《2022年分式大全》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年分式大全（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、分 式一、知识要点1分式的有关概念设 A、B表示两个整式如果B中含有字母，式子BA就叫做分式注意分母B的值不能为零， 否则分式没有意义。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简。概念分析： 必须形如“BA”的式子；A可以为单项式或多项式，没有其他的限制；B可以为单项式或多项式，但必须含有字母。练习： 下列式子：ba23，112xx，3ba，x7，ba6中，分式的个数是 （）A2 个B3 个C 4个D 5 个分式是两个整式的商其中分子是被除式，分母是除式在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用分母中字母所取的值有可能使分母为零因为分式的分母相当于整式除法的除式
2、，所以分母如果是零，则分式没有意义因此，分式有意义的条件是：分母的值不能是零练习：当x_时，分式43xx有意义；当x=_ 时，分式| 99xx的值等于零当x_时，分式422xx无意义分式的值为0：对于BA来说，0A且0B练习：若分式142xx的值为 0，求 x 的值2、分式的基本性质,MBMABAMBMABA（M为不等于零的整式）分式的值为正数：00BA或00BA；分式的值为负数：00BA或00BA练习：若分式9322aa的值为正数，求a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页3分式的运算 ( 分式的运算法则
3、与分数的运算法则类似) bdbcaddcba ( 异分母相加，先通分) ；;bcadcdbadcbabdacdcba.)(nnnbaba4零指数)0(10aa5负整数指数).,0(1为正整数paaapp注意正整数幂的运算性质nnnmnnmnmnmnmnmbaabaaaaaaaaa)(,)(),0(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是 O或负整数二、典型例题例 1、解下列方程：（1）；（2）分析去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根. 小结： 1 解分式方程的思想是转化为整式方程其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；2所得结果是否为原方程的解，需要检
4、验例 2、解方程：（1）；（2）因为任何有理数与0 相乘，积都不可能是1，所以此方程无解，即原方程也无解使分母为零，分式无意义所以2 不是原方程的根，原方程无根小结： 1 把分式方程转化成整式方程后，整式方程可能有解，可能无解如（1）题若无解， 则原分式方程必无解；既使整式方程有解，将解代到分式方程中去检验，也可能使分式方程无解如（2）题由此可见验根的重要性与必要性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页2使分式方程无解的原因是整式方程的解使分式方程中的分母为零显然增根的产生是由于去分母引起的，因此检验的方法可简化成只将
5、整式方程的代入最简公分母即可例 3、为何值时，方程会产生增根？分析：此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数，的取值决定着未知数的值，故可用的代数式表示结合增根产生是最简公分母时产生的，可建立新的方程求解小结：利用待定系数法求解，将待定系数作为已知数，求出未知数（用代数式表示），由最简公分母为零，求出未知数（增根）的值. ，再建立新方程求解. 三、中考题一选择题（共 15 小题）1在式子、中，分式的个数有（）A 2 个B 3 个C 4 个D5 个2当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）ABCD3 （ 2010?荆州）若分式：的值为 0，则（）A x=1 B x=1 C x= 1 Dx
6、14若分式的值是负数，则x 的取值范围是（）A x2 Bx或 x 2 C2x2 且 xDx2 或 x 2 5 （ 2007?黄冈）下列运算中，错误的是（）ABCD6 （ 2009?淄博）化简的结果为（）ABCDb 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页7把，通分过程中，不正确的是（）A 最简公分母是（x 2） （x+3）2B= C= D= 8分式：，中，最简分式有（）A 1 个B 2 个C 3 个D4 个9下列各题中，所求最简公分母正确的是（） A与的最简公分母为6x2B与的最简公分母为3ab2c C与的最简公分母为a
7、b（ xy） （ yx） D与的简公分母为ab（m2n2）10 （2012?河北）化简的结果是（）ABCD2（x+1）11 （2012?安徽）化简的结果是（）A x+1 B x1 C x Dx12 （2011?威海）计算1的结果是（）A m22m1 B m2+2m1 C m22m1 Dm21 13若 a+b+c=0，则 a（）+b（）+c（）的值为（）A 0B 1 C 3D3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页14 （2011?鄂州）计算的正确结果是（）A 2B 2 C 6D10 15在一段坡路，小明骑自行车上坡的
8、速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A千米B千米C千米D 无法确定二填空题（共 7 小题）16 （2011?杭州）已知分式，当 x=2 时，分式无意义，则a=_. 17 （2010?枣庄）若的值为零，则x 的值是_18已知=3，则分式的值为_19已知且 y0 ，则=_20 （2010?中山）化简：=_21不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是_22分式的最简公分母是_三解答题（共 8 小题）23 （2012?淮安） 计算： （1）22 20120+（ 6） 3；（2）精选学习资料 - - - - - - - -
9、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页24指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案题目：当x 为何值，分式有意义？解：= ，由 x20 ，得 x2 所以当 x2 时，分式有意义25 （1）x 取何值时，分式的值为零？无意义？（ 2）当 m 等于什么时，分式的值为零26 （2012?济南）化简：27 （2010?襄阳）已知 （x2+y2）（ xy）2+2y（xy） 4y=1 ，求的值28 （2012?遵义）化简分式（），并从 1 x3中选一个你认为合适的整数x 代入求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、- - - - -第 6 页，共 20 页答案与评分标准一选择题（共15 小题）1在式子、中，分式的个数有（）A 2 个B 3 个C 4 个D5 个考点 ： 分式的定义。分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式解答：解：、9x+这 3 个式子的分母中含有字母，因此是分式其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式故选 B点评： 本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母2当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）ABCD考点 ： 分式有意义的条件。分析： 当 x 为任意实数时分式一定有意义的条件是：分母不为0
11、解答： 解： A、当 x=时， x22=0，分式无意义，故A 错误；B、无论 x 为何值， x2+10 ，故 B 正确；C、当 x=0 时， |x|=0，分式无意义，故C 错误；D、当 x=2 时 x+2=0，分式无意义，故D 错误故选 B点评： 此题主要考查了分式的意义，要求掌握，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义3 （ 2010?荆州）若分式：的值为 0，则（）A x=1 B x=1 C x= 1 Dx1考点 ： 分式的值为零的条件。专题 ： 计算题。分析： 要使分式的值为0，一定要分子的值为0 并且分母的值不为0解答： 解：由 x21=0 解得： x= 1，又 x10 即
12、x1 ，x= 1，故选 B点评： 要注意使分子的值为0 时，同时要分母的值不能为0，否则就属于没有意义了4若分式的值是负数，则x 的取值范围是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页A x2 Bx或 x 2 C2x2 且 xDx2 或 x 2 考点 ： 分式的值。专题 ： 计算题。分析： 根据题意列出不等式组，解不等式组则可解答：解：分式的值是负数，0，或，解得 x 2 或x2故选 D点评： 本题考查分式的值的正负性和解含绝对值的一元一次不等式组的知识点，难度中等5 （ 2007?黄冈）下列运算中，错误的是（）ABC
13、D考点 ： 分式的基本性质。分析： 分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0 的数或式子，分式的值不变据此作答解答： 解： A、分式的分子、分母同时乘以同一个非0 的数 c，分式的值不变，故A 正确；B、分式的分子、分母同时除以同一个非0的式子（ a+b） ，分式的值不变，故B 正确；C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，故C 正确；D、=，故 D 错误故选 D点评： 根据分式的基本性质，分子分母必须同乘一个非0 的数或式子，同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变6 （ 2009?淄博）化简的结果为（）A
14、BCDb 考点 ： 约分。分析： 把分式进行化简就是对分式进行约分，首先要对分子、分母进行分解因式，把互为相反数的因式化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页为相同的因式解答：解：=故选 B点评： 正确的分解因式是分式化简的关键7把，通分过程中，不正确的是（）A 最简公分母是（x 2） （x+3）2B=C=D=考点 ： 通分。分析： 按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案解答： 解： A、最简公分母为最简公分母是（x2） （x+3）2，正确；B、=，通分正确；C、=，通分正确；D、通分不正确，分子应为2 （x
15、2） =2x4；故选 D点评： 根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等8分式：，中，最简分式有（）A 1 个B 2 个C 3 个D4 个考点 ： 最简分式。分析： 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分 判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分解答： 解：中分子分母没有公因式，是最简分式；中有公因式（ ab） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
16、-第 9 页，共 20 页中有公约数4；故和是最简分式故选 B点评： 最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，也可理解为分式的分子和分母的最大公因式为1所以判断一个分式是否为最简分式，关键是要看分式的分子和分母的最大公因式是否为19下列各题中，所求最简公分母正确的是（） A与的最简公分母为6x2 B与的最简公分母为3ab2c C与的最简公分母为ab（ xy） （ yx） D与的简公分母为ab（m2n2）考点 ： 最简公分母。分析： 各分式的最简公分母，系数应是各系数的最小公倍数，含字母的应是字母的最高次数解答： 解： A、两分母分别是3x 和 6x2，故最简公分母是6x2；B、两分母分别是3a
17、2b3和 3a2b3c，故最简公分母是3a2b3c，而不是3ab2c；C、两分母分别是a（xy）和 b（yx） ，故最简公分母是ab（ xy） ，而不是ab（ xy） （yx） ；D、两分母分别是m+n 和 mn，故最简公分母是m2n2，而不是 ab（ m2n2） 故选 A点评： 准确理解最简公分母的概念，结合各分式的特点确定最简公分母10 （2012?河北）化简的结果是（）ABCD2（x+1）考点 ： 分式的乘除法。专题 ： 计算题。分析：将分式分母因式分解，再将除法转化为乘法进行计算解答：解：原式 = （x1）=，故选 C点评： 本题考查了分式的乘除法，将除法转化为乘法是解题的关键精选学习
18、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页11 （2012?安徽）化简的结果是（）A x+1 B x1 C x Dx考点 ： 分式的加减法。分析： 将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分解答：解：=x，故选 D点评： 本题考查了分式的加减运算分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减12 （2011?威海）计算1的结果是（）A m22m1 B m2+2m1 C m22m1 Dm21 考点 ： 分式的混合运算。专题 ： 计
19、算题。分析： 首先将除法变为乘法运算，即乘以除数的倒数，然后利用乘法运算法则约分求解即可求得答案解答：解： 1=1 （m+1） （m1）=（ m1）2=m2+2m1故选 B点评： 此题考查了分式的乘除混合运算解题的关键是注意运算顺序：同级运算，从左到右依次进行13若 a+b+c=0，则 a（）+b（）+c（）的值为（）A 0B 1 C 3D3 考点 ： 分式的化简求值。专题 ： 计算题。分析：由于原式化简为+=+，因为 a+b+c=0，所以 a=bc，b=ac，c=ab，整体代入即可求出代数式的值解答：解：原式 =+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
20、 - - -第 11 页，共 20 页=+a+b+c=0 a=bc b= ac c=ab 原式 =3故选 D点评： 解此题的关键是把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把a=bc，b=ac，c=ab整体代入即可14 （2011?鄂州）计算的正确结果是（）A 2B 2 C 6D10 考点 ： 负整数指数幂；有理数的乘方。分析：首先求得 22= 4， （ 2）2=4 与（）1=2，然后利用有理数的运算求解即可求得答案解答： 解：原式 =4+4（ 2）=2故选 A点评： 本题主要考查了有理数的乘方，负指数幂的运算题目比较简单，注意负整数指数为正整数指数的倒数15在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为
21、每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A千米B千米C千米D 无法确定考点 ： 列代数式（分式） 。专题 ： 行程问题。分析： 平均速度 =总路程 总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2解答：解：依题意得：2 （+）=2=千米故选 C点评： 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1二填空题（共7 小题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页16 （2011?杭州）已知分式，当 x=2
22、时，分式无意义，则a=6；当 a6 时，使分式无意义的x 的值共有2个考点 ： 分式有意义的条件；根与系数的关系。专题 ： 计算题。分析： 根据分式无意义的条件：分母等于零求解解答： 解：由题意，知当x=2 时，分式无意义，分母 =x25x+a=225 2+a=6+a=0，a=6；当 x2 5x+a=0 时， =52 4a=25 4a，a6， =254a0，x25x+a=0 有两个不相等的实数根，对于每个符合题意的a，都有两个x 的值使分式无意义，a 每确定一个值，对应的代数式的值就两个，故当 a6 时，使分式无意义的x 的值共有 2 个故答案为6， 2点评： 本题主要考查了分式无意义的条件及
23、一元二次方程根的判别式（2）中要求当a6 时，使分式无意义的 x 的值的个数，就是判别当a6 时，一元二次方程x2 5x+a=0 的根的情况17 （2010?枣庄）若的值为零，则x 的值是3考点 ： 分式的值为零的条件。专题 ： 计算题。分析： 若分式的值为0，则其分子为0，而分母不能为0解答： 解：由分子 |x|3=0，得 x 3，而当 x=3 时，分母x22x3=0，此时该分式无意义，所以当 x=3，故若的值为零，则x 的值是 3点评： 由于该类型的题易忽略分母不为0 这个条件，所以常以这个知识点来命题18已知=3，则分式的值为考点 ： 分式的值。专题 ： 整体思想。分析：由已知条件可知x
24、y0 ，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以xy ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页再把=3 代入即可解答：解：=3，x0 ，y0 ，xy0 =故答案为点评：本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把=3 作为一个整体代入，可使运算简便19已知且 y0 ，则=考点 ： 分式的基本性质。专题 ： 计算题。分析： 根据比例的基本性质，将分式方程转化为整式方程，进而求得x 与 y 的比值解答：解：由已知，得到： 2（7x+5y）=3（ 2yx） ，化简得： 17x=4y，则=故答案为点评： 正确进
25、行变形是解决本题的关键20 （2010?中山）化简：=x y+1考点 ： 约分。分析： 观察分子可发现x22xy+y2正好是完全平方式，然后再用平方差公式进行因式分解即可解答：解：原式 =xy+1点评： 在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式通过分解因式， 把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页21不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式
26、是考点 ： 最简分式。分析： 首先将分子、分母均乘以100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式本题特别注意分子、分母的每一项都要乘以100解答：解：分子、分母都乘以100 得，约分得，点评： 解题的关键是正确运用分式的基本性质22分式的最简公分母是12x2y3考点 ： 最简公分母。分析： 最简公分母应分两部分看：系数找最小公倍数，字母应找所有因式的最高次幂解答： 解：根据最简公分母的概念，3、 4、2 最小公倍数为12， x 的最高次幂为2，y 的最高次幂为3，故它们的最简公分母是12x2y3点评： 此题考查了确定最简公分母的方法，能够熟练求解三解答题（共8 小题）23 （2010?西宁）
27、计算：考点 ： 负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。专题 ： 计算题。分析： 此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果解答：解：原式 =21+（3 分）=21+1（5 分）=2 （7 分）点评： 本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算24 （2012?淮安）计算： （1）2220120+（ 6） 3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页（2）考点 ： 分式的混合运算；实数的运
28、算；零指数幂。专题 ： 计算题。分析： （1）原式第一项22表示两个2 的乘积，第二项利用零指数公式化简，第三项利用两数相除异号得负，并把绝对值相除得出商，合并后即可得到结果；（2）原式第一项的第一个因式的分子利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，与第二项合并后即可得到结果解答： 解： （1） 2220120+（ 6） 3 =41+（ 2）=32 =1；（2）?+（3x+1）=?+（3x+1）=x1+3x+1 =4x点评： 此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母； 分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出
29、现多项式，应先将多项式分解因式后再约分25指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案题目：当x 为何值，分式有意义？解：=，由 x20 ，得 x2 所以当 x2 时，分式有意义考点 ： 分式有意义的条件。专题 ： 计算题。分析： 分式有意义，是指原分式有意义，只要原分式的分母不为0 即可解答： 解：解题过程存在错误；改正：当（ x+1） （x2）0 ，即 x 1 且 x2 时，分式有意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页点评： 从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 ? 分母为零
30、；（2）分式有意义 ? 分母不为零；（3）分式值为零 ? 分子为零且分母不为零26 （1）x 取何值时，分式的值为零？无意义？（2）当 m 等于什么时，分式的值为零考点 ： 分式的值为零的条件。专题 ： 计算题。分析： （1）分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；（2）分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0解答： 解： （1）要使分式的值为0，则，解得 x=3；要使分式无意义，则x26x+9=0，解得 x=3（2）要使分式的值为0，则，解得 m=3故答案为 3、3、3点评： 此题考查了分式值为0 的条件和分式无意义的条件，特别分式的值为0时，注意分子为0，分母不
31、为 027 （2012?济南） （1）解不等式3x24 ，并将解集在数轴上表示出来（2）化简：考点 ： 分式的乘除法；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。专题 ： 计算题。分析： （1）先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页（2）先将的分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法进行解答解答： 解： （1）移项得， 3x6，系数化为1 得， x2，在数轴上表示为（2）原式 =点评： 本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、分式的乘除法，不仅
32、要熟悉不等式的性质，还要熟悉分式的除法法则28 （2010?襄阳）已知 （x2+y2）（ xy）2+2y（xy） 4y=1 ，求的值考点 ： 分式的加减法；整式的混合运算。专题 ： 计算题。分析： 先对所给的等式化简，可求出2xy 的值，然后化简所求代数式，再把2xy 的值整体代入求值即可解答： 解： （x2+y2）（ xy）2+2y（xy） 4y =（x2+y2 x2+2xyy2+2xy 2y2） 4y =（4xy 2y2） 4y =xy xy=1，2xy=2，=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页=点评： 本题
33、利用了合并同类项、以及分式的加减运算法则、求代数式的值29 （2012?遵义）化简分式（），并从 1 x3中选一个你认为合适的整数x 代入求值考点 ： 分式的化简求值。专题 ： 开放型。分析： 先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算解答：解：原式 = =，由于当 x=1 或 x=1 时，分式的分母为0，故取 x 的值时，不可取x=1 或 x=1，不妨取 x=2，此时原式 =点评： 本题考查了分式的化简求值，解答此题不仅要熟悉分式的除法法则，还要熟悉因式分解等内容五、实训1、如果把分式xxy中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值（）. )分式yxx2的值2、
34、如果分式111abab，那么abba的值为（）. （A）1 （ B）-1 （C） 2 （D）-2 3、已知：1a-1b=5，求3432aabbaabb的值4、已知 x2- 3x+1=0,求441xx的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页5 若 x1x=3,求2421xxx的值 . 6、若实数 a、b 满足：2abba，则22224aabbaabb的值为 _ 7、已知：23(1)(2)12xABxxxx，求 A、B 的值。8、求方程41)1(31122xxxx的根。9、若关于x的方程0111xax有增根，则a的值为。10、分式方程0111xxxkxx有增根1x，则k。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
