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1、学习必备欢迎下载抽屉原理知识要点1. 抽屉原理的一般表述(1) 假设有 3 个苹果放入2 个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有2 个苹果。它的一般表述为:第一抽屉原理:(mn1)个物体放入n 个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有(m1)个物体。(2) 若把 3 个苹果放入4 个抽屉中,则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为:第二抽屉原理:(mn1)个物体放入n 个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体。2. 构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有:数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例 1 自制的一副玩具牌共计52 张( 含四种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅,每种牌都有1 点, 2点, 13点牌
2、各一张 ) ,洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌,才能保证其中必定有2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3 张牌的点数是相邻的( 不计颜色 ) ,那么至少要取张牌。点拨对于第一问,最不利的情况是两种颜色都取了113 点各一张,此时再抽一张,这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨对于第二问,最不利的情况是:先抽取了1,2,4,5,7,8,10,11,13 各 4 张,此时再取一张,这张牌的点数是3,6,9, 12 中的一张,在已抽取的牌中必有3 张的点数相邻。解(1)13 2 127( 张) (2)9 4 137( 张) 例 2 证明: 37 人中, (1) 至少有
3、 4 人属相相同;(2) 要保证有5 人属相相同,但不保证有6 人属相相同,那么人的总数应在什么范围内?点拨可以把 12 个属相看做12 个抽屉,根据第一抽屉原理即可解决。解 (1)因为 3712 3 1,所以,根据第一抽屉原理,至少有314( 人) 属相相同。(2) 要保证有5 人的属相相同的最少人数为412 149(人 ) 不保证有6 人属相相同的最多人数为512 60( 人) 所以,总人数应在49 人到 60 人的范围内。例 3 有一副扑克牌共54 张,问:至少摸出多少张才能保证:(1) 其中有 4 张花色相同? (2) 四种花色都有?点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2 张王牌,四种花色
4、,每种有13 张。 (1) 按最不利原则先取出2 张为王牌,再取4张均不同花色,再连续取两次4 张也均不同花色,这时必能保证每一花色都有3 张,再取 1 张即可达到要求。(2) 仍需按最不利原则去取牌,先是2 张王牌,接着依次把三种花色的牌全部取出 133,这时假设仍是没有四种花色,再取1 张即可。解 (1)243 115( 张) (2)2133 142( 张) 例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球,规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球,就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同?点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”,可知最多有以下6 种情况:解 借球有 6 种
5、情况,看做6 个抽屉,所以至少要来7 名学生借球,才能保证。例 5 从前面 30 个自然数中最少要取出几个数,才能保证取出的数中能找到两个数,其中较大的数是较小数的倍数?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载点拨把 1 30 这 30 个自然数分成下面15 组: 1 ,2,4,8, 16,3 ,6,12,24, 5 ,10,20 ,7 ,14,28 ,9 ,18 ,11 ,22 ,13,26 ,15 ,30 ,1 7 ,19 ,21 ,23 ,25) ,27 ,29 ,在这 15 组中,每组中的任意两个数
6、都存在倍数关系,故可把这15 组看做 15 个抽屉,至少要取出 16 个数才能达到题目的要求。例 6 边长为 1 的正方形中,任意给定13 个点,其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4 个点,以此4 点为顶点的四边形面积不超过四分之一。解:把正方形平均分成四个相同的小正方形,每个正方形的面积为四分之一。13=43+1,13 个点至少有4 个点在同一个小正方形,以此4 点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,即不超过原正方形面积的四分之一。例 7 平面上给定六个点,没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来,试说明由这些线段围成的三角形中,至少有一个三角形,它的三条边同色.解 因为有
7、六个点,每个点都要引出五条线段,据抽屉原理,任意一点引五条线段中至少有三条线段同色,不妨设是红色 ( 如图红色线段为实线,蓝色线段为虚线) ,这时三角形a2a3a4 会出现两种颜色情况(1) 若 a2a3,a3a4, a2a4 中有任意一条线段为红的,那么这条红线段与它的两个端点与a1 引出的两条线段组成一个红三角形。(2) 若 a2a3,a3a4, a2a4 中没有一条线段是红色的,则a2a3a4 为一个蓝色三角形。综上所述,无论(1) 还是 (2) ,题目结论都成立。说明:若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系,就可以解决实际问题:结果可证明6 人之间至少有3 人互相认识或不认识
8、。1. 要在 30 米长的水泥台上放16 盆花,不管怎么放,至少有几盆之间的距离不超过2 米?解:两盆 30 2=15 段, 30 米中每两米为一段的有15 段, 16 盆花至少有两盆花在一段,至少两盆之间的距离不超过2 米。3. 在一个边长为1 的正三角形内随意放置10 个点,试说明其中至少有两个点之间的距离不超过1/3 。解:把边长为一的正三角形平分成9 粉,由每个三角的边长为1/3 ,必有两点在一个三角形内,则两点的距离小于1/3 。4. 用黑、红两种颜色将一个长9、宽 3 的矩形中的边长为1 的小正方形随意涂色,试证必有两列涂色情况一样。因为涂色出现八种情况:(红红红),(蓝,蓝,蓝)
9、,(红,红,蓝),(红,蓝,红),(蓝,红,红),(蓝,蓝,红),(蓝,红,蓝),(红,蓝,蓝),所以九列中一定有两列是相同的。5. 从整数 1,2,3, 199,200 中任选 101 个数,求证在选出的这些自然数中至少有两个数,其中的一个是另一个的倍数。分 数 组 1,2,4,8, 16, 128 , 3,6,12,24,48192, 5,10,20,40200, 7,14,28,56,112,9,18,36,72,144, 11,22,44,88,176, 13,26,52,104, 15,30,60,120, 99,198, 101 ,103 , 199 共 100 个抽屉, 任选 1
10、01 个数必有两个数在一个抽屉里,即其中的一个是另一个的倍数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载6. 在 1010 方格纸的每个方格中,任意填入1、2、3、 4 四个数之一。然后分别对每个22 方格中的四个数求和。在这些和数中,至少有多少个和相同?1、2、3、4 填入后,四个数的和最小为4,最大为16。4-16 之间有 13 个不同的和,22 的方格在10 10 的方格中可推出81 个和, 81 13=63,故至少有6+1=7 个和。7. 从八个连续自然数中任意选出五个,其中必有两个数的差等于4,试分
11、析之。这八个连续自然数为a,a+1,a+2,a+3,a+4, a+5,a+6,a+7,分为四组 a+4 ,a ,a+5,a+1 ,a+6 ,a+2 , a+7,a+3,取五个数必有两个数在一个抽屉中,即差为4 8. 任意给定七个自然数,说明其中必有四个数,它们的和为4 的倍数。七个数中必有三对奇偶性相同,即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2,a5+a6=2k3。在 k1,k2,k2三个数中又至少有两个奇偶性相同,不妨设k1,k2奇偶性相同,所以k1+k2=2m ,即 a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m ,所以其中必有四个数,它们的和是4 的倍数。9. 从 3,6,9
12、81,84 这些数中,任意选出16 个数,其中至少有两个数的和等于90,试说明之。分数组 6,84 ,9,81 ,12,78 , 42,48 ,3 ,45 ,共 15 个抽屉,故取16 个数必有两个数在一个抽屉中,即和为90。10. 任意给定七个不同的自然数,其中必有两个数的和或差是10 的倍数,试说明之。按余数是2 或 5 或两个余数和为10 来构造6 个抽屉: 0 ,5 ,1,9,2,8 ,3,7 ,4,6 这样 7个数必有两个数在一个抽屉里,它们的余数之和是10 或余数相同, 从而他们本身的和或差为10 的倍数。11. 能否在 10 行 10 列的方格中的每个空格处分别填上1,2, 3
13、这三个数,使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同?10 个数的和最小为10,最大为 30,10-30中有 21 个数。 10 行 10 列加上两条对角线共22 个和, 则必有两条线上的和相同。所以不能。12. 能否把 17 这七个数排成一圈,使任意两个相邻数的差等于2 或 3?在这 7 个数中, 1,2,6,7都不能相邻, 要把它们隔开需要4 个数,而现在只剩下3,4,5三个数, 所以不能。13. 平面上给定六个点,没有三个点在一条直线上,每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中,至少有两个同色三角形。14. 库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人
14、任意搬运两个,至少有多少人搬运才能保证有5 人搬运的球完全一样?每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10 种情况。 4 10+1=41 人15. 在一个 34 平方米的长方形盘子中,任意撒入 5 个豆, 5 个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米?( 这时盘子的对角线长为5 米) 将长方形分成四份,如放5 豆,必有2 个豆在一个小长方形内,一个小正方形内最大的距离是2.5 米(如 AE ),故距离最小的两个点的距离最大值是2.5 米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习必备欢迎下
15、载16. 一个 3 行 7 列的 21 个小方格的长方形,每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明:不论如何涂色,一定能找到一个由小方格组成的长方形,它的四个角上的小方格具有相同的颜色。第一行有7 个方格,因为涂两种颜色,根据抽屉原理二,必有一种颜色涂了4 个或 4 个以上的方格。设第一行有四个红方格,第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中,如果有两个红色,那么结论已成立,否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3 个黄方格下面的3 个方格中,至少有两个方格涂一种颜色。 如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形,如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。17. 在1 ,2, n 中,任意取10 个
16、数,使得其中有两个数的比值不小于32,且不大于23。求 n 的最大值。由于任取10 个数中有两个数在同一个抽屉里,显然最多构造9 个抽屉这9 个抽屉中的每一个抽屉都含有1,2,3, n 中的一些数,而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间,这9 个抽屉,是:1 ;2,3 ;4 ,5,6 ;7 ,8,9,10 ;11 ,12,16 ;17 ,18,24,25 ;26 ,27, 38,39 ;40 , 41, 59,60 ;61 ,62, 90,91 因此, n 的最大值是9118. 从 1, 2,3,, , 1988,1989 这些自然数中,最多可取多少个数,其中每两个数的差不等于4? 把 1
17、,2, ,1989 这些数分成四组公差是4 的等差的数列; 1,5,9, ,1989 共 498 个数 ; 2,6,10, 1986 共 497 个数 ; 3,7,11 1987 共 497 个数 ; 4,8,12 1988 共 497 个数 ; 我们发现 :1. 四行中每一行中任意相邻两数相差为4, 不相邻两数相差不可能是4; 2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4, 因为如果相差为4 的话 , 两数将被归为一行, 这显然与事实矛盾; 故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个, 每行最多可选 249 个数 ; 最终 2494=996(个)19. 四个人聚会,每人各带了两件礼品,分赠
18、给其余三个人中的两人。试证明:四个人中至少有两对,每对是互赠过礼品的。将这四个人用4 个点表示,如果两个人之间送过礼品,就在两点之间连一条线。由于每人送出2 件礼品,共有42=8 条线,由于每人礼品都分赠给2 个人,所以每两点之间至多有1+1=2 条线。四点间,每两点连一条线,一共6 条线,现在有8 条线,说明必有两点之间连了2 条线,还有另外两点( 有一点可以与前面的点相同) 之间也连了2 条线。即为所证结论。20. 一排长椅共有90 个座位,其中一些座位已经有人就座了。这时,又来了一个人要坐在这排长椅上,有趣的是,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座?由于
19、, 他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻, 求至少有多少人, 则有人的位置如图所示 ,( “”表示已经就座的人,“ ? ”表示空位 ): ? ? . 即有人的位置占全部人数的 1/3 ,903=30 人。即原来至少有30 人已经就座。21. 把 1, 2,3, 8,9,10 任意摆放在一个圆圈上,每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。(反证)假设任意三个相邻的数之和都小于17 即小于等于16。则 10 组之和应小于等于1610=160; 10组之和即把10 个数分别加了3 次,又因为:3(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) =165160 所以矛盾;故
20、假设不成立,所以其中至少有一个和不小于17。22. 某人步行10 小时,走了45 千米。已知他第一小时走了5 千米,最后一小时走了3 千米,其余每小时都走了整数千米。证明在中间8 小时当中,一定存在连续的两小时,这人至少要走10 千米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习必备欢迎下载这个人在中间的8 小时内走了45- 5- 3=37(km) 假设在中间的8 个小时内他相邻2 个小时内都走9km,8 个小时内一共有7 组相邻,其中除去这8 个小时内的前后两个小时,其他6 个小时都有2 次相邻,这 8 个小时内的路程可
21、得:79-629=36km37km 一定存在连续的两小时,这人至少走了10 千米。23. 在 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12 这 12 个自然数中,任意选取8 个不同的数,其中必有两对数,每对数的差是1。构造 6 个抽屉 1,23,45,67,89,1011,12将八个不同的数放入六个抽屉,必有两对数,每对的差是1。24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个,混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球,其中至少有几个小球的颜色是相同的。把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉,一次摸出八个小球放在抽屉里,84=2,其中至少有2 个小球颜色相同。25. 数学奥林匹克竞赛,全世界52 个
22、国家的308 名选手参加了竞赛。按组委会规定,每个国家的选手不得超过 6 名,至少有几个国家派6 名选手参赛。每个国家最多派出的运动员不超过6 人,假设52 个国家每个国家都派了5 名,则剩下308-52 5=48(名)运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6 名,所以只好把48 名运动员平均分到 48 个国家中去,也就是说,至少有48 个国家派满了6 名运动员。26. 某中学有十位老师,每位至少与另外九位中的七位认识,我们必可从中找出几位,他们彼此认识。用 a(1),a(2),.,a(10)表示 10 个人; a(1) 不认识的至多2 人, 认识的人不少于7 个, 不妨假定a(1) 认识 a
23、(2) ;a(1) 、a(2) 中至少有一个人不认识的人至多4 人,不妨假定a(1) 、a(2) 都认识 a(3) ;a(1) 、a(2) 、a(3) 至少有一个人不认识人的至多6 人, 不妨假定a(1) 、a(2) 、 a(3) 都认识 a(4) ;则 a(1) 、a(2) 、a(3) 、 a(4) 互相认识; 我们必可从中找出4 位,他们彼此认识。27. 袋子里有4 种不同颜色的小球,每次摸出2 个。要保证有10 次所摸出的结果是一样的,至少要摸几次。把 1种不同的结果看成1 个抽屉,至少要摸出910+1=91(次 )28. 某班有 27 名同学排成三路纵队外出参观,同学们都戴着红色或白色
24、的太阳帽。在9 个横排中,至多有几排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。每排三人,每排戴帽子的可能有8 种 ,所以 27 人排成九个横排,必有两个横排所戴帽子顺序相同,帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排29. 在平面内有1994 条互不平行的直线。求证:一定有两条直线它们的夹角不大于1994180度。如果平面内有3 条互不平行的线,那么,要将最小的两条线的夹角为最大,就必须先让两条互相垂直,夹角为 90,然后再让另外一条线过交点,平分夹角,角度为45, 4530180度,所以我们就说:平面里有3 条互不平行的直线, 求证一定有两条直线的夹角不大于30180度,同理,可得平面里有1994 条互不平行的直线,求证一定有两条直线的夹角不大于1994180度。30. 设自然数n 具有以下性质:从前n 个自然数中任取21 个,其中必有两个数的差是5。这样的n 中最大是几?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习必备欢迎下载设计 20 个抽屉,且抽屉中两个数字之差为5:1,62,73,8 35,40 ,n 的最大值为40。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页