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1、1 第一章第三章一、极限数列极限limnnx函数极限lim( )xf x,lim( )xf x,lim( )xf x0lim( )xxf x,0lim( )xxf x,0lim( )xxf x求极限(主要方法) :()100sin1lim1,lim(1),lim(1)xxxxxxexexx()等价无穷小替换(P76) 。当( )0x时,2( )( )sin( ) ( ),tan( ) ( ),arcsin( ) ( ),arctan( ) ( ),11cos( ) ( ),ln(1( ) ( ),1 ( ),21( )ln(0),(1( )( )(0)xxxxxxxxxxxxxxexaxa a
2、xx代换时要注意,只有乘积因子才可以代换。(3)洛必达法则(000, 0,0 ,1 ,0) ,只有0,0可以直接用罗比达法则。幂指函数求极限:( )lim( )ln( )lim ( )v xv xu xu xe;或 , 令( )( )v xyu x, 两 边 取 对 数l n() l n(yv xu x, 若l i m() l n()v xu xa, 则( )lim( )v xau xe。结合变上限函数求极限。二、连续00lim( )()xxf xf x左、右连续0000lim( )(),lim( )()xxxxfxf xf xf x函数连续函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质:最值,有界
3、,零点(结合证明题),介值,推论。三、导数0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx左导数0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页2 右导数0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx微分( )yAxzdyAdxy dx可导连续可导可微可导既左可导又右可导求导数:()复合函数链式法则 ( ) ( )dydy duyf uug xfu gxdx
4、du dx ( )( )( )( )( ( )yf g xyfg xgxfg xf g x()隐函数求导法则两边对x求导,注意y、y是x的函数。(3)参数方程求导( )( )( )/( )dydydxtxtytdxdtdtt22( )()()( )( )dtddyd ydttdt dxdxdxtdt四、导数的应用()罗尔定理和拉格朗日定理(证明题)()单调性(导数符号),极值(第一充分条件和第二充分条件),最值。(3)凹凸性(二阶导数符号),拐点(曲线上的点,二维坐标,曲线在该点两侧有不同凹凸性)。第四章不定积分原函数( )( )F xf x不定积分( )( )f x dxF xC基本性质(
5、)( )dfx dxf xdx或( )( )df x dxfxdx( )( )Fx dxF xc或( )( ).dF xF xC( )( ) dxdxd( )( )f xg xf xg xx(分项积分 ) d( )d)k f xxkfxx基本积分公式(1) dk xkxC; (2) 11(1d)1xxxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页3 (3) 1ln |dxxCx(4) dxxxeeC(5) xlndxxaaCa(6) dcossinx xxC(7) dsincosx xxC(8) 2sectadnx xxC(
6、9) 2dcsccotx xxC(10) dsxec tansecxxxC(11) dxcsc cotcscxxxC(12) 2arcsin1dxxCx(13) 2arctan1dxxCx除了上述基本公式之外,还有几个常用积分公式1. tanln |cos|;xdxxC2. cotln |sin|;xdxxC3. secln |sectan|;xdxxxC4. cscln |csccot|;xdxxxC5. 2211arctan;xdxCaxaa6. 22arcsin;dxxCaax7. 2211ln;2xadxCxaaxa8. 22222arcsin;22axxax dxaxCa9. 222
7、2ln |.dxxxaCxa求不定积分的方法1 直接积分法:恒等变形,利用不定积分的性质,直接使用基本积分公式。2 换元法:第一类换元法(凑微分法)() )()()()(d).fxxxf u duF uCFxC第二类换元法(变量代换法)( )( ( )( )( )( ).ddf xxftttF tCFxC(注意回代)换元的思想:( )( )( )( )( )( ( )( )( )( )( ( ).ddxtftt dttxf xxftttg t dtF tCFxC主要有幂代换、三角代换、倒代换3 分部积分法uvdxudvuvvduuvu vdxv的优先选取顺序为:指数函数;三角函数;幂函数精选学
8、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页4 第五章定积分一、概念1.定义011( )lim(),maxnbiiiainif x dxfxx2.性质:设xf、xg在ba,区间上可积,则定积分有以下的性质.(1). abdxba;(2). bababadxxgndxxfmdxxgnxmf)()(;(3). bccabadxxfdxxfdxxf)()()(;(4). 若在,a b上,0xf,则0)(badxxf;推论 1. 若在,a b上,fxg x,则( )( )bbaaf x dxg x dx推论 2. babadxxfdxxf|
9、)(|)(|(ab)(5). 若函数xf在区间ba,上可积,且Mxfm,则)()()(abMdxxfabmba(6). (定积分中值定理)设xf在区间ba,上连续,则存在ba,,使abfdxxfba)(3.积分上限函数( )xaf t dt及其性质(1) xfdttfxa)(,或xfdttfdxdxa)(;(2) 如果)(0)(xdttfx,则)()(0xdttfxxxf. (3). 如果( )()( )xxxf t dt, 则( )( )( )xxxf t dtfxxfxx.4.广义积分(1). 无穷限积分afx dxlimtatfx dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)精选学习资料 -
10、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页5 bdxxflimbttfx dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)dxxf收敛的充分必要条件是反常积分0fx dx、0fx dx同时收敛,并且在收敛时,有dxxf0fx dx0fx dx(2). 瑕积分a为瑕点limbbaatafx dxfx dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)b为瑕点limbbaatbfx dxfx dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)c为瑕点则badxxf收敛cadxxf与bcdxxf均收敛,并且在收敛时,有badxxfcadxxfbcdxxf二、计算(一)定积分的计算1
11、、微积分基本公式:设函数xf在区间ba,上连续,且xfxF,则aFbFdxxfba)(,牛顿 - 莱布尼兹( N-L)公式2、换元法:设函数xf在区间ba,上连续,函数tx满足: 在区间,上可导,且t连续;a,b,当,t时,bax,,则dtttfdxxfba)()(3、分部积分法:|bbbaaauv dxuvu vdx,或|bbbaaaudvuvvdu4、偶倍奇零:设函数xf在区间aa,上连续,则00( )2( )aaafxfxf x dxfx dxfxfx5、2200cossinxdxxdxnn122!)!12(!)!2(2!)!2(!)!12(knknkkkk精选学习资料 - - - -
12、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页6 6、分段函数的定积分。(二)与积分上限函数相关的计算(三)广义积分的计算(依据定义先求原函数,再求极限)三、定积分的应用(一)几何应用1、 平面图形的面积(1)直角坐标ba( ),|(dd)( ) |dxbbaaAf xxAf xg xx(上曲线下曲线),或( ),| ( )( )dy|dydydddcccAyAyy(右曲线左曲线)(2) 参数方程若( )( )xtyt与,xa xb及 x 轴所围成的面积( )( )Att dt,,分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。(3)极坐标由曲线( ),()
13、rr所围的曲边扇形的面积21 ( ).2Ard2、 旋转体的体积(1)直角坐标:由曲线( ),()yf xxa xbab与x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周的旋转体的体积22( )( ).bbaaVfx dxfx dx由曲线( ),()xyyc ydcd与y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周的旋转体的体积22( )( ).ddccVy dyy dy(2)参数方程由( )( )xtyt与,xa xb及 x 轴所围成的图形绕x 由旋转一周的旋转体的体积2( )( )Vtt dt3、平面曲线的弧长(积分限从小到大)(1)直角坐标21 ( )basfxdx(2)参数方程22( )( )sx ty tdt(3)极
14、坐标22 ( )( )srrd(二)物理应用(步骤:建立坐标系,选择积分变量,求出功的微元或压力微元,求定积分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页7 xOaaxy2aOxyOaaaOxyaaa阿基米德螺线心形线)cos1 (ar双纽线2cos22ar摆线)c o s1()si n(ayax第六章微分方程一 、内容小结:(一) 、概念:微分方程;阶;通解;特解;初始条件;初值问题;线性相关;线性无关(二) 、解的结构齐次线性 ()()0( *yP x yQx y非齐次线性 ()()()( *yPx yQx yfx1、1
15、2,yy是( * )的解,则1122yC yCy也是 (*) 的解;若12,yy线性无关,则1122yC yC y为( *)的通解)2、12* ,*yy是( * * )的解,则12*yy是对应齐次线性方程的解Y是( * )的通解,*y是( * * )的解,则*Yy是( * * )的通解(三)、解方程:判别类型,确定解法。一阶,二阶。二、一阶微分方程求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页8 1、可分离变量方程( ) ( )yf x g y或( )( )g y dyf x dx或1122( )( )( )( )0Mx N
16、y dyMx Ny dx解法:先分离变量,两边再同时积分2、齐次方程()yyfx解法:令,yux则yuxu或者()dxxfdyy解法:令,xuydxduudydy3、一阶线性微分方程齐次线性( )( )0()P x dxyP x yyC e非齐次线性()()()()() )Pxd xPxd xyP x yQ xyeQ x ed xC三、二阶微分方程求解(一)、可降阶情形1、( )yf x2、不显含 y 的二阶方程 (, )yfx y解法:,( ,)ypyppf x p令则原方程化为3、不显含 x 的二阶方程 (,)yfy y解法:,( ,)dpdpypyppfy pdydy令则原方程化为(二)
17、、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程 0( * * *yp yq y(其中,p q为常数)特征方程20rprq特征根12,rr12rr且为实根 ,则微分方程通解为1212r xr xyC eC e122prr为相等实根 ,则微分方程通解为12()r xyCC x e1 , 2ri为一对共轭复根,则微分方程通解为12(cossin)xyeCxCx2、二阶常系数非齐次线性微分方程( )(*)xmypyqyPx e,(为常数,( )mPx是 m 次多项式)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页9 其具有特解形式( ),kxmyx Qx e其中( )mQx为与( )mPx同次的多项式 , 012k不是特征根是特征单根是特征二重根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页