《2022年高等数学线性代数概率考研公式大全奉献》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年高等数学线性代数概率考研公式大全奉献(27页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载1、 行 列 式1.n行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:、ijA和ija的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:( 1)( 1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21( 1)n nDD ;将D顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)22( 1)n nDD ;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3DD ;将D主副角线翻转后,
2、所得行列式为4D ,则4DD ;5.行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2( 1)n n;、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;、和:副对角元素的乘积(1)2( 1)n n;、拉普拉斯展开式:AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBC、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6.对于n阶行列式A,恒有:1( 1)nnknkkkEAS,其中kS 为 k 阶主子式;7.证明0A的方法:、AA;、反证法;、构造齐次方程组0Ax,证明其有非零解;、利用秩,证明()r An ;、证明0 是其特征值;2、 矩 阵1.A是n
3、阶可逆矩阵:0A(是非奇异矩阵);()r An (是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组0Ax有非零解;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页学习必备欢迎下载nbR , Axb总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0;TA A 是正定矩阵;A的行(列)向量组是nR 的一组基;A是nR 中某两组基的过渡矩阵;2.对于n阶矩阵A:*AAA AA E无条件恒 成立;3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA4
4、.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:若12sAAAA,则:、12sAAAA;、111121sAAAA;、111AOAOOBOB;(主对角分块)、111OAOBBOAO;(副对角分块)、11111ACAACBOBOB;(拉普拉斯)、11111AOAOCBB CAB;(拉普拉斯)3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rmnEOFOO;等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,
5、若()()r Ar BAB ;2.行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非0 元素必须为1;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页学习必备欢迎下载、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)a)若 (,)(,)rA EEX,则A可逆,且1XA;、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A变为E时,B就变成1A B,即:1(,)(,)cA BE A B ;、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程 Axb,如果 (, )(, )rA bE x ,则A
6、可逆,且1xA b;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、12n,左乘矩阵A,i乘A的各行元素;右乘,i乘A的各列元素;、对调两行或两列,符号( , )E i j ,且1( , )( , )E i jE i j,例如:1111111;、倍乘某行或某列,符号( ( )E i k,且11( ( )( ()E i kE ik,例如:1111(0)11kkk;、倍加某行或某列,符号( ( )E ij k,且1( )( ()E ij kE ijk,如:11111(0)11kkk;5.矩阵秩的基本性质:、0()min(, )mnr
7、Am n ;、()()Tr Ar A;、若AB,则()()r Ar B ;、若P、 Q 可逆,则()()()()r Ar PAr AQr PAQ ;( 可逆矩阵不影响矩阵的秩)、 max( (), ()(,)()()r A r Br A Br Ar B ;( )、()()()r ABr Ar B ;( )、()min( (), ()r ABr A r B;( )、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且0AB,则:( )、B的列向量全部是齐次方程组0AX解(转置运算后的结论);、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵,则()()()r ABr Ar Bn ;6.三种特殊矩阵的方幂:、秩为1 的
8、矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如101001acb的矩阵:利用二项展开式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页学习必备欢迎下载二项展开式:01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b;注:、()nab展开后有1n项;、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质:111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC;、利用特征值和相似对角化:
9、7.伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An;、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAXX AA AA XX;、*1AA A、1*nAA8.关于A矩阵秩的描述:、()r An ,A中有n阶子式不为0,1n阶子式全部为0;(两句话)、()r An ,A中有n阶子式全部为0;、()r An ,A中有n阶子式不为0;9.线性方程组:Axb,其中A为mn矩阵,则:、m与方程的个数相同,即方程组Axb有m个方程;、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为n元方程;10.线性方程组Axb的求解:、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);、齐次解为对应齐
10、次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xa xbaxaxaxb;、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb(向量方程,A为mn矩阵,m个方程,n个未知数)、1212nnxxaaax(全部按列分块,其中12nbbb);、1122nna xa xa x(线性表出)、有解的充要条件:()(,)r Ar An(n为未知数的个数或维数)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
11、 - - -第 4 页,共 27 页学习必备欢迎下载4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m个n维列向量所组成的向量组A:12,m构成nm矩阵12(,)mA;m个n维行向量所组成的向量组B:12,TTTm构成mn矩阵12TTTmB;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解;(齐次线性方程组)、向量的线性表出Axb是否有解;(线性方程组)、向量组的相互线性表示AXB 是否有解;(矩阵方程)3.矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax和0Bx同解; (101P例 14) 4.()()Tr A Ar A; (101P例 1
12、5) 5.n维向量线性相关的几何意义:、线性相关0 ;、,线性相关,坐标成比例或共线(平行);、,线性相关,共面;6.线性相关与无关的两套定理:若12,s线性相关,则121,ss必线性相关;若12,s线性无关,则121,s必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs(二版74P定理 7);向量组A能由向量组B线性表示,则()()
13、r Ar B ;(86P定理 3)向量组A能由向量组B线性表示AXB 有解;()(,)r Ar A B (85P定理 2)向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B (85P定理 2 推论 )8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP ,使12lAP PP ;、矩阵行等价:rABPAB(左乘,P可逆)0Ax与0Bx同解、矩阵列等价:cABAQB (右乘, Q 可逆);、矩阵等价:ABPAQB(P、 Q 可逆);9.对于矩阵m nA与lnB:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页学习必备欢迎下载、
14、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;、若A与B行等价,则0Ax与0Bx同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;、矩阵A的行秩等于列秩;10.若mss nm nABC,则:、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;、 C 的行向量组能由B的行向量组线性表示,TA 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解, 考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;、0ABx只有零解0Bx只有零解;、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解;12.设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,nssAa aa线性表示为:(11
15、0P题 19 结论 )1212(,)(,)rsb bba aaK (BAK)其中K为sr,且A线性无关, 则B组线性无关()r Kr ; (B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:()()(), (),()rr Br AKr Kr Krr Kr ;充分性:反证法)注:当rs时,K为方阵,可当作定理使用;13.、对矩阵mnA,存在n mQ,mAQE()r Am 、 Q 的列向量线性无关;(87P)、对矩阵mnA,存在n mP,nPAE()r An、P的行向量线性无关;14.12,s线性相关存在一组不全为0 的数12,sk kk ,使得11220sskkk成立;(定义)1212(,)0ssx
16、xx有非零解,即0Ax有非零解;12(,)srs,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15.设mn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组0Ax的解集 S 的秩为:( )r Snr ;16.若*为 Axb的一个解,12,nr为0Ax的一个基础解系,则*12,nr线性无关;(111P题33 结论 )5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1.正交矩阵TA AE 或1TAA (定义),性质:、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij;、若A为正交矩阵,则1TAA 也为正交阵,且1A;、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化 和
17、 单位化 ;2.施密特正交化:12(,)ra aa11ba ;1222111,b ababb b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页学习必备欢迎下载121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb; 3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于 实对称阵 ,不同特征值对应的特征向量正交;4.、A与B等价A经过初等变换得到B;PAQB ,P、 Q 可逆;()()r Ar B ,A、B同型;、A与B合同TC ACB ,其中可逆;Tx Ax 与Tx Bx有相同的正、负惯性指
18、数;、A与B相似1PAPB ;5.相似一定合同、合同未必相似;若 C 为正交矩阵,则TC ACBAB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6.A为对称阵,则A为二次型矩阵;7.n元二次型Tx Ax 为正定:A 的正惯性指数为n;A 与E合同,即存在可逆矩阵C ,使TC ACE ;A 的所有特征值均为正数;A 的各阶顺序主子式均大于0;0,0iiaA;(必要条件 ) 概率公式整理1随机事件及其概率吸收律:AABAAAA)(ABAAAAA)()(ABABABA反演律:BABABAABniiniiAA11niiniiAA112概率的定义及其计算)(1)(APAP精选学习资料 - - - -
19、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页学习必备欢迎下载若BA)()()(APBPABP对任意两个事件A, B, 有)()()(ABPBPABP加法公式:对任意两个事件A, B, 有)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP3条件概率ABP)()(APABP乘法公式)0)()()(APABPAPABP)0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP全概率公式niiABPAP1)()()
20、()(1iniiBAPBPBayes 公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(4随机变量及其分布分布函数计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页学习必备欢迎下载)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP5离散型随机变量(1) 0 1 分布1 ,0,)1 ()(1kppkXPkk(2) 二项分布),(pnB若 P ( A ) = p nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1()(*Possion 定理0limnnnp有,2, 1 ,0!)1 (limkkeppC
21、kknnknknn(3) Poisson 分布)(P,2, 1 ,0,!)(kkekXPk6连续型随机变量(1) 均匀分布),(baU其他, 0,1)(bxaabxf1, 0)(abaxxF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页学习必备欢迎下载(2) 指数分布)(E其他,00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx(3) 正态分布N ( , 2 ) xexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(*N (0,1) 标准正态分布xexx2221)(xtexxtd21)(227.多维随机变量及其分布二维随机
22、变量( X ,Y )的分布函数xydvduvufyxF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数xXdvduvufxF),()(dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布,U ( G ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页学习必备欢迎下载其他,0),(,1),(GyxAyxf(2)二维正态分布yxeyxfyyxx,121),(2222212121212)()(2)()1(212219.二维随机变量的条件分布0)()()(),
23、(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXYdyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()()(yxfYX)(),(yfyxfY)()()(yfxfxyfYXXY)(xyfXY)(),(xfyxfX)()()(xfyfyxfXYYX10.随机变量的数字特征数学期望1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页学习必备欢迎下载)(kXEX 的 k 阶绝对原点矩)|
24、(|kXEX 的 k 阶中心矩)(kXEXEX 的 方差)()(2XDXEXEX ,Y 的 k + l阶混合原点矩)(lkYXEX ,Y 的 k + l阶混合中心矩lkYEYXEXE)()(X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XYEX ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差)()(YEYXEXEX ,Y 的相关系数XYYDXDYEYXEXE)()()()(X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) )()()(22XEXEXD协方差)()(),cov(YEYXEXEYX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页
25、学习必备欢迎下载)()()(YEXEXYE)()()(21YDXDYXD相关系数)()(),cov(YDXDYXXY高等数学公式导数公式:axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222C
26、axxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页学习必备欢迎下载基本积分表:三角函数的有理式积分
27、:222212211cos12sinududxxtguuuxuux,一些初等函数:两个重要极限:三角函数公式:诱导公式:函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式:和差化积公式:2sin2sin2coscos2
28、cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284. 2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页学习必备欢
29、迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页学习必备欢迎下载倍角公式:半角公式:cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin余弦定理:Cabbaccos2222反三角函数性质:arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!) 1()1(! 2)1()(nkknnnnnkkknknn
30、uvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率:.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgct
31、gctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页学习必备欢迎下载定积分的近似计算:bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式:babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数:。代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的
32、夹角。与是向量在轴上的投影:点的距离:空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27 页学习必备欢迎下载(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号)(、抛物面:、椭球面:
33、二次曲面:参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxv
34、vyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz,隐函数,隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 27 页学习必备欢迎下载),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGu
35、GvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组:微分法在几何上的应用:),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线
36、方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线方向导数与梯度:上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法:不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),( , 0),( , 00),(,),(,)
37、,(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 27 页学习必备欢迎下载重积分及其应用:DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0()
38、,0 ,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200
39、),(0222,转动惯量:,其中重心:,球面坐标:其中:柱面坐标:曲线积分:)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况:则:的参数方程为:上连续,在设长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 27 页学习必备欢迎下载。,通常设的全微分,其中:才是二元函数时,在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积
40、:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分:
41、dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其中:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
42、- - - - - -第 21 页,共 27 页学习必备欢迎下载dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成:因此,高斯公式又可写,通量:则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:通量与散度:高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系:dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量:沿有向闭曲线向量
43、场旋度:,关的条件:空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:kjirotcoscoscos)()()(常数项级数:是发散的调和级数:等差数列:等比数列:nnnnqqqqqnn1312112) 1(32111112级数审敛法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 27 页学习必备欢迎下载散。存在,则收敛;否则发、定义法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:、比值审敛法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:别法):根植审敛法(柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111li
44、m1211。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理:的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛:时收敛时发散级数:收敛;级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中111)1(1)1()1 ()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 27 页学习必备欢迎下载
45、0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时,时,时,的系数,则是,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其中时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于函数展开成幂级数:nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:
46、函数展开成泰勒级数:一些函数展开成幂级数:)()!12()1(! 5! 3sin) 11(!) 1() 1(! 2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式:2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数:。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性:。,其中,0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
47、 - - - - - - -第 24 页,共 27 页学习必备欢迎下载是偶函数,余弦级数:是奇函数,正弦级数:(相减)(相加)其中,周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3 , 2, 1nsin)(201241312116413121124614121851311)3 ,2 ,1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数:精选学习资料 - - - - -
48、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 27 页学习必备欢迎下载llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3 ,2, 1(sin)(1)2 , 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(10其中,周期微分方程的相关概念:即得齐次方程通解。,代替分离变量,积分后将,则设的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。得:的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程:uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygd
49、xxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程:)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:全微分方程:通解。应该是该全微分方程的,其中:分方程,即:中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程:时为非齐次时为齐次,0
50、)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,其中、写出特征方程:求解步骤:为常数;,其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 27 页学习必备欢迎下载式的通解:出的不同情况,按下表写、根据(*),321rr的形式,21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir,)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数;型,为常数,sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 27 页