个属相看做12 个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解 (1)因为 3712 3 1，所以，根据第一抽屉原理，至少有314( 人) 属相相同。(2) 要保证有5 人的属相相同的最少人数为412 149(人 ) 不保证有6 人属相相同的最多人数为512 60( 人) 所以，总人数应在49 人到 60 人的范围内。例 3 有一副扑克牌共54 张，问：至少摸出多少张才能保证：(1) 其中有 4 张花色相同？ (2) 四种花色都有？点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2 张王牌，四种花色
4、，每种有13 张。 (1) 按最不利原则先取出2 张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4 张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3 张，再取 1 张即可达到要求。(2) 仍需按最不利原则去取牌，先是2 张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出 133，这时假设仍是没有四种花色，再取1 张即可。解 (1)243 115( 张) (2)2133 142( 张) 例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6 种情况：解 借球有 6 种
5、情况，看做6 个抽屉，所以至少要来7 名学生借球，才能保证。例 5 从前面 30 个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载点拨把 1 30 这 30 个自然数分成下面15 组： 1 ，2，4，8， 16，3 ，6，12，24， 5 ，10，20 ，7 ，14，28 ，9 ，18 ，11 ，22 ，13，26 ，15 ，30 ，1 7 ，19 ，21 ，23 ，25) ，27 ，29 ，在这 15 组中，每组中的任意两个数
6、都存在倍数关系，故可把这15 组看做 15 个抽屉，至少要取出 16 个数才能达到题目的要求。例 6 边长为 1 的正方形中，任意给定13 个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4 个点，以此4 点为顶点的四边形面积不超过四分之一。解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。13=43+1，13 个点至少有4 个点在同一个小正方形，以此4 点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。例 7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色.解 因为有
7、六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少有三条线段同色，不妨设是红色 ( 如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线) ，这时三角形a2a3a4 会出现两种颜色情况(1) 若 a2a3，a3a4， a2a4 中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与a1 引出的两条线段组成一个红三角形。(2) 若 a2a3，a3a4， a2a4 中没有一条线段是红色的，则a2a3a4 为一个蓝色三角形。综上所述，无论(1) 还是 (2) ，题目结论都成立。说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果可证明6 人之间至少有3 人互相认识或不认识
8、。1. 要在 30 米长的水泥台上放16 盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2 米？解：两盆 30 2=15 段， 30 米中每两米为一段的有15 段， 16 盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过2 米。3. 在一个边长为1 的正三角形内随意放置10 个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过1/3 。解：把边长为一的正三角形平分成9 粉，由每个三角的边长为1/3 ，必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3 。4. 用黑、红两种颜色将一个长9、宽 3 的矩形中的边长为1 的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况一样。因为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，蓝）
9、，（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。5. 从整数 1，2，3， 199，200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数。分 数 组 1,2,4,8， 16， 128 ， 3,6,12,24,48192， 5,10,20,40200， 7,14,28,56,112，9,18,36,72,144， 11,22,44,88,176， 13,26,52,104， 15,30,60,120, 99,198， 101 ，103 ， 199 共 100 个抽屉， 任选 1
10、01 个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载6. 在 1010 方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、 4 四个数之一。然后分别对每个22 方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？1、2、3、4 填入后，四个数的和最小为4，最大为16。4-16 之间有 13 个不同的和，22 的方格在10 10 的方格中可推出81 个和， 81 13=63，故至少有6+1=7 个和。7. 从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分
11、析之。这八个连续自然数为a，a+1，a+2，a+3，a+4， a+5，a+6，a+7，分为四组 a+4 ，a ，a+5，a+1 ，a+6 ，a+2 ， a+7，a+3，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为4 8. 任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4 的倍数。七个数中必有三对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。在 k1，k2，k2三个数中又至少有两个奇偶性相同，不妨设k1，k2奇偶性相同，所以k1+k2=2m ，即 a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m ，所以其中必有四个数，它们的和是4 的倍数。9. 从 3，6，9
12、81，84 这些数中，任意选出16 个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。分数组 6,84 ，9,81 ，12,78 ， 42,48 ，3 ，45 ，共 15 个抽屉，故取16 个数必有两个数在一个抽屉中，即和为90。10. 任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10 的倍数，试说明之。按余数是2 或 5 或两个余数和为10 来构造6 个抽屉： 0 ，5 ，1,9，2,8 ，3,7 ，4,6 这样 7个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10 或余数相同， 从而他们本身的和或差为10 的倍数。11. 能否在 10 行 10 列的方格中的每个空格处分别填上1，2， 3
13、这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？10 个数的和最小为10，最大为 30,10-30中有 21 个数。 10 行 10 列加上两条对角线共22 个和， 则必有两条线上的和相同。所以不能。12. 能否把 17 这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2 或 3？在这 7 个数中， 1,2,6,7都不能相邻， 要把它们隔开需要4 个数，而现在只剩下3,4,5三个数， 所以不能。13. 平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。14. 库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人
14、任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5 人搬运的球完全一样？每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10 种情况。 4 10+1=41 人15. 在一个 34 平方米的长方形盘子中，任意撒入 5 个豆， 5 个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米？( 这时盘子的对角线长为5 米) 将长方形分成四份，如放5 豆，必有2 个豆在一个小长方形内，一个小正方形内最大的距离是2.5 米（如 AE ），故距离最小的两个点的距离最大值是2.5 米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下
15、载16. 一个 3 行 7 列的 21 个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。第一行有7 个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4 个或 4 个以上的方格。设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3 个黄方格下面的3 个方格中，至少有两个方格涂一种颜色。 如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。17. 在1 ，2， n 中，任意取10 个
16、数，使得其中有两个数的比值不小于32，且不大于23。求 n 的最大值。由于任取10 个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9 个抽屉这9 个抽屉中的每一个抽屉都含有1，2，3， n 中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9 个抽屉，是：1 ；2，3 ；4 ，5，6 ；7 ，8，9，10 ；11 ，12，16 ；17 ，18，24，25 ；26 ，27， 38，39 ；40 ， 41， 59，60 ；61 ，62， 90，91 因此， n 的最大值是9118. 从 1， 2，3，, ， 1988，1989 这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数的差不等于4? 把 1
17、,2, ,1989 这些数分成四组公差是4 的等差的数列； 1,5,9, ,1989 共 498 个数 ; 2,6,10, 1986 共 497 个数 ; 3,7,11 1987 共 497 个数 ; 4,8,12 1988 共 497 个数 ; 我们发现 :1. 四行中每一行中任意相邻两数相差为4, 不相邻两数相差不可能是4; 2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4, 因为如果相差为4 的话 , 两数将被归为一行, 这显然与事实矛盾; 故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个, 每行最多可选 249 个数 ; 最终 2494=996（个）19. 四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠
18、给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。将这四个人用4 个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出2 件礼品，共有42=8 条线，由于每人礼品都分赠给2 个人，所以每两点之间至多有1+1=2 条线。四点间，每两点连一条线，一共6 条线，现在有8 条线，说明必有两点之间连了2 条线，还有另外两点( 有一点可以与前面的点相同) 之间也连了2 条线。即为所证结论。20. 一排长椅共有90 个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？由于
19、, 他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻, 求至少有多少人, 则有人的位置如图所示 ,( “”表示已经就座的人,“ ? ”表示空位 ): ? ? . 即有人的位置占全部人数的 1/3 ，903=30 人。即原来至少有30 人已经就座。21. 把 1， 2，3， 8，9，10 任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17 即小于等于16。则 10 组之和应小于等于1610=160； 10组之和即把10 个数分别加了3 次，又因为：3（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10） =165160 所以矛盾；故
20、假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。22. 某人步行10 小时，走了45 千米。已知他第一小时走了5 千米，最后一小时走了3 千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间8 小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10 千米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载这个人在中间的8 小时内走了45- 5- 3=37(km) 假设在中间的8 个小时内他相邻2 个小时内都走9km，8 个小时内一共有7 组相邻，其中除去这8 个小时内的前后两个小时，其他6 个小时都有2 次相邻，这 8 个小时内的路程可
21、得：79-629=36km37km 一定存在连续的两小时，这人至少走了10 千米。23. 在 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12 这 12 个自然数中，任意选取8 个不同的数，其中必有两对数，每对数的差是1。构造 6 个抽屉 1,23,45,67,89,1011,12将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数，每对的差是1。24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，84=2，其中至少有2 个小球颜色相同。25. 数学奥林匹克竞赛，全世界52 个
22、国家的308 名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过 6 名，至少有几个国家派6 名选手参赛。每个国家最多派出的运动员不超过6 人，假设52 个国家每个国家都派了5 名，则剩下308-52 5=48（名）运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6 名，所以只好把48 名运动员平均分到 48 个国家中去，也就是说，至少有48 个国家派满了6 名运动员。26. 某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。用 a(1),a(2),.,a(10)表示 10 个人； a(1) 不认识的至多2 人, 认识的人不少于7 个, 不妨假定a(1) 认识 a
23、(2) ；a(1) 、a(2) 中至少有一个人不认识的人至多4 人，不妨假定a(1) 、a(2) 都认识 a(3) ；a(1) 、a(2) 、a(3) 至少有一个人不认识人的至多6 人, 不妨假定a(1) 、a(2) 、 a(3) 都认识 a(4) ；则 a(1) 、a(2) 、a(3) 、 a(4) 互相认识； 我们必可从中找出4 位，他们彼此认识。27. 袋子里有4 种不同颜色的小球，每次摸出2 个。要保证有10 次所摸出的结果是一样的，至少要摸几次。把 1种不同的结果看成1 个抽屉，至少要摸出910+1=91（次 )28. 某班有 27 名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色
24、的太阳帽。在9 个横排中，至多有几排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。每排三人，每排戴帽子的可能有8 种 ，所以 27 人排成九个横排，必有两个横排所戴帽子顺序相同，帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排29. 在平面内有1994 条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于1994180度。如果平面内有3 条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最大，就必须先让两条互相垂直，夹角为 90，然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45， 4530180度，所以我们就说：平面里有3 条互不平行的直线, 求证一定有两条直线的夹角不大于30180度，同理，可得平面里有1994 条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于1994180度。30. 设自然数n 具有以下性质：从前n 个自然数中任取21 个，其中必有两个数的差是5。这样的n 中最大是几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载设计 20 个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：1,62,73,8 35,40 ，n 的最大值为40。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
